(a) Ingresamos $6000$ euros en un depósito bancario durante $10$ años, a interés compuesto. La tasa de interés anual es de un $3\,\%$. Los intereses se hacen efectivos al final de cada año. Calcule el valor del capital final. (b) Si el Banco le diera a elegir la frecuencia anual de capitalización de los intereses, ¿ qué elegiría, hacer efectivos ( acumular ) los intereses al final de cada año o bien cada mes dentro de un mismo año ? Razone la respuesta.

Enunciado:
(a) Ingresamos $6000$ euros en un depósito bancario durante $10$ años, a interés compuesto. La tasa de interés anual es de un $3\,\%$. Los intereses se hacen efectivos al final de cada año. Calcule el valor del capital final.
(b) Si el Banco le diera a elegir la frecuencia de capitalización de los intereses, ¿ qué elegiría, hacer efectivos los intereses ( acumulándolos al capital actual ) al final de cada año o bien cada mes dentro de un mismo año ? Razone la respuesta.


Solución:

a)

b)

$\square$

[nota del autor]

(a) Calcule el volumen y el área lateral de un cilindro cuya altura mide $4\,\text{dm}$ y cuya base tiene un área de $4\,\text{dm}^2$ (b) Calcule la longitud de la diagonal de un cubo cuyas aristas tienen una longitud de $3\,\text{dm}$

Enunciado:
(a) Calcule el volumen y el área lateral de un cilindro cuya altura mide $4\,\text{dm}$ y cuya base tiene un área de $4\,\text{dm}^2$
(b) Calcule la longitud de la diagonal de un cubo cuyas aristas tienen una longitud de $3\,\text{dm}$

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Sean los puntos del plano $A(1,0)$ y $B(4,3)$. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos ¿ Cuál es el valor de la pendiente ? ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?.

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(1,0)$ y $B(4,3)$. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos ¿ Cuál es el valor de la pendiente ? ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?.

Solución:

$\square$

[nota del autor]

En una urna hay $1$ bola negra y $2$ bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar; una después de la otra, sin devolver a la urna la primera bola extraída antes de extraer la segunda. Se pide: a) Dibuje el diagrama de árbol y diga cuáles son los sucesos que se pueden dar en la realización de dicha experiencia aleatoria. b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color c) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color

Enunciado:
En una urna hay $1$ bola negra y $2$ bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar; una después de la otra, sin devolver a la urna la primera bola extraída antes de extraer la segunda. Se pide:
a) Dibuje el diagrama de árbol y diga cuáles son los sucesos que se pueden dar en la realización de dicha experiencia aleatoria.
b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color
c) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color

Solucioón:

a)

b) y c)

$\square$

[nota del autor]

En un estudio estadístico, el número de valores recogidos/medidos de una variable estadística, $X$, es $n=200$. Al dibujar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas y trazar la poligonal de frecuencias, observamos que la mediana se encuentra en el intervalo $[30,40)$, cuya frecuencia acumulada es $110$; además, observamos que al intervalo $[20,30)$ le corresponde una frecuencia acumulada igual a $90$.

Enunciado:
En un estudio estadístico, el número de valores recogidos/medidos de una variable estadística, $X$, es $n=200$. Al dibujar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas y trazar la poligonal de frecuencias, observamos que la mediana se encuentra en el intervalo $[30,40)$, cuya frecuencia acumulada es $110$; además, observamos que al intervalo $[20,30)$ le corresponde una frecuencia acumulada igual a $90$.

Solución:

$\square$

Calcúlese el valor de la mediana a partir de la configuración de triángulos semejantes que se obtiene al dibujar la poligonal de frecuencias en esta parte del histograma de frecuencias acumuladas.

