Trigonometría y navegación. Un ejemplo sencillo

En esta entrada el blog voy a exponer un problema de aplicación de la trigonometría elemental a la navegación. Es el siguiente: Partiendo del punto $A$ hemos navegado $2$ millás náuticas (mn) hacia el norte, hasta llegar a un punto $B$; desde éste, navegamos ahora $3$ mn hacia el este, alcanzando un punto $C$. De haber navegado a rumbo directo, de $A$ a $C$, ¿qué rumbo hubiesemos seguido? ¿Qué hubiese sido la distancia navegada?

Observemos que los puntos $A$, $B$ y $C$ corresponden a los vértices de un triángulo rectángulo $\triangle(A,B,C)$, cuyo ángulo recto es $\angle\,ABC$ (de vértice $B$ con lados los segmentos $[A,B]$ y $[B,C]$). La distancia navegada pedida es la longitud de lado que une los vértices $A$ y $C$, que denotamos por $\overline{AC}$, y corresponde a la longitud de la hipotenusa del triángulo; entonces $\overline{AC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\,\text{mn}$.

Observación: Notemos que si decidimos navegar por tramos de $A$ a $C$, es decir de $A$ a $B$ y, finalmente, de $B$ a $C$, la distancia navegada será mayor (desigualdad triangular), es decir $\overline{AB}+\overline{BC}=2+3=5 \gt \overline{AC}=\sqrt{13} \,\text{mn}$

Bien, sólo nos queda calcular el rumbo directo (de $A$ a $C$), que denotamos por $R_{A\rightarrow C}$. Dicho rumbo corresponde al ángulo $\measuredangle{BCA}$ (con vértice el punto de llegada $C$ y lados los segmentos $[A,B]$ y $[B,C]$) —si hacéis el pequeño esfuerzo de dibujar la figura, lo veréis bien claro—. Entonces, por la trigonometría elemental, podemos escribir $R_{A\rightarrow C}=\text{arctan}(\dfrac{2}{3}) \approx 33,7^{\circ} \approx 034^\circ$

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Nota: Los rumbos en navegación, de $000^\circ$ a $360^\circ$ (una vuelta completa), y que se redondean al grado cuando se gobierna con el compás de navegación (al timón), recorren los cuatro cuadrantes en el sentido de las agujas del reloj (al revés que en trigonometría): los rumbos del primer cuadrante van de $000^\circ$ (rumbo Norte) a $090^\circ$ (rumbo Este); los del segundo cuadrante van de $090^\circ$ (rumbo Este) a $180^\circ$ (rumbo Sur); los del tercer cuadrante, de $180^\circ$ (rumbo Sur) a $270^\circ$ (rumbo Oeste), y los del cuarto cuadrante, de $270^\circ$ (rumbo Oeste) a $360^\circ$ (rumbo Norte).

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Un ejercicio de resolución de una ecuación polinómica de tercer grado muy sencilla

En este ejercicio voy a obtener los números reales que satisfacen la igualdad $x^3-x=0$, recurriendo a las propiedades básicas del álgebra.

  $x^3-x=0$
    $x\,(x^2-1)=0$
      $x\,(x^2-1^2)=0$, y por la identidad $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, se tiene que
        $x\,(x+1)(x-1)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ x+1=0 \Leftrightarrow x=-1 \\ x-1=0 \Leftrightarrow x=1 \end{matrix}\right.$
Luego el conjunto pedido es $\{-1,0,1\}$

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Una ejercicio sobre la resolución de una cierta ecuación polinómica de cuarto grado

