Optimizando

ENUNCIADO. En un taller monta dispositivos de dos modelos, A y B. Cada unidad del modelo A requiere $3$ horas para su montaje; y cada unida del modelo B, $2$ horas. Teniendo en cuenta la plantilla del taller, éste dispone diariamente de, a lo sumo, $120$ horas de mano de obra; y no puede almacenar de $50$ dispositivos ( ya sean estos de tipo A o de tipo B ). Se pide:
a) Escribir el sistema de inecuaciones a partir de las restricciones que se dan en el enunciado
b) Representar en el plano cartesiano la región solución del sistema de inecuaciones
c) El taller obtiene un beneficio de $200$ euros por cada dispositivo de tipo A, y un beneficio de $150$ euros por cada dispositivo de tipo B. ¿ Cuántos dispositivos se deben montar de cada modelo para obtener el beneficio máximo ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $a$ y $b$ el número de unidades producidas de los modelos A y B, respectivamente.

a) Sistema de restricciones ( desigualdades ):

$$\mathcal{R}:\left\{ \begin{matrix} 3a&+&2b& \le& 120 & \quad (1) \\ a&+&b& \le& 50& \quad (2) \\ a &&&\ge& 0 &\quad (3) \\ b&&& \ge& 0 & \quad (4) \end{matrix}\right.$$ esto es
$$\mathcal{R}:\left\{ \begin{matrix} b&\le &-\dfrac{3}{2}\,a& +& 120 & \quad (1) \\ b&\le &-a& +& 50 & \quad (2) \\ a &&&\ge& 0 &\quad (3) \\ b&&& \ge& 0 & \quad (4) \end{matrix}\right.$$

Las ecuaciones de las rectas separadoras ( que contienen los lados de la región $\mathcal{R}$) son por tanto:
$$\begin{matrix} r_1:b&= &-\dfrac{3}{2}\,a& +& 120 \\ r_2:b&= &-a& +& 50 \\ r_3:a &&&=& 0 \\ r_4:b&&& =& 0 \end{matrix}$$

Vamos a representar las rectas en un mismo diagrama cartesiano:

Dos puntos de la recta $r_1$ son $A_1(0,120)$ y $B_1(80,0)$
Dos puntos de la recta $r_2$ son $A_1(0,50)$ y $B_1(50,0)$

La recta $r_3$ es el eje de ordenadas
La recta $r_4$ es el eje de abscisas

Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades llegamos a

Luego la región $\mathcal{R}$ corresponde al triángulo de vértices $O(0,0)$, $P(50,0)$ y $Q(0,50)$. Todos los puntos del mismo satisfacen el sistema de desigualdades (restricciones).

Los beneficios obtenidos vienen dados por $200\,a+150\,b$. Puede comprobarse ( organizando los cálculos en una tabla ) que para $a=50$ y $b=0$ se obtiene el mayor de entre todos los que dan los demás puntos de la región $\mathbb{R}$. Ese beneficio máximo es $200\cdot 50+150\cdot 0=10\,000$ euros.

$\square$