Resuelva las siguientes ecuaciones ...

Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) $\dfrac{1+x}{2}-\dfrac{1-x}{5}=\dfrac{1+2\,x}{15}$

b) $2\,x^2+5\,x-3=0$

c)
$\left\{\begin{matrix}
2\,x & - &3\, y &=5\\
3\,x & + & 2\,\,y &=1\\
\end{matrix}\right.$

Soluciones:

a) y b)

c)

$\square$

[nota del autor]

Sea un número entero positivo $m$, ¿ de cuántas maneras podremos escribirlo como suma de $n$ números enteros (no negativos) menores que $m$, esto es, de la forma $m=c_1+c_2+\ldots+c_n$ donde $n \le m$ ?.

Enunciado:
Sea un número entero positivo $m$, ¿ de cuántas maneras podremos escribirlo como suma de $n$ números enteros (no negativos) menores que $m$, esto es, de la forma $m=c_1+c_2+\ldots+c_n$ donde $n \le m$ ?.

Solución:
Este problema no es sencillo y requiere que investiguemos un poco.

De la misma manera que hemos hecho en el problema de colocar $m$ bolas indistinguibles en un conjunto de $n$ cajas, escogemos un código adecuado que permita representar la naturaleza esencial del problema con el fin de poder aprovechar ideas que ya han funcionado en problemas similares. Imaginemos que los $n$ sumandos son "las cajas", separadas por $n-1$ "tabiques", que representaremos mediante los símbolos separadores ("|"). Las cifras (las "bolas"), las representaremos con el símbolo "x" y deben ubicarse en el conjunto de las $n$ "cajas", sin que haya ninguna restricción en el números de ocupación de las cajas ( algunas pueden quedar sin ocupación). Hagamos algunas simulaciones sencillas con lapiz y papel:

Consideremos, por ejemplo, el caso que el número a descomponer sea $m$=4, y que el número de sumandos ("cajas" ) sea $n=3$; entonces, necesitamos $3-1=2$ "tabiques" o símbols separadores. Éstas son algunas ordenaciones posibles:

a)         x|xx|x     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+2+1$ )
b)         xxxx||     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=4+0+0$ )
c)         x|x|xx     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+1+2$ )
d)         ||xxxx     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=0+0+4$ )
e)         x|xxx|     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+3+0$ )
                ...


Por supuesto, se pueden escribir muchas más, pero con estas cinco, es fácil darse cuenta de que aparecen $\dfrac{4+3-1}{4!\,(3-1)!}=15$ posibilidades.

$\square$

[nota del autor]

Evalue la siguiente expresión, dando el resultado con el número de cifras significativas convenientes ...

Enunciado:
Evalue la siguiente expresión, dando el resultado con el número de cifras significativas convenientes, teniendo en cuenta que los valores que se dan corresponden a los de medidas de ciertas magnitudes y, por tanto, no se refieren a cantidades exactas sino a aproximaciones de dichas cantidades ideales:
$$(5,6 \times 10^{-5})(0,0000075)/(2,4 \times 10^{-12})$$

Solución:
Haciendo el cálculo con la ayuda de la calculadora científica, leemos en la pantalla, como resultado, "175", sin embargo, el número de cifras significativas del factor de la operación que tiene menor precisión ( todos tienen la misma ) es $2$, luego -- habiendo multiplicaciones/divisiones en la operación combinada -- debemos adecuar ( aproximar ) el resultado a dos cifras significativas, esto es, a 180, o lo que es lo mismo, el resultado que debemos dar atendiendo esta condición es $1,8 \times 10^2$

$\square$

[nota del autor]

Explique los siguientes conceptos sobre probabilidad

Enunciado:

Explique los siguientes conceptos:
  a) sucesos incompatibles
  b) sucesos independientes

Explique qué dice:
  c) el teorema de la probabilidad total
  d) la regla de Laplace

Explique qué entiende por:
  e) espacio muestral
  f) conjunto de las partes del espacio muestral
  g) espacio de probabilidad


Solución:

a)
Dos sucesos $A$ y $B$ decimos que son incompatibles si uno excluye al otro como resultado de la realización de la experiencia aleatoria a la cual están ligados. También puede decirse que dos sucesos $A$ y $B$ son incompatible si y sólo si $A \cap B = \varnothing$.

b)
Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$, esto es, si no hay condicionamiento en el hecho de que se de uno, sabiendo que se ha dado ya el otro.

