Resolviendo ecuaciones con términos racionales

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{x}{x^2-4}$$

SOLUCIÓN. Multiplicando sendos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores transformaremos la ecuación con términos racionales en una ecuación polinómica.

Teniendo en cuenta que $x^2-4=x^2-2^2 \overset{\text{identidad notable}}{=}(x-2)(x+2)$, luego $\text{m.c.m.}(x-2,x+2,x^2-4)=x^2-4$

Entonces la ecuación pedida es equivalente a $$(x-2)(x+2)\,\dfrac{1}{x-2}+(x-2)(x+2)\,\dfrac{3}{x+2}=(x-2)(x+2)\,\dfrac{x}{x^2-4}$$ esto es $$(x-2)(x+2)\,\dfrac{1}{x-2}+(x-2)(x+2)\,\dfrac{3}{x+2}=(x-2)(x+2)\,\dfrac{x}{(x-2)(x+2)}$$ así que, simplificando, llegamos a la siguiente ecuación polinómica de grado $1$: $$x+2+3\,(x-2)=x$$ y resolviéndola, $$x+2+3\,x-6=x$$ $$3\,x=4$$ $$x=\dfrac{4}{3}$$
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