Tarea de progresión número 2 de la semana del 12 al 18 de octubre

Ejercicio número 91 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Una escalera está apoyada sobre la fachada de un edificiio. Si la escalera mide 13 metros de longitud y el pie de la escalera está a 5 metros de la pared, ¿ a qué altura de la pared llega la escalera ?

SOLUCIÓN. La situación del enunciado configura un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide $13\,\text{m}$, y el cateto del extremo de la escalera a la pared mide $5\,\text{m}$. Entonces, la altura, $a$, a la que se encuentra el otro extremo sobre el suelo viene dada por la longitud del segundo cateto. Aplicando el teorema de Pitágoras: $$a=|\sqrt{13^2-5^2}|=|\sqrt{144}|=12\,\text{m}$$ $\square$
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Ejercicio número 92 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Una población crece según la función dada por $P(t)=p\,\cdot 1,0025^t$, donde $t$ es el tiempo en años. Si en el año 2010 la población constaba de un millón de habitantes, siendo $p$ la población inicial, ¿ cuántos habitantes tendrá en el año 2060 ( suponiendo que evolucione siguiendo el mismo modelo de crecimiento ) ?

SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que $t=2060-2010=50$ años, y $p=10^6$ habitantes, obtenemos: $$P(50)=10^6\,\cdot 1,0025^{50}\overset{\text{(1)}}{\approx} 11\,329\,717\,\text{habitantes}$$ Nota (1): Redondeamos el resultado a la cifra de las unidades
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Ejercicio número 96 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. La fórmula del capital final según el modelo de interés compuesto es $C=c\,(1+r)^t$, donde $C$ es el capital final, $c$ el capital inicial, $r$ es la tasa de interés anual ( en tanto por uno ) y $t$ es el tiempo en años. Calcula en cada caso la incógnita que falta:
a) $c=10\,000$ euros, $r=0,05$, $t=6$ años
b) $C=15\,000$ euros, $r=0,03$, $t=8$ años
c) $C=30\,000$ euros, $c=15\,000$ euros, $t=10$ años
d) $C=50\,000$ euros, $c=25\,000$ euros, $r=0,07$

SOLUCIÓN.
a) $C(6)=10\,000\,\left( 1+0,05\right)^6 = 10\,000\cdot 1,05^6 \approx 13\,496$ euros

b) $15\,0000=c\,\left( 1+0,03\right)^8 \Rightarrow c=\dfrac{15\,000}{1,03^8} \approx 11\,841,14$ euros

c) $30\,0000=15\,000\,\left( 1+i\right)^{10} \Rightarrow 1+i=\sqrt[10]{\dfrac{30\,000}{15\,000}}=\sqrt[10]{2}$
  Entonces, $i=\sqrt[10]{2}-1 = 2^{1/10}-1\approx 0,072 = 7,2\,\%$

d) $50\,0000=25\,000\,\left( 1+0,07\right)^t \Rightarrow \dfrac{50\,000}{25\,000}=\left( 1+0,07\right)^t$
con lo cual, $2=\left( 1+0,07\right)^t \Rightarrow \ln\,2=(\ln\,1,07)\,t \Rightarrow t= \dfrac{\ln\,2}{\ln\,1,07}\approx 10,24 \,\text{años} \approx 10\,\text{años y}\, 92\,\text{días}$
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Ejercicio número 97 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Las medidas de las tarjetas de crédito están en proporción áurea, es decir, el coente entre la madida del largo y la medida del ancho es el número áureo $\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Si miden $53$ milímetros de ancho, ¿ cuánto miden de largo ?.

SOLUCIÓN. Denotando por $\ell$ la longitud (del largo de la tarjeta) y teniendo en cuenta que la razón de las longitudes de los lados desiguales del rectángulo áureo es igual al número $\Phi$, podemos escribir $\dfrac{\ell}{53}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, de donde despejando $\ell$ llegamos a $$\ell=\dfrac{53\,(1+\sqrt{5})}{3} \approx 86\,\text{mm}$$ $\square$
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Ejercicio número 101 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Una moto se devalúa un $15\,\%$ cada año. Si nos ha costado $5\,000$ euros, ¿ qué valor tendrá al cabo de $10$ años ?.
SOLUCIÓN.
Llamemos $V(t)$ al valor de la moto al cabo de $t$ años; $t$ al tiempo en años; $d$ a la tasa de devaluación anual (en tanto por unidad), y $V_0$ al valor inicial. Entonces $V(t)=V_{0}\,\left(1-d\right)^{t}$, luego $V(10)=5\,000\cdot \left(1-0,15\right)^{10}=5\,000\cdot 0,85^{10}\approx 984,37$ euros. $\square$

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Ejercicio número 104 de la página 40 del libro de texto base ( enunciado debidamente corregido )
ENUNCIADO. El número de núcleos radioactivos en un cierto instante de tiempo viene dado por la función $N(t)=N_0\,e^{-\lambda\,t}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido expresado en años desde que empezó el proceso de desintegración; $\lambda=\dfrac{\ln\,2}{\tau}$ es una constante que donominamos constante de desintegración radioactiva, y $e\approx 2,7183$ es la base de los logaritmos neperianos. El periodo de semidesintegración radioactiva ( tiempo necesario para reducirse el número de núcleos radioactivos inicial a la mitad ) del Carbono-14 es igual a $\tau=5\,730$ años. Si en un principio tenemos $7\cdot 10^{24}$ núcleos radioactivos de Carbono-14, ¿ cuántos tiempo transcurre para que dicha cantidad se reduzca a $6\cdot 10^{24}$ núcleos ?.


SOLUCIÓN. De acuerdo con la definición dada en el enunciado, la constante de desintegración es igual a $\dfrac{\ln\,2}{5\,730}\,\dfrac{1}{\text{años}}$. Entonces, podemos escribir $$6\cdot 10^{24}=7\cdot 10^{24}\cdot e^{-\lambda\,t}$$ de donde $$\ln\,\dfrac{6\cdot 10^{24}}{7\cdot 10^{24}}=-\lambda\,t\cdot\ln\,e$$ y como $\ln\,e=1$, y simplificando, tenemos que $$\ln\,\dfrac{6}{7}=-\lambda\,t$$ luego, despejando $t$, obtenemos $$t= -\dfrac{\ln\,\dfrac{6}{7}}{\lambda} = \dfrac{\ln\,(7/6)}{(\ln\,2)/5730} = \dfrac{5730\cdot \ln\,(7/6)}{\ln\,2} \,\text{años} \approx 1\,274 \,\text{años}$$ $\square$
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