[nota del autor]

Calcule: a) $V_{7,4}$ b) $VR_{2,6}$ c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$ d) $P_{6}$ e) $C_{4,3}$ f) $C_{5,0}+C_{5,1}+C_{5,2}+C_{5,3}+C_{5,4}+C_{5,5}$

Enunciado:
Calcule:
a) $V_{7,4}$
b) $VR_{2,6}$
c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$
d) $P_{6}$
e) $C_{4,3}$
f) $C_{5,0}+C_{5,1}+C_{5,2}+C_{5,3}+C_{5,4}+C_{5,5}$

Soluciones:

$\square$

[nota del autor]

Resuelva las siguientes ecuaciones ...

Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) $\dfrac{1+x}{2}-\dfrac{1-x}{5}=\dfrac{1+2\,x}{15}$

b) $2\,x^2+5\,x-3=0$

c)
$\left\{\begin{matrix}
2\,x & - &3\, y &=5\\
3\,x & + & 2\,\,y &=1\\
\end{matrix}\right.$

Soluciones:

a) y b)

c)

$\square$

[nota del autor]

Sea un número entero positivo $m$, ¿ de cuántas maneras podremos escribirlo como suma de $n$ números enteros (no negativos) menores que $m$, esto es, de la forma $m=c_1+c_2+\ldots+c_n$ donde $n \le m$ ?.

Enunciado:
Sea un número entero positivo $m$, ¿ de cuántas maneras podremos escribirlo como suma de $n$ números enteros (no negativos) menores que $m$, esto es, de la forma $m=c_1+c_2+\ldots+c_n$ donde $n \le m$ ?.

Solución:
Este problema no es sencillo y requiere que investiguemos un poco.

De la misma manera que hemos hecho en el problema de colocar $m$ bolas indistinguibles en un conjunto de $n$ cajas, escogemos un código adecuado que permita representar la naturaleza esencial del problema con el fin de poder aprovechar ideas que ya han funcionado en problemas similares. Imaginemos que los $n$ sumandos son "las cajas", separadas por $n-1$ "tabiques", que representaremos mediante los símbolos separadores ("|"). Las cifras (las "bolas"), las representaremos con el símbolo "x" y deben ubicarse en el conjunto de las $n$ "cajas", sin que haya ninguna restricción en el números de ocupación de las cajas ( algunas pueden quedar sin ocupación). Hagamos algunas simulaciones sencillas con lapiz y papel:

Consideremos, por ejemplo, el caso que el número a descomponer sea $m$=4, y que el número de sumandos ("cajas" ) sea $n=3$; entonces, necesitamos $3-1=2$ "tabiques" o símbols separadores. Éstas son algunas ordenaciones posibles:

a)         x|xx|x     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+2+1$ )
b)         xxxx||     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=4+0+0$ )
c)         x|x|xx     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+1+2$ )
d)         ||xxxx     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=0+0+4$ )
e)         x|xxx|     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+3+0$ )
                ...


Por supuesto, se pueden escribir muchas más, pero con estas cinco, es fácil darse cuenta de que aparecen $\dfrac{4+3-1}{4!\,(3-1)!}=15$ posibilidades.

$\square$

[nota del autor]

Evalue la siguiente expresión, dando el resultado con el número de cifras significativas convenientes ...

Enunciado:
Evalue la siguiente expresión, dando el resultado con el número de cifras significativas convenientes, teniendo en cuenta que los valores que se dan corresponden a los de medidas de ciertas magnitudes y, por tanto, no se refieren a cantidades exactas sino a aproximaciones de dichas cantidades ideales:
$$(5,6 \times 10^{-5})(0,0000075)/(2,4 \times 10^{-12})$$

Solución:
Haciendo el cálculo con la ayuda de la calculadora científica, leemos en la pantalla, como resultado, "175", sin embargo, el número de cifras significativas del factor de la operación que tiene menor precisión ( todos tienen la misma ) es $2$, luego -- habiendo multiplicaciones/divisiones en la operación combinada -- debemos adecuar ( aproximar ) el resultado a dos cifras significativas, esto es, a 180, o lo que es lo mismo, el resultado que debemos dar atendiendo esta condición es $1,8 \times 10^2$

$\square$

[nota del autor]

Explique los siguientes conceptos sobre probabilidad

Enunciado:

Explique los siguientes conceptos:
  a) sucesos incompatibles
  b) sucesos independientes

Explique qué dice:
  c) el teorema de la probabilidad total
  d) la regla de Laplace

Explique qué entiende por:
  e) espacio muestral
  f) conjunto de las partes del espacio muestral
  g) espacio de probabilidad


Solución:

a)
Dos sucesos $A$ y $B$ decimos que son incompatibles si uno excluye al otro como resultado de la realización de la experiencia aleatoria a la cual están ligados. También puede decirse que dos sucesos $A$ y $B$ son incompatible si y sólo si $A \cap B = \varnothing$.

b)
Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$, esto es, si no hay condicionamiento en el hecho de que se de uno, sabiendo que se ha dado ya el otro.

c)
Sea un conjunto de sucesos $\{A_i\} \quad i=1\,,\ldots\,n$ tales que la unión de todos ellos es el espacio muestral $\Omega$ y de tal modo que la intersección de cada pareja de dichos conjuntos es vacía ( son incompatibles entre sí ); sea $B$ un suceso compuesto, entonces, en estas condiciones se cumple $P(B)=P(B|A_1)\,P(A_1)+ P(B|A_2)\,P(A_2)+\ldots+P(B|A_n)\,P(A_n)$ ( Teorema de la Probabilidad Total )

d)
La regla de Laplace permite asignar probabilidad a partir de la razón entre el número de casos favorables a que se de un cierto evento y el número total de eventos que puedan darse, suponiendo que dichos sucesos sean equiprobables.

e)
Sea una experiencia aleatoria, entendemos el espacio muestral $\Omega$ como un conjunto de sucesos elementales asociados a la misma de tal forma que: i) recubren el espacio de sucesos, y ii) la intersección de todas las parejas formadas por elementos distintos es vacía.

f)
El conjunto de las partes de un espacio muestral $\Omega$ finito, de cardinal $n$ ( número de sucesos elementales de que consta ) es el conjunto de los subconjuntos del mismo, y, por tanto, el número de dichos subconjuntos ( incluyendo el conjunto vació $\varnothing$ ( suceso imposible ) y el propio espacio muestral $\Omega$ ( suceso seguro ) se demuestra que es igual a $2^n$.

g)
Dada una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$, el espacio de probabilidad es la terna $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, donde: $\Omega$ es el espacio muestral; \mathcal{A} representa el conjunto de sucesos ( ya sean éstos elementales o bien compuestos ) y $P$ es una aplicación de $\mathcal{A}$ en $[0,1]\subset \mathbb{R}$ que llamamos aplicación probabilidad y representa una forma de medir en dicho espacio.

$\square$

[nota del autor]

Elegimos al azar una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Si dicha carta resulta ser una figura ( sota, caballo o bien rey ) extraemos una bola de una urna $U_1$ que contiene $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras; si la carta extraída no es figura, extraemos una bola de una urna $U_2$ que contiene $1$ bola blanca y $2$ bolas negras. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

Enunciado:
Elegimos al azar una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Si dicha carta resulta ser una figura ( sota, caballo o bien rey ) extraemos una bola de una urna $U_1$ que contiene $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras; si la carta extraída no es figura, extraemos una bola de una urna $U_2$ que contiene $1$ bola blanca y $2$ bolas negras. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

Solución:
Denotemos por $F$ al suceso extraer una carta que sea figura; $\bar{F}$, al suceso extraer una carta que no sea figura, y $B$, extraer bola blanca. Entonces, por el Teorema de la probabilidad Total se cumple $P(B)=P(B|F)\,P(F)+P(B|\bar{F})\,P(\bar{F})$   (1), y teniendo en cuenta que $P(F)=\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}$; $P(\bar{F})=1-P(F)=\dfrac{3}{4}$ ( por la propiedad del contrario ); $P(B|F)=\dfrac{4}{7}$ ( por la regla de Laplace, en la primera urna ), y $P(B|\bar{F})=\dfrac{1}{3}$ ( por la regla de Laplace, en la segunda urna ). Luego, de (1), $P(B)=\dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{28}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular: a) $V_{6,3}$ b) $VR_{3,4}$ c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$ d) $P_{8}$ e) $C_{7,2}$ f) $CR_{5,3}$ g) $C_{3,0}+C_{3,1}+C_{3,2}+C_{3,3}$

