Raíces de un polinomio y descomposición en factores del mismo

ENUNCIADO. Calcular las raíces y factorizar $$P(x)=x^4-2\,x^3-x^2+2\,x$$

SOLUCIÓN. En este caso, un primer paso de factorización consiste, simplemente, en sacar factor común de $x$ en el polinomio dado $$x\cdot (x^3-2\,x^2-x+2)$$ luego una raíz del polinomio $P(x)$ es $r_1=0$, que tiene multiplicidad $1$, pues sólo aparecerá una vez.

Si hay más raíces, también lo serán del polinomio $x^3-2\,x^2-x+2$. Por uno de los teoremas estudiados sabemos que las posibles raíces enteras del mismo han de ser divisores del término independiente, $2$; y es inmediato encontrarlos, $\text{div}(2)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\}$.

Ensayemos, por ejemplo, el valor $-1$, y observemos que $\left( x^3-2\,x^2-x+2 \right)_{x=-1}=(-1)^3-2\cdot (-1)^2-(-1)+2=0$ lo cual implica que $-1$ es raíz del polinomio $x^3-2\,x^2-x+2$ y por tanto de $P(x)$; así que encontramos otra raíz, $r_2=-1$. Con lo cual otro paso de factorización de $P(x)$ es el siguiente $$P(x)=x\cdot (x-(-1)\cdot Q(x)$$

Veamos ahora cuál es el polinomio $Q(x)$; para ello basta dividir $x^3-2\,x^2-x+2$ entre $x-(-1)$. Empleando el método de Ruffini, $$\begin{array}{r|rr} & 1 & -2 & -1 & 2 \\ -1 & & -1 & 3 & -2 \\ \hline & 1 & -3 & 2 & 0 \end{array}$$
y por tanto, $Q(x)=x^2-3x+2$. Entonces, si $P(x)$ tiene más raíces, éstas también lo serán del polinomio $Q(x)$; así que, imponiendo la condición, de ráiz: $$x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 2\end{matrix}\right.$$ encontrando pues otras dos raíces $$r_3=1 \quad \text{y} \quad r_4=2$$

Resumiendo, hemos encontrado cuatro raíces ( todas ellas de multiplicidad uno ) para el polinomio dado ( que es de grado $4$ ): $$\{-1,0,1,2\}$$ Y, por el teorema del factor podemos decir que $$P(x)=x\cdot (x-(-1))\cdot (x-1)\cdot (x-2)$$ o lo que es lo mismo $$P(x)=x\cdot (x+1)\cdot (x-1)\cdot (x-2)$$
$\square$