Resolviendo ecuaciones exponenciales

ENUNCIADO. La fórmula del capital final $C_f$ del interés compuesto es $$C_f=C_i\cdot ( 1+i)^t$$ donde $C_i$ es el capital inicial, $t$ el número de años en el que éste está depositado, e $i$ es la tasa de interés anual expresada en tanto por unidad. Si $C_f=20\,000$ euros, $C_i=15\,000$ euros e $i=0,02$, ¿ cuánto tiempo $t$ se necesita que esté depositado el capital inicial ?.

SOLUCIÓN. Poniendo los datos en la fórmula, $$20\,000=15\,000\cdot (1+0,02)^t$$ y simplificando $$4=3\cdot 1,02^t$$ esto es $$\dfrac{4}{3}=1,02^t$$ Para despejar $t$, sacamos logaritmos en cada miembro $$\ln\,\dfrac{4}{3}=\ln \, 1,02^t$$ y por las propiedades de los logaritmos $$\ln\,\dfrac{4}{3}=t\cdot \ln \, 1,02$$ con lo cual $$t=\dfrac{\ln\,4/3}{\ln\,1,02} \approx 14\,\text{años} \,\text{y}\,6\,\text{meses}$$
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