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martes, 14 de junio de 2016
Recta que pasa por dos puntos del plano
ENUNCIADO. Los puntos $A(-1,2)$ y $B(3,5)$ están sobre una recta. Se pide:
a) La ecuación de la recta
b) Calcular la ordenada de un punto de la recta cuya abscisa es $2$
c) Calcular la abscisa de un punto de la recta cuya ordenada es $6$
SOLUCIÓN.
a)
La ecuación de la recta en forma explícita viene dada por $y=m\,x+k$. Para determinar los coeficientes $m$ y $k$, procedemos de la siguiente manera:
Si el punto $A$ está sobre la recta, se cumple: $2=-1\cdot m+k$
Si el punto $B$ está sobre la recta, se cumple: $5=3\cdot m+k$
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtendremos los valores de $m$ y $k$. Despejando $k$ de sendas ecuaciones e igualando los segundos miembros $$2+m=5-3m$$ agrupando y despejando $m$ resulta $m=\dfrac{3}{4}$; y, sustituyendo este resultado en cualquiera de las dos ecuaciones, encontramos el valor del otro coeficiente: $k=\dfrac{11}{4}$. Así, la ecuación de la recta es $$r:y=\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{11}{4}$$
b)
La ordenada de un punto cuya abscisa es $2$ es la imagen de $2$ por la función $f(x)= \dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{11}{4}$, esto es, $f(2)=\dfrac{3}{4}\cdot 2+\dfrac{11}{4}=\dfrac{17}{4}$
c)
Si $y=6$, entonces se tiene que $6=\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{11}{4}$; despejando $x$ obtendremos el valor de la abscisa de un punto que está sobre la recta y cuya ordenada es $6$, llegando a $x=\dfrac{13}{3}$
$\square$
a) La ecuación de la recta
b) Calcular la ordenada de un punto de la recta cuya abscisa es $2$
c) Calcular la abscisa de un punto de la recta cuya ordenada es $6$
SOLUCIÓN.
a)
La ecuación de la recta en forma explícita viene dada por $y=m\,x+k$. Para determinar los coeficientes $m$ y $k$, procedemos de la siguiente manera:
Si el punto $A$ está sobre la recta, se cumple: $2=-1\cdot m+k$
Si el punto $B$ está sobre la recta, se cumple: $5=3\cdot m+k$
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtendremos los valores de $m$ y $k$. Despejando $k$ de sendas ecuaciones e igualando los segundos miembros $$2+m=5-3m$$ agrupando y despejando $m$ resulta $m=\dfrac{3}{4}$; y, sustituyendo este resultado en cualquiera de las dos ecuaciones, encontramos el valor del otro coeficiente: $k=\dfrac{11}{4}$. Así, la ecuación de la recta es $$r:y=\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{11}{4}$$
b)
La ordenada de un punto cuya abscisa es $2$ es la imagen de $2$ por la función $f(x)= \dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{11}{4}$, esto es, $f(2)=\dfrac{3}{4}\cdot 2+\dfrac{11}{4}=\dfrac{17}{4}$
c)
Si $y=6$, entonces se tiene que $6=\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{11}{4}$; despejando $x$ obtendremos el valor de la abscisa de un punto que está sobre la recta y cuya ordenada es $6$, llegando a $x=\dfrac{13}{3}$
$\square$
Factorización de polinomios
ENUNCIADO. Calcular las raíces del polinomio $P(x)=x^4-29\,x^2+100$ y factorizarlo
SOLUCIÓN. El conjunto de raíces viene dado por $\{x \in \mathbb{R}: P(x)=0\}$, por lo que imponiendo la condición nos encontramos con una ecuación bicuadrada $$x^4-29\,x^2+100=0$$ que resolveremos donatando $x^2$ por $y$; así, $x^4=(x^2)^2=y^2$, con lo cual la ecuación original se transforma en $y^2-29\,y+100=0$ que es una ecuación cuadrática y, por tanto, sabemos resolverla: $$y^2-29\,y+100=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{-(-29)\pm \sqrt{(-29)^2-4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ 25\end{matrix}\right.$$ Deshaciendo ahora el cambio que hemos efectuado al principio $$x=\sqrt{y}$$ luego, si $y=4$ obtenemos $x=\sqrt{4}=\pm 2$; y, si $y=25$ obtenemos $x=\sqrt{25}=\pm 5$. El conjunto de raíces del polinomio es pues $$\{-5,-2,2,5\}$$