c)
Sea un conjunto de sucesos $\{A_i\} \quad i=1\,,\ldots\,n$ tales que la unión de todos ellos es el espacio muestral $\Omega$ y de tal modo que la intersección de cada pareja de dichos conjuntos es vacía ( son incompatibles entre sí ); sea $B$ un suceso compuesto, entonces, en estas condiciones se cumple $P(B)=P(B|A_1)\,P(A_1)+ P(B|A_2)\,P(A_2)+\ldots+P(B|A_n)\,P(A_n)$ ( Teorema de la Probabilidad Total )

d)
La regla de Laplace permite asignar probabilidad a partir de la razón entre el número de casos favorables a que se de un cierto evento y el número total de eventos que puedan darse, suponiendo que dichos sucesos sean equiprobables.

e)
Sea una experiencia aleatoria, entendemos el espacio muestral $\Omega$ como un conjunto de sucesos elementales asociados a la misma de tal forma que: i) recubren el espacio de sucesos, y ii) la intersección de todas las parejas formadas por elementos distintos es vacía.

f)
El conjunto de las partes de un espacio muestral $\Omega$ finito, de cardinal $n$ ( número de sucesos elementales de que consta ) es el conjunto de los subconjuntos del mismo, y, por tanto, el número de dichos subconjuntos ( incluyendo el conjunto vació $\varnothing$ ( suceso imposible ) y el propio espacio muestral $\Omega$ ( suceso seguro ) se demuestra que es igual a $2^n$.

g)
Dada una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$, el espacio de probabilidad es la terna $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, donde: $\Omega$ es el espacio muestral; \mathcal{A} representa el conjunto de sucesos ( ya sean éstos elementales o bien compuestos ) y $P$ es una aplicación de $\mathcal{A}$ en $[0,1]\subset \mathbb{R}$ que llamamos aplicación probabilidad y representa una forma de medir en dicho espacio.

$\square$

[nota del autor]

Elegimos al azar una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Si dicha carta resulta ser una figura ( sota, caballo o bien rey ) extraemos una bola de una urna $U_1$ que contiene $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras; si la carta extraída no es figura, extraemos una bola de una urna $U_2$ que contiene $1$ bola blanca y $2$ bolas negras. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

Enunciado:
Elegimos al azar una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Si dicha carta resulta ser una figura ( sota, caballo o bien rey ) extraemos una bola de una urna $U_1$ que contiene $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras; si la carta extraída no es figura, extraemos una bola de una urna $U_2$ que contiene $1$ bola blanca y $2$ bolas negras. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

Solución:
Denotemos por $F$ al suceso extraer una carta que sea figura; $\bar{F}$, al suceso extraer una carta que no sea figura, y $B$, extraer bola blanca. Entonces, por el Teorema de la probabilidad Total se cumple $P(B)=P(B|F)\,P(F)+P(B|\bar{F})\,P(\bar{F})$   (1), y teniendo en cuenta que $P(F)=\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}$; $P(\bar{F})=1-P(F)=\dfrac{3}{4}$ ( por la propiedad del contrario ); $P(B|F)=\dfrac{4}{7}$ ( por la regla de Laplace, en la primera urna ), y $P(B|\bar{F})=\dfrac{1}{3}$ ( por la regla de Laplace, en la segunda urna ). Luego, de (1), $P(B)=\dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{28}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular: a) $V_{6,3}$ b) $VR_{3,4}$ c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$ d) $P_{8}$ e) $C_{7,2}$ f) $CR_{5,3}$ g) $C_{3,0}+C_{3,1}+C_{3,2}+C_{3,3}$

Enunciado:
Calcular:
  a) $V_{6,3}$
  b) $VR_{3,4}$
  c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$
  d) $P_{8}$
  e) $C_{7,2}$
  f) $CR_{5,3}$
  g) $C_{3,0}+C_{3,1}+C_{3,2}+C_{3,3}$

[nota del autor]

Al realizar un estudio estadístico se han encontrado los siguientes valores del mínimo y del máximo, y de los cuartiles: $x_{mín}=2$, $C_1=4$, $C_2=10$, $C_3=20$ y $x_{máx}=30$.

Enunciado:
Al realizar un estudio estadístico se han encontrado los siguientes valores del mínimo y del máximo, y de los cuartiles: $x_{mín}=2$, $C_1=4$, $C_2=10$, $C_3=20$ y $x_{máx}=30$.

Se pide:
  a) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
  b) Comentar cómo se distribuyen los valores de la variable estadística

Solución:

a) y b)

[nota del autor]