ENUNCIADO. Se lanzan $5$ monedas laplacianas. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener $3$ caras y $2$ cruces ?
SOLUCIÓN. Lanzar $5$ monedas a la vez equivale a lanzar cinco veces seguidas una de dichas monedas. El espacio muestral está formado por sucesos ( elementales ) del tipo $$\{+C+++\quad,\quad C+CC+\quad , \quad CC+C+\quad,\quad\ldots\}$$ Así, pues, el número de casos posibles ( número de sucesos del espacio muestral ) es igual a $VR_{2,5}=2^5=32$. Por otra parte el número de maneras de seleccionar $3$ caras entre $5$ resultados ( de los cinco lanzamientos ) es $\binom{5}{3}=10$, luego, por la regla de Laplace ( el espacio muestral que hemos concebido está formado por sucesos equiprobables ), la probabilidad pedida es igual a $$\displaystyle \dfrac{\binom{5}{3}}{2^5}=\dfrac{10}{32}=\dfrac{5}{16}$$
$\square$
jueves, 9 de febrero de 2017
Dos cartas de distinto palo
ENUNCIADO. Extraemos dos cartas de una baraja española que consta de $40$ cartas ( se han retirado los cuatro 'ochos' y los cuatro 'nueves' ). ¿ Cuál es la probabilidad de que esas dos cartas sean de distinto palo ?.
SOLUCIÓN. Recordemos que esta baraja consta de $4$ palos ( bastos, oros, copas y espadas ), con $10$ cartas en cada palo. Teniendo en cuenta que el espacio muestral está formado por $\binom{40}{2}$ sucesos equiprobables, la probabilidad de obtener dos cartas de un determinado palo, pongamos que de bastos es igual a $$\displaystyle \dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}=\dfrac{3}{52}$$ ya que el número de casos favarables es igual $\binom{10}{2}$
Así, pues, por el principio de adición, la probabilidad de obtener dos cartas del mismo palo ( cualesquiera que éste sea: bastos, oros, copas o espadas ) $$\displaystyle \dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}+\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}+\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}+\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}=4\cdot \dfrac{3}{52} = \dfrac{3}{13}$$ ya que el número de casos favorables es luego por la propiedad del suceso contrario ('obtener dos cartas que no sean del mismo palo') es igual a $$1-\dfrac{3}{13}=\dfrac{10}{13}\approx 77\,\%$$
$\square$
SOLUCIÓN. Recordemos que esta baraja consta de $4$ palos ( bastos, oros, copas y espadas ), con $10$ cartas en cada palo. Teniendo en cuenta que el espacio muestral está formado por $\binom{40}{2}$ sucesos equiprobables, la probabilidad de obtener dos cartas de un determinado palo, pongamos que de bastos es igual a $$\displaystyle \dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}=\dfrac{3}{52}$$ ya que el número de casos favarables es igual $\binom{10}{2}$
Así, pues, por el principio de adición, la probabilidad de obtener dos cartas del mismo palo ( cualesquiera que éste sea: bastos, oros, copas o espadas ) $$\displaystyle \dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}+\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}+\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}+\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}=4\cdot \dfrac{3}{52} = \dfrac{3}{13}$$ ya que el número de casos favorables es luego por la propiedad del suceso contrario ('obtener dos cartas que no sean del mismo palo') es igual a $$1-\dfrac{3}{13}=\dfrac{10}{13}\approx 77\,\%$$
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lunes, 6 de febrero de 2017
Eligiendo la junta
ENUNCIADO. En una comunidad que consta de $20$ vecinos, se quiere elegir una junta formada por un presidente, un secretario y un tesorero. ¿ Cuántas posibilidades hay ?
SOLUCIÓN. Hay $20$ posibilidades de elegir el presidente ( entre los $20$ vecinos ); elegido éste, hay $20-1=19$ posibilidades de elegir el secretario; y, elegidos estos dos, hay $20-2=18$ posibilidades de elegir el tercer miembro de la junta ( el tesorero ). Entonces, por el principio multiplicativo del recuento, hay un total de $20\cdot 19\cdot 18= 6\,840$ posibilidades.