$\square$
SOLUCIÓN. El conjunto de raíces viene dado por $\{x \in \mathbb{R}: P(x)=0\}$, por lo que imponiendo la condición nos encontramos con una ecuación bicuadrada $$x^4-29\,x^2+100=0$$ que resolveremos donatando $x^2$ por $y$; así, $x^4=(x^2)^2=y^2$, con lo cual la ecuación original se transforma en $y^2-29\,y+100=0$ que es una ecuación cuadrática y, por tanto, sabemos resolverla: $$y^2-29\,y+100=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{-(-29)\pm \sqrt{(-29)^2-4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ 25\end{matrix}\right.$$ Deshaciendo ahora el cambio que hemos efectuado al principio $$x=\sqrt{y}$$ luego, si $y=4$ obtenemos $x=\sqrt{4}=\pm 2$; y, si $y=25$ obtenemos $x=\sqrt{25}=\pm 5$. El conjunto de raíces del polinomio es pues $$\{-5,-2,2,5\}$$
$\square$
Trigonometría elemental
ENUNCIADO. Calcular el área de un octágono regular inscrito en una circunferencia de $1$ decímetro de radio.
SOLUCIÓN. Podemos descomponer el octágono regular inscrito en la circunferencia en ocho triángulos isósceles que tienen por vértice común el centro de la circunferencia circunscrita ( que llamaremos $O$ ), y cuyo ángulo ( central ) es igual a $\dfrac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$. Entonces el área del octágono ( que denotamos por $\mathcal{A}_{o}$ ) es igual a ocho veces el área de uno de esos triángulos , que denotaremos por $\mathcal{A}_{t}$.
Vamos a calcular, pues, el área $\mathcal{A}_{t}$. Denotemos por $\ell$ el lado del octágono ( que corresponde al lado desigual de dicho tríangulo ) y por $a$ a la altura correspondiente a dicho lado. Entonces, $\mathcal{A}_{t}=\dfrac{1}{2}\,\ell \cdot a$. Necesitamos, por tanto, calcular $\ell$ y $a$.
La recta que contiene $a$ divide al triángulo en dos triángulos rectángulos. La hipotenusa de dicho triángulo es igual al radio de la circuferencia circunscrita, y por tanto igual a $1$ decímetro. El valor del ángulo de vértice $O$ de dicho triángulo recángulo es igual ( por lo que acabamos de decir ) a $\dfrac{45^{\circ}}{2}$. Aplicando las razones trigonométrica seno y coseno de dicho ángulo, encontramos:
$$a=1 \cdot \cos \,\dfrac{45^{\circ}}{2}$$ y $$\ell/2=1 \cdot \sin \,\dfrac{45^{\circ}}{2} \; \text{y por tanto}\; \ell = 2 \cdot \sin \,\dfrac{45^{\circ}}{2}$$
luego $$\mathcal{A}_{t}=\dfrac{1}{2}\,( 1 \cdot \cos \,(\dfrac{45^{\circ}}{2})) \cdot ( 2 \cdot \sin \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}))$$ y simplificando $$\mathcal{A}_{t}=\cos \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}) \cdot \sin \,(\dfrac{45^{\circ}}{2})$$
Así, el área del octágono es igual a $$\mathcal{A}_{o}= 8 \cdot \cos \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}) \cdot \sin \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}) \approx 2{,}8 \; \text{dm}^2$$
$\square$
SOLUCIÓN. Podemos descomponer el octágono regular inscrito en la circunferencia en ocho triángulos isósceles que tienen por vértice común el centro de la circunferencia circunscrita ( que llamaremos $O$ ), y cuyo ángulo ( central ) es igual a $\dfrac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$. Entonces el área del octágono ( que denotamos por $\mathcal{A}_{o}$ ) es igual a ocho veces el área de uno de esos triángulos , que denotaremos por $\mathcal{A}_{t}$.
Vamos a calcular, pues, el área $\mathcal{A}_{t}$. Denotemos por $\ell$ el lado del octágono ( que corresponde al lado desigual de dicho tríangulo ) y por $a$ a la altura correspondiente a dicho lado. Entonces, $\mathcal{A}_{t}=\dfrac{1}{2}\,\ell \cdot a$. Necesitamos, por tanto, calcular $\ell$ y $a$.
