Un ejercicio sobre la probabilidad total ( teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes )

ENUNCIADO. En un grupo hay $7$ chicos, de los cuales $3$ estudian formación profesional; y, $9$ chicas, de las cuales $4$ también estudian formación profesional. Elegimos una persona al azar de dicho grupo. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida estudie formación profesional
b) Se sabe que la persona elegida estudia formación profesional, ¿ cuál es la probabilidad de que sea chica ?

SOLUCIÓN.
Denotemos ( los sucesos ) por:
$F$: elegir una persona que estudie formación profesional
$M$: elegir una persona que sea chica
$H$: elegir una persona que sea chico

a)
Como $F=(F \cap M) \cup ( F \cap H)$ y los sucesos $F \cap M$ y $F \cap H$ son disjuntos ( incompatibles ), podemos escribir $P(F)=P(F \cap M)+P(F \cap H)$; y, por la definición de probabilidad condicionada, obtenemos lo que se afirma en el teorema de la Probabilidad Total $$P(F)=P(F|M)\cdot P(M)+P(F|H)\cdot P(H)$$ Poniendo ahora los datos del problema $$P(F)=\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{9}{9+7}+\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{7}{9+7}=\dfrac{7}{16}\approx 44\,\%$$

b)
Teniendo en cuenta el teorema de Bayes $$P(M|F)=\dfrac{P(F|M)\cdot P(M)}{P(F)}$$ y con los datos del problema $$P(M|F)=\dfrac{\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{9}{9+7}}{7/16}=\dfrac{4}{7} \approx 57\,\%$$

$\square$