Grupo B ( e. académicas ) - Tarea de progresión número 1 de la semana del 19 al 25 de octubre

Ejercicio número 3 de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla la potencia del binomio aplicando la fórmula de Newton: $(x+2\,y)^6$


SOLUCIÓN.
$(x+2\,y)^6=\binom{6}{0}\,x^6\,(2y)^0+\binom{6}{1}\,x^5\,(2y)^1+\binom{6}{2}\,x^4\,(2y)^2+\binom{6}{3}\,x^3\,(2y)^3+$ ( continúa en la siguiente línea )

  $+\binom{6}{4}\,x^2\,(2y)^4+\binom{6}{5}\,x^1\,(2y)^5+\binom{6}{6}\,x^0\,(2y)^6=$

    $=x^6+12\,x^5\,y+60\,x^4\,y^2+160\,x^3\,y^3+240\,x^2\,y^4+129\,x\,y^5+64\,y^6$
$\square$


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Ejercicio número 7 de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula $P(x)\div Q(x)$, siendo $(x)=4\,x^5-6\,x^4+2\,x^2+8$ y $Q(x)=x^2-2\,x-1$


SOLUCIÓN.

$\square$


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Ejercicio número 10 de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
¿ Cuál de estos números, $2$ o $-2$, es raíz del polinomio $P(x)=3\,x^3-6\,x^2+12\,x-24$ ?


SOLUCIÓN.
$P(2)=3\cdot 2^3-6\cdot 2^2+12\cdot 2-24=0$, luego $2$ es una raíz de $P(x)$
$P(-2)=3\cdot (-2)^3-6\cdot (-2)^2+12\cdot (-2)-24 =-96 \neq 0$, luego $-2$ no es una raíz de $P(x)$
$\square$


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Ejercicio número 11 de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla, sin hacer la división, el resto de la división del polinomio $P(x)=x^2+2\,x^3-4\,x+5$ entre el polinomio $x+3$


SOLUCIÓN.
Según el teorema del resto, el resto de la división de $P(x)$ entre un polinomio de primer grado mónico $x-k$ es igual a $P(k)$.
Entonces, como $x+3=x-(-3)$, $k=-3$ y por tanto el resto pedido es $P(-3)=(-3)^2+2\cdot (-3)^3-4\cdot (-3)+5=-28$ $\square$


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Ejercicio número 14 de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división $(x^4+k\,x^3-k\,x+5)\div (x-2)$ sea $-3$


SOLUCIÓN.
Como, según el teorema del resto, el resto de la división de $P(x)=x^4+k\,x^3-k\,x+5$ entre $x-2$ es igual a $P(2)$, podemos escribir que $P(2)=-3$, y por tanto, $2^4+2^3\,k-2\,k+5=-3$. Resolviendo esta ecuación en $k$, obtenemos: $16+8k-2k+5=-3 \Rightarrow 6\,k=-24 \Rightarrow k=-24/6=-4$
$\square$


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Ejercicio número 17, apartado d, de la página 55 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Factoriza el siguiente polinomio, hallando previamente las raíces del mismo:

d) $P(x)=x^5-4\,x^4+5\,x^3-2\,x^2$

SOLUCIÓN.
La condición necesaria para que encontrar las raíces de $P(x)$ es que el polinomio se anule para dichos valores: $P(x)=0$. Así, $x^5-4\,x^4+5\,x^3-2\,x^2=0$, ecuación que podemos expresar de la forma $x^2\,(x^3-4\,x^2+5\,x-2)= \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^0=0 \Rightarrow x=0 \\ x^3-4\,x^2+5\,x-2 = 0\end{matrix}\right.$, luego una raíz es $r_1=0$ con multiplicidad $m_1=2$; veamos ahora cuáles son las raíces de $Q(x)=x^3-4\,x^2+5\,x-2$, y, para ello impondremos que se anule, $Q(x)=0$, con lo que las posibles raíces enteras del mismo han de ser divisores del término independiente - que es $-2$ -, y que son $\{\pm 1,\pm 2\}$. Al probar cuáles de estos cuatro números anulan el polinomio $Q(x)$, encontramos que $Q(2)=Q(1)=0$, por lo que podemos decir que $1$ es una raíz de $Q(x)$, y por tanto, también lo es de $P(x)$, ya que $P(x)=x^2\,Q(x)$, y lo mismo con $2$, luego podemos afirmar que otras dos raíces de $P(x)$ son $r_2=1$ y $r_3=2$. Examinemos ahora cuáles son sus multiplicidades. Al dividir $Q(x)$ entre $(x-1)$ encontramos que el cociente de dicha división ( el resto es cero, como debe ser, por ser $1$ raíz de $Q(x)$) es el polinomio $x^2-3x+2$, y, al buscar sus raíces, nos encontramos con que $1$ también es raíz de dicho polinomio, por lo que la multiplicidad de $r_2=1$ es $m_2 =2$. Como la suma de las multiplicidades $m_1+m_2=2+2=4$, la multiplicidad de $r_3=2$ ha de ser $m_2=5-4=1$, ya que la suma de las multiplicidades de las raíces halladas, $m_1+m_2+m_3$ ha de ser menor o igual que el grado del polinomio ( que es $5$ ). De todo ello concluimos que $P(x)$ factoriza de la siguiente manera: $$P(x)=x^2\,(x-1)^2\,(x-2)$$ $\square$


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Ejercicio número 18, apartado d, de la página 55 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Halla el polinomio de grado $4$ que tenga las siguientes raíces:
d) $x_1=0$, $x_2=x_3=2$, $x_4=-3$

SOLUCIÓN.
Como la raíz $2$ aparece por partida doble, su multiplicidad es $2$; por otra parte, las de las otras dos, $0$ y $-3$, son ambas $1$. Al ser la suma de las multiplicidades igual al grado del polinomio que queremos determinar, que es $4$, podemos escribir que, según el teorema del factor: $P(x)=(x-0)\,((x-2)^2\,(x-(-3))$, esto es $$P(x)=x\,(x-2)^2\,(x+3)$$ $\square$


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Ejercicio número 19, apartado d, de la página 55 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla los polinomios máximo común divisor y mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios:
d) $\{P(x)=x^3-4\,x^2+5\,x-2\,,\,Q(x)=x^3-5\,x^2+8\,x-4\}$

SOLUCIÓN.
Factorizando los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ tal como lo hemos hecho en el ejercicio 17, encontramos ( omito los cálculos, que tenéis que hacer vosotras ): $P(x)= (x-1)^2\,(x-2)$ y $Q(x)= (x-2)^2\,(x-1)$. Entonces, según el algoritmo usual para calcular el mínimo común divisor y el algoritmo usual del máximo común divisor ( los mismos que utilizamos con los números enteros ), podemos decir que $\text{m.c.m}(\{P(x),Q(x)\})=(x-1)^2\,(x-2)^2$, y $\text{m.c.d}(\{P(x),Q(x)\})=(x-1)\,(x-2)$.
$\square$