Resolviendo ecuaciones con términos exponenciales

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$2^{2\,x}+2^x-2=0$$

SOLUCIÓN.
La ecuación pedida puede escribirse de la forma $$(2^{x})^2+2^x-2=0$$
con lo cual podemos transformarla en una ecuación polinómica denotando por $t$ a $2^x$; así llegamos a $$t^2+t-2=0$$ Resolviendo esta ecuación en $t$ obtenemos $$t=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ -2\end{matrix}\right.$$ Deshaciendo ahora el cambio:

  Si $t=1$, entonces $1=2^x$, pero como $1$ puede expresarse como $2^0$, vemos que $2^x=2^0 \Leftrightarrow x=0$

  Si $t=-2$, entonces $-2=2^x$; en este caso no existe ningún número real, $x$ que cumpla esta condición.

En resumidas cuentas, la solución de la ecuación viene dada por un sólo valor, que es $x=0$

$\square$