Grupo B ( e. académicas ) - Tarea de progresión número 2 de la semana del 19 al 25 de octubre

Ejercicio número 20 de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Descompón en factores el numerador y el denominador, y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) $\dfrac{x^2-x}{3x-3}$

b) $\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}$


SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{x^2-x}{3x-3}=\dfrac{x\,(x-1)}{3\,(x-1}=\dfrac{x}{3}$

b)
$\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x-2}{x+2}$


$\square$
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Ejercicio número 22, aparatados a y b, de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula:
a) $\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{2}{x-3}$

b) $\dfrac{8}{x^2+2x}-\dfrac{4x}{2x+4}$


SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{2\,(x-3)}{(x+3)(x-3)}+\dfrac{2\,(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{2\,(x-3)+2\,(x+3)}{(x-3)(x+3)}=$

  $=\dfrac{4x}{x^2-9}$

b)
$\dfrac{8}{x^2+2x}-\dfrac{4x}{2x+4}=\dfrac{8}{x\,(x+2)}-\dfrac{4x}{2\,(x+2)}=\dfrac{8\cdot 2}{2\,x\,(x+2)}-\dfrac{4x\cdot x}{2\,x\,(x+2)}=$

  $=\dfrac{16-4\,x^2}{2\,x\,(x+2)}=-\dfrac{4\,(x^2-4)}{2\,x\,(x+2)}=-\dfrac{4}{2}\,\dfrac{x^2-4}{x\,(x+2)}=-2\,\dfrac{x^2-4}{x\,(x+2)}$


$\square$
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Ejercicio número 24, apartados b y c, de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula:
b) $\dfrac{x^2-x}{x-3}\div\dfrac{4x-4}{x^2-9}$

c) $\dfrac{x+1}{x-2}\div \dfrac{x^2-1}{x^2+x-6}$


SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{x^2-x}{x-3}\div\dfrac{4x-4}{x^2-9}$

  $=\dfrac{x\,(x-1)}{x-3}\div\dfrac{4\,(x-1)}{(x-3)(x+3)}$

    $=\dfrac{x\,(x-1)}{x-3}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{4\,(x-1)}{(x-3)(x+3)}\right)$

      $=\dfrac{x\,(x-1)}{x-3}\cdot \dfrac{(x-3)(x+3)}{4\,(x-1)}$

        $=\dfrac{x\,(x-1)(x-3)(x+3)}{4\,(x-1)(x-3)}$

          $=\dfrac{x\,(x+3)}{4}$


b)
$\dfrac{x+1}{x-2}\div \dfrac{x^2-1}{x^2+x-6}$

  $=\dfrac{x+1}{x-2}\div \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+3)}$, puesto que $x^2+x-6$ tiene $2$ y $-3$ por raíces, luego $x^2+x-6=(x-2)(x-(-3))$. Entonces, la expresión con fracciones es igual a:

    $=\dfrac{x+1}{x-2}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+3)}\right)$

      $=\dfrac{x+1}{x-2}\cdot \dfrac{(x-2)(x+3)}{(x-1)(x+1)}$

        $=\dfrac{(x+1)(x-2)(x+3)}{(x-2)(x-1)(x+1)}$

          $=\dfrac{x+3}{x-1}$


$\square$
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Ejercicio número 25, apartado b, de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Opera y simplifica:
b) $\left(x+\dfrac{x}{1-x}\right)\div \left(x-\dfrac{x}{1-x}\right)$


SOLUCIÓN.
$\left(x+\dfrac{x}{1-x}\right)\div \left(x-\dfrac{x}{1-x}\right)$

  $=\dfrac{x\,(1-x)+x}{1-x}\div \dfrac{x\,(1-x)-x}{1-x}$

    $=\dfrac{-x\,(x+2)}{1-x}\div \dfrac{-x^2}{1-x}$

      $=\dfrac{-x\,(x+2)}{1-x}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{-x^2}{1-x}\right)$

        $=\dfrac{-x\,(x+2)}{1-x}\cdot \dfrac{ 1-x}{-x^2}$

          $=\dfrac{x\,(x+2)}{1-x}\cdot \dfrac{ 1-x}{x^2}$

            $=\dfrac{x\,(x+2)(1-x)}{x^2\,(1-x)}$

              $=\dfrac{x+2}{x}$


$\square$
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Ejercicio número 51 de la página 62 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla la siguiente potencia de binomio aplicando la fórmula de Newton $$\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^5$$ SOLUCIÓN.
$\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^5=$

  $\dfrac{1}{y^5}\,\left(xy+1\right)^5$, y desarrollando por la fórmula del binomio de Newton el segundo factor:

    $\dfrac{1}{y^5}\,\left( xy^5+5xy^4+10xy^2+5xy+1 \right)$

      $\dfrac{xy^5}{y^5}+\dfrac{5xy^4}{y^5}+\dfrac{10xy^2}{y^5}+\dfrac{5xy}{y^5}+\dfrac{1}{y^5}$

        $x+5\cdot\dfrac{x}{y}+10\cdot\dfrac{x}{y^3}+5\cdot\dfrac{x}{y^4}+\dfrac{1}{y^5}$


$\square$
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Ejercicio número 59 de la página 62 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división $(2x^3-x+k)\div (x-2)$ sea $3$


SOLUCIÓN.
Llamemos $P(x)$ al polinomio dividendo: $P(x)=2x^3-x+k$. Entonces,según el teorema del resto, $P(2)=3$, luego $2\cdot 2^3-2+k=3$, esto es, $14+k=3 \Rightarrow k =-11$


$\square$
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Ejercicio número 79 de la página 63 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Efectúa las siguientes operaciones y simplifica los resultados $$\left( \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{x^2-4} \right)\div \left( 4 + \dfrac{12}{x-2}\right)$$

SOLUCIÓN.
$\left( \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{x^2-4} \right)\div \left( 4 + \dfrac{12}{x-2}\right)=$

  $=\left( \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{(x-2)(x+2)} \right)\div \left( 4\cdot (1+\dfrac{3}{x-2})\right)$

    $=\dfrac{2\,(x-2)+3}{(x+2)(x-2)} \div \left( 4\cdot \dfrac{x-2+3}{x-2}\right)$

      $=\dfrac{2\,x-1}{(x+2)(x-2)} \div \left( 4\cdot \dfrac{x+1}{x-2}\right)$

        $=\dfrac{2\,x-1}{(x+2)(x-2)} \cdot \text{inverso} \left( 4\cdot \dfrac{x+1}{x-2}\right)$

          $=\dfrac{2\,x-1}{(x+2)(x-2)} \cdot \dfrac{x-2}{4\,(x+1)}$

            $=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(2\,x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+1)}$

              $=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2\,x-1}{(x+2)(x+1)}$




$\square$
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