Un ejercicio de combinatoria

ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos realizar lo siguiente:
a) Formar una comisión de $3$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $5$ personas
b) Sentar a $4$ personas en una fila de $4$ butacas numeradas
c) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con $5$ telas de colores, siendo posible repetir los colores en una bandera
d) Escribir "palabras" con las letras de la palabara CASA, de modo que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones que se dan en la palabra de referencia
e) Distribuir $5$ lápices ( de distintos colores ) entre $4$ niños

SOLUCIÓN.
a)
En este problema no importa el orden en que colocamos las personas elegidas, y, evidentemente no podemos repetir personas en la elección de las mismas, por lo que identificamos el problema como un problema de combinaciones ordinarias de $5$ ( personas ) tomadas en conjuntos de tres personas: $C_{5,3}=\dfrac{V_{5,3}}{P_3}=\displaystyle \binom{5}{3}=10$

b)
Como es relevante el orden en el que se sientas las personas, se trata de un problema de variaciones; y, al no poder sentar la misma personas en distintos asientos, las variaciones son ordinarias ( sin repetición ), luego podemos distribuirlas en los asientos de $V_{4,4}=P_{4}=4!=24$ maneras distintas.

c)
Aquí también importa el orden, por lo que se trata de un problema de variaciones; sin embargo, sí es posible, ahora, repetir colores en la confección de las tres franjas, por consiguiente el problema es de variaciones con repetición de $5$ colores tomados en conjuntos de tres, y el número de señales que podemos codificar es $VR_{5,3}=5^3=125$.

d)
En todas las palabras que formemos deberá haber las mismas letras y el mismo número de cada una de ellas que en la palabra de referencia CASA. Además, es claro que importa el orden de colocación de las letras, por lo que tenemos un problema de variaciones, y, en particular, de permutaciones con repetición. El número de palabras que podemos formar es $$PR_{4}^{2,1,1}=\dfrac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=12$$

e)
Este problema es análogo al problema de distribuir $5$ bolas que lleven alguna marca que distinga unas de otras ( por lo que se trata de un problema en el que importa el orden ) en $4$ urnas. En otras palabras, queremos encontrar el número de conjuntos de $5$ elementos que podemos formar eligiendo entre $4$ niños; esto es, se trata de un problema de variaciones con repetición, por lo que podemos hacer la distribución pedida de $VR_{4,5}=4^5=1024$ maneras distintas. $\square$