NOTA: Es evidente que elegidas las tres personas de la junta, importa a quien otorguemos el cargo de presidente, así como a quienes de las otras dos personas asignemos los otros dos cargos, luego -- si queremos formalizarlo un poco -- se trata de un problema de variaciones ordinarias de orden $3$, o dicho de otro modo, de un problema de variaciones de $20$ tomados de $3$ en $3$. Por lo tanto, también podríamos decir, sin más, que la solución es $V_{20,3}=20\cdot (20-1)\cdot (20-2)=6\,840$. O, también, según las propiedades de las variaciones ordinarias, que $V_{20,3}=\dfrac{20!}{(20-3)!}=\dfrac{20!}{17!}=20\cdot 19\cdot 18=6\,840$
$\square$
SOLUCIÓN. Hay $20$ posibilidades de elegir el presidente ( entre los $20$ vecinos ); elegido éste, hay $20-1=19$ posibilidades de elegir el secretario; y, elegidos estos dos, hay $20-2=18$ posibilidades de elegir el tercer miembro de la junta ( el tesorero ). Entonces, por el principio multiplicativo del recuento, hay un total de $20\cdot 19\cdot 18= 6\,840$ posibilidades.
NOTA: Es evidente que elegidas las tres personas de la junta, importa a quien otorguemos el cargo de presidente, así como a quienes de las otras dos personas asignemos los otros dos cargos, luego -- si queremos formalizarlo un poco -- se trata de un problema de variaciones ordinarias de orden $3$, o dicho de otro modo, de un problema de variaciones de $20$ tomados de $3$ en $3$. Por lo tanto, también podríamos decir, sin más, que la solución es $V_{20,3}=20\cdot (20-1)\cdot (20-2)=6\,840$. O, también, según las propiedades de las variaciones ordinarias, que $V_{20,3}=\dfrac{20!}{(20-3)!}=\dfrac{20!}{17!}=20\cdot 19\cdot 18=6\,840$
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domingo, 5 de febrero de 2017
Aplicaciones de los sistemas de inecuaciones
ENUNCIADO. En un taller se montan ordenadores e impresoras. Cada ordenador necesiata $2$ horas para su montaje, y cada impresora, $1$ hora. Teniendo en cuenta la plantilla del taller, diariamente se dispone de $120$ horas de trabajo. La capacidad de almacenaje del taller ( de los productos finalizados ) es de $80$ unidades. Si un ordenador y una impresora ocupan el mismo espacio ( en el almacén ), ¿ cuántos ordenadores e impresoras se pueden montar cada día ?.
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Resoviendo un sistema de inecuaciones
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de inecuaciones y represéntese la región del plano que corresponde a su solución:
$$\left\{\begin{matrix}y&\le& x&+&1\\ y&\ge& -2x&+&1 \\ y&\ge&0 \\ x &\le&1 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
$$\left\{\begin{matrix}y&\le& x&+&1\\ y&\ge& -2x&+&1 \\ y&\ge&0 \\ x &\le&1 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
sábado, 4 de febrero de 2017
Resolviendo inecuaciones
ENUNCIADO. Resolver las siguientes inecuaciones y representar las respectivas soluciones en la recta numérica, expresándolas también en el lenguaje algebraico así como en el de los intervalos:
a) $\left|2\,x-3\right|\succ 2$
b) $\left|x-2\right|\le 1$
c) $(x-4)^2-5 \prec 0$
d) $x^2+4x+3 \ge 0$
e) $\dfrac{x+1}{1-x}\le 0$
f) $\dfrac{1}{9}\,x-\dfrac{3}{2} \ge \dfrac{5}{6}$
SOLUCIÓN.
Presento las soluciones y comentarios en la siguiente lista de reproducción ( de vídeos ):
a) $\left|2\,x-3\right|\succ 2$
b) $\left|x-2\right|\le 1$
c) $(x-4)^2-5 \prec 0$
d) $x^2+4x+3 \ge 0$
e) $\dfrac{x+1}{1-x}\le 0$
f) $\dfrac{1}{9}\,x-\dfrac{3}{2} \ge \dfrac{5}{6}$
SOLUCIÓN.
Presento las soluciones y comentarios en la siguiente lista de reproducción ( de vídeos ):
jueves, 2 de febrero de 2017
Optimizando
ENUNCIADO. En un taller monta dispositivos de dos modelos, A y B. Cada unidad del modelo A requiere $3$ horas para su montaje; y cada unida del modelo B, $2$ horas. Teniendo en cuenta la plantilla del taller, éste dispone diariamente de, a lo sumo, $120$ horas de mano de obra; y no puede almacenar de $50$ dispositivos ( ya sean estos de tipo A o de tipo B ). Se pide:
a) Escribir el sistema de inecuaciones a partir de las restricciones que se dan en el enunciado
b) Representar en el plano cartesiano la región solución del sistema de inecuaciones
c) El taller obtiene un beneficio de $200$ euros por cada dispositivo de tipo A, y un beneficio de $150$ euros por cada dispositivo de tipo B. ¿ Cuántos dispositivos se deben montar de cada modelo para obtener el beneficio máximo ?
SOLUCIÓN.
