Enunciado:
Sea la sucesión geométrica ( función exponencial, definida de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ ): $$\{\dfrac{3}{2}\,,\,2\,,\,\dfrac{8}{3}\,,\,\dfrac{32}{9}\,,\,\dfrac{128}{27}\ldots \}$$
Se pide:
a) El valor de la suma de los diez primeros términos
b) El valor del producto de los diez primeros términos
Resolución:
Tratándose de una sucesión geométrica, sabemos [ ver las observaciones al margen ] que:
$a_n=a_1\,r^{n-1}\,,\,n=1,2,3,\ldots$ ( expresión que nos da el valor del término n-ésimo ) (1)
$S_n=a_1\,\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$ ( expresión que nos da el valor de la suma de los $n$ primeros términos ) (2)
$P_n=\sqrt[2]{(a_1\,a_n)^n}$ ( expresión que nos da el valor del producto de los $n$ primeros términos ) (3)
siendo $r$ es la razón geométrica de la sucesión ( constante por la cual se multiplica el valor de un término para obtener el del siguiente término ), y, por tanto, $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\ldots$; $a_1$, el valor del primer término; $a_n$, el valor del término n-ésimo.
En el caso que nos ocupa, tenemos: $a_1=\dfrac{3}{2}$, $a_2=2$, luego $r=\dfrac{2}{3/2}=\dfrac{8/3}{2}=\dfrac{32/9}{8/3}=\ldots = 4/3$. Por tanto, $a_{10}=\dfrac{3}{2} \cdot (4/3)^9$, con lo cual podemos calcular ya las cantidades pedidas:
a)
$S_{10}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{(4/3)^{10}-1}{(4/3)-1} \approx 75,4098$ ( utilizando la calculadora y aproximando, por redondeo simétrico, a la cuarta cifra decimal )
b)
$P_{10}=\sqrt[2]{\bigg((3/2)\cdot \big(\dfrac{3}{2}\cdot (4/3)^9\big) \bigg)^{10} } = 3897131,606$ ( utilizando la calculadora )
$\blacksquare$
Observaciones:
(1) Justificación de la expresión del término general de una s. geométrica:
Como $a_2=a_{1}\,r$, $a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$, $a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$, y así sucesivamente, podemos inducir que $a_n=\,a_1\,r^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.
(2) Justificación de la expresión de la suma de los $n$ primeros términos de una s. geométrica.
La suma de los $n$ primeros términos es
$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$
y por el patrón de formación de los términos, podemos escribirlo como
$S_n=a_1+a_1\,r+a_1\,r^2+\ldots+a_1\,r^{n-2}+a_1\,r^{n-1}$
multiplicando ambos miembros por $r$ podemos escribir la ecuación equivalente
$r\,S_n=a_1\,r+a_1\,r^2+a_1\,r^3+\ldots+a_1\,r^{n-1}+a_1\,r^{n-1}$
Restando, ahora, la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, sacando factor común de $S_n$, y despejando $S_n$, obtenemos
$$S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$$
(3) Justificación de la expresión del producto de los $n$ primeros términos de una s. geométrica.
El producto de los $n$ primeros términos de la sucesión es
$P_n=a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n$
Tengamos en cuenta, ahora, la siguiente propiedad de las progresiones geométricas:
$a_1 \cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=a_3\cdot a_{n-2}=\ldots=\text{constante}$
luego
$P_n=\big(a_1\cdot a_n\big)^{\frac{n}{2}}=\big((a_1\cdot a_n^{n} \big)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{(a_1\cdot a_n)^{n}}$
martes, 25 de marzo de 2014
Sea la sucesión geométrica $$\{\dfrac{3}{2}\,,\,2\,,\,\dfrac{8}{3}\,,\,\dfrac{32}{9}\,,\,\dfrac{128}{27}\ldots \}$$ Se pide: a) El valor de la suma de los diez primeros términos b) El valor del producto de los diez primeros términos
lunes, 17 de marzo de 2014
Aproximaciones y forma de presentar los resultados de un cálculo a partir de datos que no son exactos ( Artículo escrito en catalán )
Mètodes d'arrodonimentMètode d'arrodoniment simètricAquest és el mètode més senzill d'arrodoniment. Consisteix a augmentar l'última xifra que conservem en una unitat sempre que la següent xifra sigui un '5' o bé una xifra més gran que '5', per contra, quan aquesta és més petita que '5' és manté l'última xifra conservada tal com està. Exemples d'arrodoniment simètricSi no s'indica el contrari, farem servir sempre aquest mètode. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives
Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, primer cal arrodonir i, tot seguit, substituir per zeros les xifres que no siguin significatives.