$(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)=80$
  $((x+5)(x+2))((x+4)(x+3))=80$
    $(x^2+7x+14)(x^2+7x+12)=80$
      $(x^2+7x+13+1)(x^2+7x+13-1)=80$
        $((x^2+7x+13)+1)((x^2+7x+13)-1)=80$
          $(u+1)(u-1)=80 \because u:=x^2+7x+13$
            $u^2-1^2=80$
              $u^2-1=80$
                $u^2=80+1$
                  $u^2=81$
                    $u=\pm\sqrt{81}$
                      $u=\pm 9 \therefore x^2+7x+13=\left\{\begin{matrix}-9 & (i)\\9 & (ii)\end{matrix}\right. $
Entonces,
  $(i)$ $x^2+7x+13=-9$
    $x^2+7x+22=0$ no tiene solución en $\mathbb{R}$ $\because \Delta=7^2-4\cdot 1\cdot 22 \lt 0$
  $(ii)$ $x^2+7x+13=9$
    $x^2+7x+4=0$ sí tiene solución en $\mathbb{R}$ $\because \Delta=7^2-4\cdot 1\cdot 4 = 33 \gt 0$ con lo cual, encontraremos dos valores reales distintos en la solución:
      $x=\dfrac{-7\pm \sqrt{33}}{2\cdot 1}$, esto es, la solución de la ecuación polinómica de cuarto grado propuesta consta sólo dos valores reales: $\left\{\begin{matrix}x_1=\dfrac{-7 + \sqrt{33}}{2}\lt 0 \\ x_2= \dfrac{-7 - \sqrt{33}}{2}\lt 0\end{matrix}\right.$
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Acerca de cómo utilizar las fracciones para manejar un cabezal divisor de precisión en una fresadora, de enorme importancia, por ejemplo, para fresar los dientes de un engranaje

Una fresadora dispone de un cabezal giratorio para realizar divisiones equiespaciadas de gran precisión, que, por ejemplo, sirve para fresar los dientes de los engranajes.

Ejemplo de un engranaje recto

Ejemplo de una fresa módulo para tallar engranajes

Está formado por mecanismo que consta de un conjunto de tres platos intercambiables, cada uno con el número de agujeritos que se muestra en la tabla de abajo. Por otra parte, el husillo del sistema giratorio es tal que mediante $40$ vueltas enteras de la manivela el sistema da $1$ vuelta entera. Queremos fresar los dientes de un engranaje recto que consta de $Z=26$ dientes. Para pasar de un diente a otro, ¿cuál es el número de vueltas enteras y la fracción de vuelta (en el plato apropiado), $d$, que deberemos dar con la manivela del mecanismo divisor?.

Observación importante: Notemos que de querer hacer las divisiones con un simple indicador goniométrico, incluso con el correspondiente nonio, la precisión que éste puede proporcionar es insuficiente, en efecto, el ángulo central entre diente y diente para un engranaje como el supuesto, de $26$ dientes, es igual a $\dfrac{360^\circ}{26}=13^\circ\,50'\,46,15^{''}$: el error que se iría acumulando entre división y división sería excesivo, y el tallaje saldría mal.

[Créditos de esta imagen]

           número de agujeros equiespaciados
plato A        15  16  17  18  19  20
plato B        21  23  27  29  31  33
plato C        37  39  41  43  47  49

De acuerdo con lo explicado en el enunciado, y en buena lógica, tenemos que calcular $d_Z:=\dfrac{40}{Z}$. Entonces, $d_{26}=\dfrac{40}{26}=1+\dfrac{14}{26}=1+\dfrac{7}{13}=1+\dfrac{21}{39}$. Para ocuparnos de la fracción de vuelta podemos colocar el plato C, de tal manera que, daremos $1$ vuelta completa al husillo más una fracción de vuelta que corresponde a desplazar $21$ agujeros del círculo que consta de un total de $39$ agujeritos.

En la siguiente imagen se muestra la máquina herramienta fresadora universal:

[Créditos de la imagen: Tecnomaquinaria]

Observación: En el caso de no encontrar una combinación válida entre el conjunto de platos con sus correspondientes círculos de agujeros, deberíamos recurrir a añadir un tren de engranajes que conecte el movimiento del eje de la manivela del divisor con el eje paralelo de la plataforma giratoria, con la relación necesaria entre ellos, para poder realizar lo que se conoce como división diferencial. El plato divisor que se utiliza para ello se denomina plato divisor universal. Sin embargo, no voy a profundizar en este aspecto de la cuestión, que, por lo demás, es sumamente interesante. En la siguiente imagen, aparece el tren de engranajes al que me refiero, colocado en el cabezal divisor.

