Logaritmos

Voy a exponer primero una idea clave para entender la razón de ser de los logaritmos a partir de una situación sencilla. Supongamos la sucesión $\{1,2,4,8,16,32,64,\ldots,\}$ que puede escribirse también como la sucesión de las potencias de base $2$ cuyos exponentes son los números naturales consecutivos $\{2^0,2^1,2^2,2^3, 2^4, 2^5, 2^6, \ldots \}$.

Realizar la multiplicación de dos términos de esta sucesión reviste poco esfuerzo si dichos números pequeños, como por ejemplo $8\cdot 4=32$; y lo mismo podemos decir si dividimos dos de estos términos, quizás cueste un poco más, pero no mucho más ( por ejemplo, $8\div 4=2$ ). Ahora bien, si los números ya son un poco más grandes, estas operaciones empiezan a ser costosas.

No obstante, démonos cuenta de que la suma de los exponentes de los factores expresados en forma de potencia da el exponente del resultado de la multiplicación, esto es, en los ejemplos expuestos: $8\cdot 4 = 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2}=2^5=32$. Y algo parecido sucede con la división ( cociente ): la resta de exponentes de los términos de la división expresados en forma de potencia proporciona el exponente del resultado del cociente: $8\div 4 = 2^3 \div 2^2 = 2^{3-2}=2^1=2$. Esto nos lleva a la idea de compilar una tabla de potencias de base $2$ con sus exponentes que muestre también el resultado de las mismsmas para así evitar las operaciones directas de multiplicación y división. Así, identificando los exponentes, y con la consulta de dichas tablas, podemos "convertir" una multiplicación en una suma, y una división en una resta ( de exponentes ). Pues bien, ésta es precisamente la idea clave a la que me refería. A los exponentes les llamaremos logaritmos ( que abreviaremos con la notación $\log$; en el caso expuesto, hablaremos de logaritmos en base 2.

Convenimos pues en escribir $\log_{2}\,4=\log_{2}\,2^{2}=2$ - resultado al que denominaremos valor del logaritmo - y tal cosa es así porqué el argumento de esta operación logarítmica, $4$ en este caso, es igual a la base del logaritmo ( que es $2$ ) elevada al resultado del mismo ( que en este ejemplo es tambíen $2$ ).

Esto es generalizable a cualquier número real positivo que tomemos como base y a cualquier número real positivo que tomemos como argumento de la operación logaritmo: $$\log_{b}\,a=\ell \Leftrightarrow b^{\ell}=a$$ con lo cual podremos hablar de logaritmos en base arbitraria ( siempre que dicha base sea un positivo ).

John Napier introdujo, en esencia, esta idea en el siglo XVII y compiló las correspondientes tablas para poder dar utilidad práctica al uso de los logaritmos. El descubrimiento de esta técnica de cálculo supuso un gran avance práctico y teórico pues los navagantes, en sus travesías oceánicas, pudieron realizar de una manera viable los cálculos de trigonometría esférica necesarios oara que, a partir de los datos de la altura de al menos dos astros (estrellas reconocibles, los planetas observables, el Sol y la Luna), puediesen determinar calcular a continuación las coordenadas geográficas de la posición de la nave en el momento en el que se midieron las alturas de los astros.

Los contables también se beneficiaron de esta facilidad para realizar sus balances y cálculos financieros ( modelo de interés compuesto ). La base de los logaritos neperanos ( se notan con $\ln\,\equiv \log_e$ ) es el número irracional $=2,718\,281\,828\,\ldots$, que aparece en el estudio histórico del problema del interés compuesto al hacer tender a infinito la frecuencia anual a la que se hacen efectivos los intereses, además de encontrarlo tambíen en muchas situaciones y problemas de distinta índole.

Henry Briggs también elaboró tablas de cálculo, pero escogiendo como base logarítmica el número $10$. Los logaritmos de Neper ( $\log_e\,(.) \equiv \ln\,(.)$ ) y de Brigg ( $\log_{10}\,(.) \equiv \log\,(.)$ ) constituyen las llamadas bases estándar, y aparecen implementados hoy en día ( mediante cálculo de series ) en las calculadoras científicas, y, por supuesto, también en los libros de tablas logarítmicas que se usaban antes de la aparición de las calculadoras y de las computadoras. Además de dichos libros de tablas, se usaron dispositivos mecánicos como las llamadas reglas de cálculo, muy populares en los años cincuenta, sesenta y setenta del siglo pasado.

Las siguientes propiedades se deducen fácilmente de la definición de logaritmo arriba explicada ( propiedad fundamental ):
P1.     $\log_{b}\,a^m = m\,\log_{b}\,a$
P2.     $\log_{b}\,(c\cdot d) = \log_{b}\,c+\log_{b}\,d$
P3.     $\log_{b}\,\dfrac{c}{d} = \log_{b}\,c-\log_{b}\,d$

Ejemplos:
(1)   $\log_{10}\,1000=\log_{10}\,10^3\overset{\text{P1}}{=}3\,\log_{10}\,10=3\cdot 1 = 3$ (2)   $\log_{0,1}\,0,0001=\log_{0,1}\,0,1^{4}\overset{\text{P1}}{=}4\,\log_{0,1}\,10=4\cdot 1 = 4$ (3)   $\log_{3}\,(9\cdot 81)=\log_{3}\,(3^2\cdot 3^4)\overset{\text{P2}}{=}\log_{3}\,3^2+\log_3\, 3^4\overset{\text{P1}}{=}$
    $=2\,\log_3\,3+4\,\log_3\,3=2\cdot 1+ 4\cdot 1= 2+4=6$
(4)   $\log_{5}\,\dfrac{125}{25}=\log_{5}\,\dfrac{5^3}{5^2}\overset{\text{P3}}{=}\log_{5}\,5^3-\log_5\, 5^2\overset{\text{P1}}{=}$
    $=3\,\log_5\,5-2\,\log_5\,5=3\cdot 1- 2\cdot 1= 3-2=1$

Los logaritmos tienen una gran aplicación en física y electrónica. Así por ejemplo, en en acústica, el decibelio es la medida utilizada para expresar el nivel de potencia o el nivel de intensidad del sonido, y se define como el logaritmos del cociente de intesindad de señales saliente y entrante, ya que la percepción del oído humano ( y de otros animales ) presenta una sensibilidad no lineal que se aproxima bastante bien de forma logarítmica.

También encontramos los logaritmos en la escala de medida del grado de acidez/basicidad de una disolución, mediante el pH de la misma, que se define como $pH=-\log\,([H^+])$, donde el argumento representa la concentración molar de protones presentes en la disolución ( una disolución neutra tiene asociado un $pH=7$ ). $\square$