La recta que contiene $a$ divide al triángulo en dos triángulos rectángulos. La hipotenusa de dicho triángulo es igual al radio de la circuferencia circunscrita, y por tanto igual a $1$ decímetro. El valor del ángulo de vértice $O$ de dicho triángulo recángulo es igual ( por lo que acabamos de decir ) a $\dfrac{45^{\circ}}{2}$. Aplicando las razones trigonométrica seno y coseno de dicho ángulo, encontramos:
$$a=1 \cdot \cos \,\dfrac{45^{\circ}}{2}$$ y $$\ell/2=1 \cdot \sin \,\dfrac{45^{\circ}}{2} \; \text{y por tanto}\; \ell = 2 \cdot \sin \,\dfrac{45^{\circ}}{2}$$
luego $$\mathcal{A}_{t}=\dfrac{1}{2}\,( 1 \cdot \cos \,(\dfrac{45^{\circ}}{2})) \cdot ( 2 \cdot \sin \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}))$$ y simplificando $$\mathcal{A}_{t}=\cos \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}) \cdot \sin \,(\dfrac{45^{\circ}}{2})$$
Así, el área del octágono es igual a $$\mathcal{A}_{o}= 8 \cdot \cos \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}) \cdot \sin \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}) \approx 2{,}8 \; \text{dm}^2$$
$\square$
Extracciones sucesivas de bolas de una urna ...
ENUNCIADO. En una urna hay $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras. Se sacan, sucesivamente, tres bolas al azar. Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, en las siguientes condiciones de realización del experimento:
a) con reemplazamiento de las bolas que se van sacando
b) sin reemplazamiento
SOLUCIÓN.
Nota. Para resolver este problema puede ayudar el dibujar un diagrama de árbol, si bien no es necesario. Recomiendo al lector que lo haga. También podemos llegar a la solución empleando el cálculo combinatorio ( tal como hemos hecho en otras ocasiones ), sin embargo, ahora, vamos a emplear el lenguaje de sucesos y la noción de probabilidad condicionada.
Denotando:
$B_1$: obtener bola blanca en la primera extracción
$N_1$: obtener bola negra en la primera extracción
$B_2$: obtener bola blanca en la segunda extracción
$N_2$: obtener bola negra en la segunda extracción
$B_3$: obtener bola blanca en la tercera extracción
$N_3$: obtener bola negra en la tercera extracción
a)
En este caso, al reemplazar las bolas que se van extrayendo no alteramos el contenido de la urna y, por tanto, el resultado de una extracción es independiente del resultado de las extracciones anteriores. Empleando el álgebra de sucesos, podemos escribir la probabilidad pedida como:
$P((B_3 \cap B_2 \cap B_1) \cup (N_3 \cap N_2 \cap N_1))=$
$=P(B_3 \cap (B_2 \cap B_1) ) + P(N_3 \cap (N_2 \cap N_1))=$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cot P(B_2 \cap B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 \cap N_1)$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2 | B_1)\,P(B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 | N_1)\cdot P(N_1)$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2 \cap B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 \cap N_1)$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2|B_1)\cdot P(B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$
$=\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{7}$
$=(4/7)^3+(3/7)^3$
$=\dfrac{13}{40}\approx 27\,\%$
b)
Ahora, hemos de tener en cuenta ( a la hora de asignar probabilidades ) que al no reemplazar las bolas que se van extrayendo, alteramos el contenido de la urna en cada extracción. Así,
$P((B_3 \cap B_2 \cap B_1) \cup (N_3 \cap N_2 \cap N_1))=$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2 \cap B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 \cap N_1)$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2|B_1)\cdot P(B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$
$=\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{5}$
$=\dfrac{1}{7} \approx 14\,\%$
$\square$
a) con reemplazamiento de las bolas que se van sacando
b) sin reemplazamiento
SOLUCIÓN.
Nota. Para resolver este problema puede ayudar el dibujar un diagrama de árbol, si bien no es necesario. Recomiendo al lector que lo haga. También podemos llegar a la solución empleando el cálculo combinatorio ( tal como hemos hecho en otras ocasiones ), sin embargo, ahora, vamos a emplear el lenguaje de sucesos y la noción de probabilidad condicionada.