A modo de ampliación, y para las personas que tengáis inquietudes sobre el tema (mecanización, ingeniería mecánica,...), he ampliado este artículo en mi blog >i>Un pequeño taller [https://unpequenotaller.blogspot.com/2024/02/fracciones-de-vuelta-en-un-mecanismo.html] en el que explico cómo se realiza la división diferencial, con un ejemplo práctico.

Créditos de la imagen: Monografías

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Razón de los radios de dos esferas a partir de la razón de sus volúmenes

Consideremos dos esferas, una más grande que la otra: el volumen de la mayor es veintisiete veces el volumen de la menor. Nos preguntamos, cuál es la razón entre el diámetro de la mayor y el diámetro de la menor.

Sabemos que el volumen de una esfera es proporcional al cubo del radio: $V\propto r^3$. Denotemos por $V_1$ y por $r_1$ el volumen y el radio de la esfera mayor, y por $V_2$ y $r_2$ el volumen y el radio de la menor. Tendremos también en cuenta que $r_1=d_{1}/2$ y $r_2=d_{2}/2$, siendo $d_1$ y $d_2$ los respectivos diámetros. Entonces, según el enunciado $\dfrac{V_1}{V_2}=27$, y, por otra parte, sabemos que $\dfrac{V_1}{V_2} \propto \dfrac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3$; por consiguiente, $=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3=27=3^3 \Rightarrow \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{d_1/2}{d_2/2}=\dfrac{d_1}{d_2}=\sqrt[3]{3^3}= 3$

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Un ejercicio de demostración sobre logaritmos

Se nos pide que, siendo $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{b}{a}$ y $k$ números reales positivos, demostremos que $$\log_k\,\left(\dfrac{a}{b}\right)+\log_k\,\left(\dfrac{b}{a}\right)=0$$

Demostrémoslo:
  $\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(\frac{b}{a})=$
    $=\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(\frac{1}{\frac{a}{b}})$
      $=\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(1) - \log_k\,(\frac{a}{b})$
        $=\log_k\,(\frac{a}{b})+0- \log_k\,(\frac{a}{b})$
          $=\log_k\,(\frac{a}{b})-\log_k\,(\frac{a}{b})$
          $=0$

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Manejo de los logaritmos para resolver ecuaciones con términos exponenciales

Nos piden que resolvamos la siguiente ecuación en el conjunto de los números reales: $$2^x=5$$

Esta vez, y para mostrar cómo podemos hacer las cosas de varias maneras, no vamos a extraer logaritmos en cada miembro de manera directa (tal como se ha hecho en el artículo precedente), sino que, teniendo en cuenta que, si los dos miembros de la ecuación fuesen potencias de la misma base, bastaría con igualar los exponentes y despejar la incógnita, llegaremos también así al mismo resultado (con la aparición de los logaritmos, al final). Vamos a hacer alguna transformación para que podamos aplicar esta idea: como $2=e^{\ln\,(2)}$ y $5=e^{\ln\,(5)}$ —$\ln\,(.)$ denota el logaritmo en base $e$, esto es, $\ln\,(.)\equiv \log_e\,(.)$—, podemos escribir la ecuación de manera equivalente de la forma:
  $\left( e^{\ln\,(2)} \right)^x = e^{\ln\,(5)} $
    $e^{x\,\ln\,(2)} = e^{\ln\,(5)}$, con lo cual,
      $x\,\ln\,(2)=\ln\,(5)$
        $x=\dfrac{\ln\,(5)}{\ln\,(2)}$, que, si se quiere, también podemos expresarlo de la forma:
          $x=\log_{2}\,(5)$

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