Extracciones de bolas de una urna

ENUNCIADO. En una urna hay $6$ bolas blancas y $8$ bolas negras. Se sacan, sucesivamente, tres bolas al azar. Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, en las siguientes condiciones de realización del experimento:
a) con reemplazamiento de las bolas que se van sacando
b) sin reemplazamiento

SOLUCIÓN.
Este problema puede abordarse de varias maneras. Aquí, hemos elegido la del cálculo combinatorio. Entendiendo las bolas como distinguibles, aún siendo del mismo color ( podemos imaginar que llevan un número grabado ), el espacio muestral, así pensado, está formado por sucesos elementales, por lo que podemos emplear la regla de Laplace para la asignación de probabilidades.

Denominemos $S$ al suceso "elegir las tres bolas del mismo color". Entonces, por la regla de Laplace, $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$, donde notamos por $N$ el número de casos en total, y por $N(S)$ el número de casos favorables al suceso $S$.

a)
Si las extracciones se realizan con reemplazamiento, $N(S)=VR_{6,3}+VR_{8,3}$; y, $N=VR_{6+8,3}$, luego $$P(S)=\dfrac{VR_{6,3}+VR_{8,3}}{VR_{6+8,3}}=\dfrac{728}{2744}=\dfrac{13}{49} \approx 27\,\%$$

b)
En el caso de que las extracciones sean sin reemplazamiento, es equivalente a pensar que sacamos las tres bolas a la vez. En tal caso, $N(s)=C_{6,3}+ C_{8,3}=\displaystyle \binom{6}{3}+\binom{8}{3}$ y $N=C_{6+8,3}=\displaystyle \binom{14}{3}$, luego $$P(S)=\dfrac{\displaystyle \binom{6}{3}+ \binom{8}{3}}{\displaystyle \binom{14}{3}}=\dfrac{76}{364}=\dfrac{19}{91} \approx 21\,\%$$
$\square$