Denotando:
$B_1$: obtener bola blanca en la primera extracción
$N_1$: obtener bola negra en la primera extracción
$B_2$: obtener bola blanca en la segunda extracción
$N_2$: obtener bola negra en la segunda extracción
$B_3$: obtener bola blanca en la tercera extracción
$N_3$: obtener bola negra en la tercera extracción
a)
En este caso, al reemplazar las bolas que se van extrayendo no alteramos el contenido de la urna y, por tanto, el resultado de una extracción es independiente del resultado de las extracciones anteriores. Empleando el álgebra de sucesos, podemos escribir la probabilidad pedida como:
$P((B_3 \cap B_2 \cap B_1) \cup (N_3 \cap N_2 \cap N_1))=$
$=P(B_3 \cap (B_2 \cap B_1) ) + P(N_3 \cap (N_2 \cap N_1))=$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cot P(B_2 \cap B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 \cap N_1)$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2 | B_1)\,P(B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 | N_1)\cdot P(N_1)$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2 \cap B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 \cap N_1)$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2|B_1)\cdot P(B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$
$=\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{7}$
$=(4/7)^3+(3/7)^3$
$=\dfrac{13}{40}\approx 27\,\%$
b)
Ahora, hemos de tener en cuenta ( a la hora de asignar probabilidades ) que al no reemplazar las bolas que se van extrayendo, alteramos el contenido de la urna en cada extracción. Así,
$P((B_3 \cap B_2 \cap B_1) \cup (N_3 \cap N_2 \cap N_1))=$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2 \cap B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 \cap N_1)$
$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2|B_1)\cdot P(B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$
$=\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{5}$
$=\dfrac{1}{7} \approx 14\,\%$
$\square$
Ejercicios de combinatoria
ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos realizar lo siguiente:
a) Formar una comisión de $4$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $6$ personas
b) Sentar a $5$ personas en una fila de $5$ butacas numeradas
c) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con $4$ telas de colores, siendo posible repetir los colores en una bandera
d) Escribir "palabras" con las letras de la palabra ELEMENTAL, de modo que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones que se dan en la palabra de referencia
e) Distribuir $5$ bolas idénticas entre $4$ urnas
SOLUCIÓN.
a)
En este caso no importa el orden en que elegimos a las personas, luego se trata de un cálculo de combinaciones, y, a no poder repetir la elección de una misma persona ( entre el total de seis personas ) para formar un conjunto ( una comisión ) de cuatro personas es un caso de combinaciones ordinarias de $6$ ( personas ) tomadas en conjuntos de cuatro, luego podemos formar la comisión de $C_{6,4}=\dfrac{V_{6,4}}{P_4}=\displaystyle \binom{6}{4}=15$ maneras distintas.
b)
Importa el orden en que colocamos a las personas, luego se trata de un cálculo de variaciones, y, a no poder repetir la elección de una misma persona para completar la fila es un caso de variaciones ordinarias de $5$ ( personas ) tomadas en conjuntos de cinco, luego se podrán sentar de $V_{5,5}=P_{5}=5!=120$ maneras distintas.
c)
Es evidente que el orden de elección de color al llenar las tres franjas ( pongamos que de izquierda a derecha ) es importante para distinguir una señal de otra, luego se trata de un problema de variaciones; como, además, podemos elegir el mismo color en más de una franja, es un problema de variaciones con repetición de $4$ colores tomados en conjuntos de tres, luego podremos representar $VR_{4,3}=4^3=64$ señales distintas.
d)
Este es un problema en que importa el orden, pues dos palabras con las mismas letras ( y apareciendo cada una el mismo número de veces que en la palabra ELEMENTAL: tres Es, dos Ls, una M, una N, una T y una A ) dispuestas en distinto orden tienen significados distintos, luego es un problema de variaciones. Como, en este caso, deben aparecer todas y cada una de las letras y el mismo número de veces que aparece cada una en la palabra de referencia, se trata de un caso de permutaciones con repetición, esto es, el número de palabras que podemos formar es $PR_{9}^{3,2,1,1,1,1}=\dfrac{9!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!\cdot 1! }=30240$
e)
En esta situación no importa el orden en que escogemos las bolas al ir depositándolas en las urnas, pues no nos importa qué bolas hay en cada urna sino el número de bolas que va a contener cada una de las cuatro urnas, por tanto el problema es de combinaciones; además, podemos poner varias bolas en una misma urna, luego hay que contar con las repeticiones a decidir en qué urnas van las bolas, por lo cual clasificamos el problema como un problema de combinaciones con repetición, en el que se han distribuido $5$ objetos idénticos entre $4$ urnas, luego $\text{CR}_{4,5}:=\displaystyle \binom{5+4-1}{4-1}=\binom{5+4-1}{5}=\dfrac{(5+4-1)!}{5!\cdot (4-1)!} = 56$ maneras distintas de colocar las bolas. Nota: también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{4}{5}\right)$.
