Trigonometría elemental

ENUNCIADO. Calcular el área de un octágono regular inscrito en una circunferencia de $1$ decímetro de radio.

SOLUCIÓN. Podemos descomponer el octágono regular inscrito en la circunferencia en ocho triángulos isósceles que tienen por vértice común el centro de la circunferencia circunscrita ( que llamaremos $O$ ), y cuyo ángulo ( central ) es igual a $\dfrac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$. Entonces el área del octágono ( que denotamos por $\mathcal{A}_{o}$ ) es igual a ocho veces el área de uno de esos triángulos , que denotaremos por $\mathcal{A}_{t}$.

Vamos a calcular, pues, el área $\mathcal{A}_{t}$. Denotemos por $\ell$ el lado del octágono ( que corresponde al lado desigual de dicho tríangulo ) y por $a$ a la altura correspondiente a dicho lado. Entonces, $\mathcal{A}_{t}=\dfrac{1}{2}\,\ell \cdot a$. Necesitamos, por tanto, calcular $\ell$ y $a$.

La recta que contiene $a$ divide al triángulo en dos triángulos rectángulos. La hipotenusa de dicho triángulo es igual al radio de la circuferencia circunscrita, y por tanto igual a $1$ decímetro. El valor del ángulo de vértice $O$ de dicho triángulo recángulo es igual ( por lo que acabamos de decir ) a $\dfrac{45^{\circ}}{2}$. Aplicando las razones trigonométrica seno y coseno de dicho ángulo, encontramos:
$$a=1 \cdot \cos \,\dfrac{45^{\circ}}{2}$$ y $$\ell/2=1 \cdot \sin \,\dfrac{45^{\circ}}{2} \; \text{y por tanto}\; \ell = 2 \cdot \sin \,\dfrac{45^{\circ}}{2}$$
luego $$\mathcal{A}_{t}=\dfrac{1}{2}\,( 1 \cdot \cos \,(\dfrac{45^{\circ}}{2})) \cdot ( 2 \cdot \sin \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}))$$ y simplificando $$\mathcal{A}_{t}=\cos \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}) \cdot \sin \,(\dfrac{45^{\circ}}{2})$$

Así, el área del octágono es igual a $$\mathcal{A}_{o}= 8 \cdot \cos \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}) \cdot \sin \,(\dfrac{45^{\circ}}{2}) \approx 2{,}8 \; \text{dm}^2$$

$\square$