Denotemos por $a$ y $b$ el número de unidades producidas de los modelos A y B, respectivamente.
a) Sistema de restricciones ( desigualdades ):
$$\mathcal{R}:\left\{ \begin{matrix} 3a&+&2b& \le& 120 & \quad (1) \\ a&+&b& \le& 50& \quad (2) \\ a &&&\ge& 0 &\quad (3) \\ b&&& \ge& 0 & \quad (4) \end{matrix}\right.$$ esto es
$$\mathcal{R}:\left\{ \begin{matrix} b&\le &-\dfrac{3}{2}\,a& +& 120 & \quad (1) \\ b&\le &-a& +& 50 & \quad (2) \\ a &&&\ge& 0 &\quad (3) \\ b&&& \ge& 0 & \quad (4) \end{matrix}\right.$$
Las ecuaciones de las rectas separadoras ( que contienen los lados de la región $\mathcal{R}$) son por tanto:
$$\begin{matrix} r_1:b&= &-\dfrac{3}{2}\,a& +& 120 \\ r_2:b&= &-a& +& 50 \\ r_3:a &&&=& 0 \\ r_4:b&&& =& 0 \end{matrix}$$
Vamos a representar las rectas en un mismo diagrama cartesiano:
Dos puntos de la recta $r_1$ son $A_1(0,120)$ y $B_1(80,0)$
Dos puntos de la recta $r_2$ son $A_1(0,50)$ y $B_1(50,0)$
La recta $r_3$ es el eje de ordenadas
La recta $r_4$ es el eje de abscisas
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades llegamos a
Luego la región $\mathcal{R}$ corresponde al triángulo de vértices $O(0,0)$, $P(50,0)$ y $Q(0,50)$. Todos los puntos del mismo satisfacen el sistema de desigualdades (restricciones).
Los beneficios obtenidos vienen dados por $200\,a+150\,b$. Puede comprobarse ( organizando los cálculos en una tabla ) que para $a=50$ y $b=0$ se obtiene el mayor de entre todos los que dan los demás puntos de la región $\mathbb{R}$. Ese beneficio máximo es $200\cdot 50+150\cdot 0=10\,000$ euros.
$\square$
a) Escribir el sistema de inecuaciones a partir de las restricciones que se dan en el enunciado
b) Representar en el plano cartesiano la región solución del sistema de inecuaciones
c) El taller obtiene un beneficio de $200$ euros por cada dispositivo de tipo A, y un beneficio de $150$ euros por cada dispositivo de tipo B. ¿ Cuántos dispositivos se deben montar de cada modelo para obtener el beneficio máximo ?
SOLUCIÓN.
Denotemos por $a$ y $b$ el número de unidades producidas de los modelos A y B, respectivamente.
a) Sistema de restricciones ( desigualdades ):
$$\mathcal{R}:\left\{ \begin{matrix} 3a&+&2b& \le& 120 & \quad (1) \\ a&+&b& \le& 50& \quad (2) \\ a &&&\ge& 0 &\quad (3) \\ b&&& \ge& 0 & \quad (4) \end{matrix}\right.$$ esto es
$$\mathcal{R}:\left\{ \begin{matrix} b&\le &-\dfrac{3}{2}\,a& +& 120 & \quad (1) \\ b&\le &-a& +& 50 & \quad (2) \\ a &&&\ge& 0 &\quad (3) \\ b&&& \ge& 0 & \quad (4) \end{matrix}\right.$$
Las ecuaciones de las rectas separadoras ( que contienen los lados de la región $\mathcal{R}$) son por tanto:
$$\begin{matrix} r_1:b&= &-\dfrac{3}{2}\,a& +& 120 \\ r_2:b&= &-a& +& 50 \\ r_3:a &&&=& 0 \\ r_4:b&&& =& 0 \end{matrix}$$
Vamos a representar las rectas en un mismo diagrama cartesiano:
Dos puntos de la recta $r_1$ son $A_1(0,120)$ y $B_1(80,0)$
Dos puntos de la recta $r_2$ son $A_1(0,50)$ y $B_1(50,0)$
La recta $r_3$ es el eje de ordenadas
La recta $r_4$ es el eje de abscisas
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades llegamos a
Luego la región $\mathcal{R}$ corresponde al triángulo de vértices $O(0,0)$, $P(50,0)$ y $Q(0,50)$. Todos los puntos del mismo satisfacen el sistema de desigualdades (restricciones).
Los beneficios obtenidos vienen dados por $200\,a+150\,b$. Puede comprobarse ( organizando los cálculos en una tabla ) que para $a=50$ y $b=0$ se obtiene el mayor de entre todos los que dan los demás puntos de la región $\mathbb{R}$. Ese beneficio máximo es $200\cdot 50+150\cdot 0=10\,000$ euros.
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