$\square$
a) Formar una comisión de $4$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $6$ personas
b) Sentar a $5$ personas en una fila de $5$ butacas numeradas
c) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con $4$ telas de colores, siendo posible repetir los colores en una bandera
d) Escribir "palabras" con las letras de la palabra ELEMENTAL, de modo que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones que se dan en la palabra de referencia
e) Distribuir $5$ bolas idénticas entre $4$ urnas
SOLUCIÓN.
a)
En este caso no importa el orden en que elegimos a las personas, luego se trata de un cálculo de combinaciones, y, a no poder repetir la elección de una misma persona ( entre el total de seis personas ) para formar un conjunto ( una comisión ) de cuatro personas es un caso de combinaciones ordinarias de $6$ ( personas ) tomadas en conjuntos de cuatro, luego podemos formar la comisión de $C_{6,4}=\dfrac{V_{6,4}}{P_4}=\displaystyle \binom{6}{4}=15$ maneras distintas.
b)
Importa el orden en que colocamos a las personas, luego se trata de un cálculo de variaciones, y, a no poder repetir la elección de una misma persona para completar la fila es un caso de variaciones ordinarias de $5$ ( personas ) tomadas en conjuntos de cinco, luego se podrán sentar de $V_{5,5}=P_{5}=5!=120$ maneras distintas.
c)
Es evidente que el orden de elección de color al llenar las tres franjas ( pongamos que de izquierda a derecha ) es importante para distinguir una señal de otra, luego se trata de un problema de variaciones; como, además, podemos elegir el mismo color en más de una franja, es un problema de variaciones con repetición de $4$ colores tomados en conjuntos de tres, luego podremos representar $VR_{4,3}=4^3=64$ señales distintas.
d)
Este es un problema en que importa el orden, pues dos palabras con las mismas letras ( y apareciendo cada una el mismo número de veces que en la palabra ELEMENTAL: tres Es, dos Ls, una M, una N, una T y una A ) dispuestas en distinto orden tienen significados distintos, luego es un problema de variaciones. Como, en este caso, deben aparecer todas y cada una de las letras y el mismo número de veces que aparece cada una en la palabra de referencia, se trata de un caso de permutaciones con repetición, esto es, el número de palabras que podemos formar es $PR_{9}^{3,2,1,1,1,1}=\dfrac{9!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!\cdot 1! }=30240$
e)
En esta situación no importa el orden en que escogemos las bolas al ir depositándolas en las urnas, pues no nos importa qué bolas hay en cada urna sino el número de bolas que va a contener cada una de las cuatro urnas, por tanto el problema es de combinaciones; además, podemos poner varias bolas en una misma urna, luego hay que contar con las repeticiones a decidir en qué urnas van las bolas, por lo cual clasificamos el problema como un problema de combinaciones con repetición, en el que se han distribuido $5$ objetos idénticos entre $4$ urnas, luego $\text{CR}_{4,5}:=\displaystyle \binom{5+4-1}{4-1}=\binom{5+4-1}{5}=\dfrac{(5+4-1)!}{5!\cdot (4-1)!} = 56$ maneras distintas de colocar las bolas. Nota: también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{4}{5}\right)$.
$\square$
Cuartiles, diagrama de caja y bigotes, histogramas ...
ENUNCIADO.
