Extracciones sucesivas de bolas de una urna ...

ENUNCIADO. En una urna hay $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras. Se sacan, sucesivamente, tres bolas al azar. Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, en las siguientes condiciones de realización del experimento:
a) con reemplazamiento de las bolas que se van sacando
b) sin reemplazamiento

SOLUCIÓN.

Nota. Para resolver este problema puede ayudar el dibujar un diagrama de árbol, si bien no es necesario. Recomiendo al lector que lo haga. También podemos llegar a la solución empleando el cálculo combinatorio ( tal como hemos hecho en otras ocasiones ), sin embargo, ahora, vamos a emplear el lenguaje de sucesos y la noción de probabilidad condicionada.

Denotando:
$B_1$: obtener bola blanca en la primera extracción
$N_1$: obtener bola negra en la primera extracción
$B_2$: obtener bola blanca en la segunda extracción
$N_2$: obtener bola negra en la segunda extracción
$B_3$: obtener bola blanca en la tercera extracción
$N_3$: obtener bola negra en la tercera extracción

a)
En este caso, al reemplazar las bolas que se van extrayendo no alteramos el contenido de la urna y, por tanto, el resultado de una extracción es independiente del resultado de las extracciones anteriores. Empleando el álgebra de sucesos, podemos escribir la probabilidad pedida como:

$P((B_3 \cap B_2 \cap B_1) \cup (N_3 \cap N_2 \cap N_1))=$

$=P(B_3 \cap (B_2 \cap B_1) ) + P(N_3 \cap (N_2 \cap N_1))=$

$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cot P(B_2 \cap B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 \cap N_1)$

$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2 | B_1)\,P(B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 | N_1)\cdot P(N_1)$

$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2 \cap B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 \cap N_1)$

$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2|B_1)\cdot P(B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$


$=\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{7}$

$=(4/7)^3+(3/7)^3$

$=\dfrac{13}{40}\approx 27\,\%$

b)
Ahora, hemos de tener en cuenta ( a la hora de asignar probabilidades ) que al no reemplazar las bolas que se van extrayendo, alteramos el contenido de la urna en cada extracción. Así,

$P((B_3 \cap B_2 \cap B_1) \cup (N_3 \cap N_2 \cap N_1))=$

$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2 \cap B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2 \cap N_1)$

$=P(B_3 | B_2 \cap B_1)\cdot P(B_2|B_1)\cdot P(B_1) + P(N_3 | N_2 \cap N_1)\cdot P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$

$=\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{5}$

$=\dfrac{1}{7} \approx 14\,\%$

$\square$