Enunciado:
Calcular:
  a) $V_{6,3}$
  b) $VR_{3,4}$
  c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$
  d) $P_{8}$
  e) $C_{7,2}$
  f) $CR_{5,3}$
  g) $C_{3,0}+C_{3,1}+C_{3,2}+C_{3,3}$

[nota del autor]

Al realizar un estudio estadístico se han encontrado los siguientes valores del mínimo y del máximo, y de los cuartiles: $x_{mín}=2$, $C_1=4$, $C_2=10$, $C_3=20$ y $x_{máx}=30$.

Enunciado:
Al realizar un estudio estadístico se han encontrado los siguientes valores del mínimo y del máximo, y de los cuartiles: $x_{mín}=2$, $C_1=4$, $C_2=10$, $C_3=20$ y $x_{máx}=30$.

Se pide:
  a) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
  b) Comentar cómo se distribuyen los valores de la variable estadística

Solución:

a) y b)

[nota del autor]

Considérense los valores de una variable estadística agrupados en intervalos. El intervalo con mayor frecuencia es $[50,60)$ y tiene frecuencia $f=140$, y los intervalos vecinos $[40,50)$ y $[60,70)$ tienen frecuencias respectivas $100$ y $110$. Calcular el valor de la moda mediante el cálculo de proporcionalidad que se puede plantear a partir de la configuración geométrica que se desprende al dibujar esta parte del histograma.

Enunciado:
Considérense los valores de una variable estadística agrupados en intervalos. El intervalo con mayor frecuencia es $[50,60)$ y tiene frecuencia $f=140$, y los intervalos vecinos $[40,50)$ y $[60,70)$ tienen frecuencias respectivas $100$ y $110$. Calcular el valor de la moda mediante el cálculo de proporcionalidad que se puede plantear a partir de la configuración geométrica que se desprende al dibujar esta parte del histograma.

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Sean los siguientes valores de una variable estadística $X$: $$\{2,3,4,1,2,3,5,2,3,3,4\}$$ Calcúlese: a) la mediana, la moda y la media aritmética b) la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de Pearson

Enunciado:
Sean los siguientes valores de una variable estadística $X$: $$\{2,3,4,1,2,3,5,2,3,3,4\}$$ Calcúlese:
  a) la mediana, la moda y la media aritmética
  b) la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de Pearson

Solución:

a)

b)

$\square$

[nota del autor]

Enunciado: Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B ) $. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?: a) $A$ y $B$ son incompatibles b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes

Enunciado:
Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$.

Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad que viene del principio de inclusión-exclusión ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B ) $. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?:

  a) $A$ y $B$ son incompatibles
  b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes
  c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes

Solución:

a)
Si $A$ y $B$ son incompatibles, entonces $A \cap B = \varnothing $ ( suceso imposible ) y, por tanto, $P(A \cap B)=0$; luego, en estas condiciones, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-0 = P(A)+P(B)$

-oOo-
b)
Si $A$ y $B$ son compatibles, entonces $A \cap B \neq \varnothing $ y, por tanto, $P(A \cap B)=P(B \cap B) \succ 0$, siendo $P(A \cap B)=P(A|B)\,P(B)$ y $P(B \cap A)=P(B|A)\,P(A)$; con lo cual, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A)$. Y en el caso en que $A$ y $B$ sean dependientes habrá que tener en cuenta que $P(A|B) \neq P(A)$ y $P(B|A) \neq P(B)$.

c)
Si además de ser $A$ y $B$ compatibles son también independientes ( $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(A)$ ), por lo dicho en el apartado anterior, y en estas condiciones, podremos escribir:
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)$
    $=P(A)+P(B)-P(B)\,P(A)$

$\square$

[nota del autor]