Elaborar los histogramas y el diagrama de caja y bigotes, y calcular los cuartiles, la moda, el rango, y el rango intercuartílico de los datos correspondientes a una cierta variable estadística, recogidos en la siguiente tabla:Elaborar los histogramas y el diagrama de caja y bigotes, y calcular la media, los cuartiles, la moda, el rango, y el rango intercuartílico de los datos correspondientes a una cierta variable estadística, recogidos en la siguiente tabla:
SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy similar a este otro, que ya está resuelto y comentado. $\square$
Elaborar los histogramas y el diagrama de caja y bigotes, y calcular los cuartiles, la moda, el rango, y el rango intercuartílico de los datos correspondientes a una cierta variable estadística, recogidos en la siguiente tabla:Elaborar los histogramas y el diagrama de caja y bigotes, y calcular la media, los cuartiles, la moda, el rango, y el rango intercuartílico de los datos correspondientes a una cierta variable estadística, recogidos en la siguiente tabla:
SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy similar a este otro, que ya está resuelto y comentado. $\square$
domingo, 12 de junio de 2016
Ejercicios resueltos del examen final del tercer trimestre ( temas 13,14,15 y 16 ), realizado el Jueves 09/06/2016
Un ejercicio sobre la probabilidad total ( teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes )
ENUNCIADO. En un grupo hay $7$ chicos, de los cuales $3$ estudian formación profesional; y, $9$ chicas, de las cuales $4$ también estudian formación profesional. Elegimos una persona al azar de dicho grupo. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida estudie formación profesional
b) Se sabe que la persona elegida estudia formación profesional, ¿ cuál es la probabilidad de que sea chica ?
SOLUCIÓN.
Denotemos ( los sucesos ) por:
$F$: elegir una persona que estudie formación profesional
$M$: elegir una persona que sea chica
$H$: elegir una persona que sea chico
a)
Como $F=(F \cap M) \cup ( F \cap H)$ y los sucesos $F \cap M$ y $F \cap H$ son disjuntos ( incompatibles ), podemos escribir $P(F)=P(F \cap M)+P(F \cap H)$; y, por la definición de probabilidad condicionada, obtenemos lo que se afirma en el teorema de la Probabilidad Total $$P(F)=P(F|M)\cdot P(M)+P(F|H)\cdot P(H)$$ Poniendo ahora los datos del problema $$P(F)=\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{9}{9+7}+\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{7}{9+7}=\dfrac{7}{16}\approx 44\,\%$$
b)
Teniendo en cuenta el teorema de Bayes $$P(M|F)=\dfrac{P(F|M)\cdot P(M)}{P(F)}$$ y con los datos del problema $$P(M|F)=\dfrac{\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{9}{9+7}}{7/16}=\dfrac{4}{7} \approx 57\,\%$$
$\square$
a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida estudie formación profesional
b) Se sabe que la persona elegida estudia formación profesional, ¿ cuál es la probabilidad de que sea chica ?
SOLUCIÓN.
Denotemos ( los sucesos ) por:
$F$: elegir una persona que estudie formación profesional
$M$: elegir una persona que sea chica
$H$: elegir una persona que sea chico
a)
Como $F=(F \cap M) \cup ( F \cap H)$ y los sucesos $F \cap M$ y $F \cap H$ son disjuntos ( incompatibles ), podemos escribir $P(F)=P(F \cap M)+P(F \cap H)$; y, por la definición de probabilidad condicionada, obtenemos lo que se afirma en el teorema de la Probabilidad Total $$P(F)=P(F|M)\cdot P(M)+P(F|H)\cdot P(H)$$ Poniendo ahora los datos del problema $$P(F)=\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{9}{9+7}+\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{7}{9+7}=\dfrac{7}{16}\approx 44\,\%$$
b)
Teniendo en cuenta el teorema de Bayes $$P(M|F)=\dfrac{P(F|M)\cdot P(M)}{P(F)}$$ y con los datos del problema $$P(M|F)=\dfrac{\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{9}{9+7}}{7/16}=\dfrac{4}{7} \approx 57\,\%$$
$\square$
Extracciones de bolas de una urna
ENUNCIADO. En una urna hay $6$ bolas blancas y $8$ bolas negras. Se sacan, sucesivamente, tres bolas al azar. Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, en las siguientes condiciones de realización del experimento:
a) con reemplazamiento de las bolas que se van sacando
b) sin reemplazamiento
SOLUCIÓN.
Este problema puede abordarse de varias maneras. Aquí, hemos elegido la del cálculo combinatorio. Entendiendo las bolas como distinguibles, aún siendo del mismo color ( podemos imaginar que llevan un número grabado ), el espacio muestral, así pensado, está formado por sucesos elementales, por lo que podemos emplear la regla de Laplace para la asignación de probabilidades.
Denominemos $S$ al suceso "elegir las tres bolas del mismo color". Entonces, por la regla de Laplace, $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$, donde notamos por $N$ el número de casos en total, y por $N(S)$ el número de casos favorables al suceso $S$.
a)
Si las extracciones se realizan con reemplazamiento, $N(S)=VR_{6,3}+VR_{8,3}$; y, $N=VR_{6+8,3}$, luego $$P(S)=\dfrac{VR_{6,3}+VR_{8,3}}{VR_{6+8,3}}=\dfrac{728}{2744}=\dfrac{13}{49} \approx 27\,\%$$
b)
En el caso de que las extracciones sean sin reemplazamiento, es equivalente a pensar que sacamos las tres bolas a la vez. En tal caso, $N(s)=C_{6,3}+ C_{8,3}=\displaystyle \binom{6}{3}+\binom{8}{3}$ y $N=C_{6+8,3}=\displaystyle \binom{14}{3}$, luego $$P(S)=\dfrac{\displaystyle \binom{6}{3}+ \binom{8}{3}}{\displaystyle \binom{14}{3}}=\dfrac{76}{364}=\dfrac{19}{91} \approx 21\,\%$$
$\square$
a) con reemplazamiento de las bolas que se van sacando
b) sin reemplazamiento
SOLUCIÓN.
Este problema puede abordarse de varias maneras. Aquí, hemos elegido la del cálculo combinatorio. Entendiendo las bolas como distinguibles, aún siendo del mismo color ( podemos imaginar que llevan un número grabado ), el espacio muestral, así pensado, está formado por sucesos elementales, por lo que podemos emplear la regla de Laplace para la asignación de probabilidades.
Denominemos $S$ al suceso "elegir las tres bolas del mismo color". Entonces, por la regla de Laplace, $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$, donde notamos por $N$ el número de casos en total, y por $N(S)$ el número de casos favorables al suceso $S$.
a)
Si las extracciones se realizan con reemplazamiento, $N(S)=VR_{6,3}+VR_{8,3}$; y, $N=VR_{6+8,3}$, luego $$P(S)=\dfrac{VR_{6,3}+VR_{8,3}}{VR_{6+8,3}}=\dfrac{728}{2744}=\dfrac{13}{49} \approx 27\,\%$$
b)
En el caso de que las extracciones sean sin reemplazamiento, es equivalente a pensar que sacamos las tres bolas a la vez. En tal caso, $N(s)=C_{6,3}+ C_{8,3}=\displaystyle \binom{6}{3}+\binom{8}{3}$ y $N=C_{6+8,3}=\displaystyle \binom{14}{3}$, luego $$P(S)=\dfrac{\displaystyle \binom{6}{3}+ \binom{8}{3}}{\displaystyle \binom{14}{3}}=\dfrac{76}{364}=\dfrac{19}{91} \approx 21\,\%$$
$\square$
Un ejercicio de combinatoria
ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos realizar lo siguiente:
a) Formar una comisión de $3$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $5$ personas
b) Sentar a $4$ personas en una fila de $4$ butacas numeradas
c) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con $5$ telas de colores, siendo posible repetir los colores en una bandera
d) Escribir "palabras" con las letras de la palabara CASA, de modo que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones que se dan en la palabra de referencia
e) Distribuir $5$ lápices ( de distintos colores ) entre $4$ niños
SOLUCIÓN.
a)
En este problema no importa el orden en que colocamos las personas elegidas, y, evidentemente no podemos repetir personas en la elección de las mismas, por lo que identificamos el problema como un problema de combinaciones ordinarias de $5$ ( personas ) tomadas en conjuntos de tres personas: $C_{5,3}=\dfrac{V_{5,3}}{P_3}=\displaystyle \binom{5}{3}=10$
b)
Como es relevante el orden en el que se sientas las personas, se trata de un problema de variaciones; y, al no poder sentar la misma personas en distintos asientos, las variaciones son ordinarias ( sin repetición ), luego podemos distribuirlas en los asientos de $V_{4,4}=P_{4}=4!=24$ maneras distintas.
c)
Aquí también importa el orden, por lo que se trata de un problema de variaciones; sin embargo, sí es posible, ahora, repetir colores en la confección de las tres franjas, por consiguiente el problema es de variaciones con repetición de $5$ colores tomados en conjuntos de tres, y el número de señales que podemos codificar es $VR_{5,3}=5^3=125$.
d)
En todas las palabras que formemos deberá haber las mismas letras y el mismo número de cada una de ellas que en la palabra de referencia CASA. Además, es claro que importa el orden de colocación de las letras, por lo que tenemos un problema de variaciones, y, en particular, de permutaciones con repetición. El número de palabras que podemos formar es $$PR_{4}^{2,1,1}=\dfrac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=12$$
e)
Este problema es análogo al problema de distribuir $5$ bolas que lleven alguna marca que distinga unas de otras ( por lo que se trata de un problema en el que importa el orden ) en $4$ urnas. En otras palabras, queremos encontrar el número de conjuntos de $5$ elementos que podemos formar eligiendo entre $4$ niños; esto es, se trata de un problema de variaciones con repetición, por lo que podemos hacer la distribución pedida de $VR_{4,5}=4^5=1024$ maneras distintas. $\square$
a) Formar una comisión de $3$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $5$ personas
b) Sentar a $4$ personas en una fila de $4$ butacas numeradas
c) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con $5$ telas de colores, siendo posible repetir los colores en una bandera
d) Escribir "palabras" con las letras de la palabara CASA, de modo que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones que se dan en la palabra de referencia
e) Distribuir $5$ lápices ( de distintos colores ) entre $4$ niños
SOLUCIÓN.
a)
En este problema no importa el orden en que colocamos las personas elegidas, y, evidentemente no podemos repetir personas en la elección de las mismas, por lo que identificamos el problema como un problema de combinaciones ordinarias de $5$ ( personas ) tomadas en conjuntos de tres personas: $C_{5,3}=\dfrac{V_{5,3}}{P_3}=\displaystyle \binom{5}{3}=10$
b)
Como es relevante el orden en el que se sientas las personas, se trata de un problema de variaciones; y, al no poder sentar la misma personas en distintos asientos, las variaciones son ordinarias ( sin repetición ), luego podemos distribuirlas en los asientos de $V_{4,4}=P_{4}=4!=24$ maneras distintas.
c)
Aquí también importa el orden, por lo que se trata de un problema de variaciones; sin embargo, sí es posible, ahora, repetir colores en la confección de las tres franjas, por consiguiente el problema es de variaciones con repetición de $5$ colores tomados en conjuntos de tres, y el número de señales que podemos codificar es $VR_{5,3}=5^3=125$.
d)
En todas las palabras que formemos deberá haber las mismas letras y el mismo número de cada una de ellas que en la palabra de referencia CASA. Además, es claro que importa el orden de colocación de las letras, por lo que tenemos un problema de variaciones, y, en particular, de permutaciones con repetición. El número de palabras que podemos formar es $$PR_{4}^{2,1,1}=\dfrac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=12$$
e)
Este problema es análogo al problema de distribuir $5$ bolas que lleven alguna marca que distinga unas de otras ( por lo que se trata de un problema en el que importa el orden ) en $4$ urnas. En otras palabras, queremos encontrar el número de conjuntos de $5$ elementos que podemos formar eligiendo entre $4$ niños; esto es, se trata de un problema de variaciones con repetición, por lo que podemos hacer la distribución pedida de $VR_{4,5}=4^5=1024$ maneras distintas. $\square$
Ejercicios sobre estadística de una variable con datos agrupados en intervalos
ENUNCIADO. A partir de los datos ( de una variable estadística ) recogidos en la siguiente tabla, se pide: dibujar los histogramas y, mediante los mismos, obtener de forma aproximada la moda y los cuartiles. Finalmente, dibujar el diagrama de caja y bigotes:
SOLUCIÓN.
Histograma de frecuencias absolutas del recuento:
Podemos apreciar ( en el procedimiento gráfico ) que la moda, $M_o$, es aproximadamente igual a $59$
Histograma de frecuencias acumuladas y diagrama de caja:
$\square$
SOLUCIÓN.
Histograma de frecuencias absolutas del recuento:
Histograma de frecuencias acumuladas y diagrama de caja:
$\square$
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