Mètode d'arrodoniment asimètricUn altre mètode que en la literatura anglosaxona es coneix amb el nom de round-to-even methode (1940) i que es fa servir força en ciències experimentals consisteix a fer servir un criteri una mica més acurat:
Exemples d'arrodoniment asimètricÚnicament farem servir aquest mètode si se'ns demana expressament. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives
En els següents exemples, arrodonirem a quatre xifres significatives:
Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, cal arrodonir i substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. En els següents exemples, arrodonirem (de forma asimètrica) quantitats que no tenen part decimal, mostrant-les amb tres xifres significatives:
Marge d'error màxim que afecta a una quantitat aproximada per arrodonimentAnomenem fita d'error absolut a l'error absolut més gran que es dóna, quan arrodonim una quantitat. Com a valor de la fita d'error absolut en un arrodoniment se sol prendre mitja unitat de l'ordre de l'última xifra de la quantitat arrodonida. Això garanteix que totes les xifres amb què mostrarem el resultat de l'aproximació siguin xifres significatives correctes/fiables 1 Exemples:
Expressió del resultat de les operacions d'un càlculQuan fem operacions aritmètiques a partir d'un conjunt de dades que tenen una precisió limitada, no pas totes les xifres que s'obtenen són significatives; caldrà donar el resultat final del càlcul amb la mateixa precisió que la de la dada que menys menys precisa. Concretament, pel que fa a les operacions bàsiques quan es treballa amb nombres afectats d'errors caldrà tenir en compte que el resultat final l'haurem d'adequar d'acord a les següents normes:
Una xifra significativa d'una quantitat aproximada o bé d'una quantitat que prové d'una mesura és una xifra significativa correcta si la fita d'error absolut és menor que mitja unitat de l'ordre de la xifra considerada. |
lunes, 10 de marzo de 2014
Calcular el área de la superficie lateral del desarrollo plano de un cilindro de $2\,\text{m}$ de radio de la base, y $5\,\text{m}$ de altura.
Enunciado:
Calcular el área de la superficie lateral del desarrollo plano de un cilindro de $2\,\text{m}$ de radio de la base, y $5\,\text{m}$ de altura.
Resolución:
$A_{lateral}=\pi\,r\,g \quad \quad (1)$, donde $r$ es el radio de la base y $g$ la generatriz. Entonces, conociendo la altura, $h$, y el radio de la base, por el Teorema de Pitágoras, sabemos que $g=\sqrt{r^2+h^2}$, luego $g=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\,\text{m}$, con lo cual, de (1), ya podemos calcular el área lateral, obteniendo $A_{lateral}=2\, \sqrt{29}\,\pi \, \text{m}^2$
$\blacksquare$
Calcular la longitud de la diagonal de un cubo de $2\,\text{m}$ de arista.
Enunciado:
Calcular la longitud de la diagonal de un cubo de $2\,\text{m}$ de arista.
Resolución:
Denotando por $d$ la diagonal del cubo y aplicando dos veces el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de catetos pintados de color azul e hipotenusa de color rojo ( que es la diagonal pedida ) - ver figura -, podemos escribir, $d^2=2^2+x^2 \quad (1)$; como $x$ es desconocida, aplicamos también el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulos cuyos catetos están pintados en verde, del cual $x$ es la hipotenusa: $2^2+2^2=x^2 \quad (2)$. Sustituyendo, finalmente, la expresión de $x$ de (2) en (1), llegamos a $d^2=2^2+2^2+2^2=12$, luego $d=2\,\sqrt{3}\,\text{m}$
$\blacksquare$
Sean los puntos del plano $A(2,3)$ y $B(3,2)$ ...
Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(2,3)$ y $B(3,2)$, por los cuales pasa una recta $r$. Encontrar:
a) una ecuación vectorial de $r$
b) unas ecuaciones paramétricas de $r$
Resolución:
a)
Sea $P(x,y)$ un punto cualquiera de $r$, de abscisa $x$ y ordenada $y$, entonces $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\,\overrightarrow{AB}$, siendo $\lambda \in \mathbb{R}$. Escribiendo ahora dicha relación vectorial en coordenadas: $(x,y)=(2,3)+\lambda\,(3-2,2-3)\,;\forall \lambda \in \mathbb{R} \quad \quad (1)$
b)
La ecuación vectorial (1) implica dos ecuaciones escalares ( coordenada a coordenada ): $\left\{\begin{matrix}x=2+\lambda & \\ y=3-\lambda \\\end{matrix}\right.\,;\forall \lambda \in \mathbb{R}$
$\blacksquare$
Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}$$ Se pide: a) las coordenadas de un punto de la recta de $s$ b) el valor de la pendiente de la recta $s$
Enunciado:
Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}$$ Se pide:
a) las coordenadas de un punto de la recta de $s$
b) el valor de la pendiente de la recta $s$
Resolución:
a)
De la ecuación en forma continua, podemos escribir, fácilmente, la ecuación punto-pendiente, esto es, $y-y_A=m\,(x-x_A)$, donde $m$ es la pendiente y $A(x_A,y_A)$ es un punto de $r$; en nuestro caso, $y-2=\dfrac{3}{2}\,(x-1)$, luego un punto de la recta viene dado por $A(1,2)$
b)
De lo anterior se sigue, también, que $m=3/2$
$\blacksquare$
Sean los puntos del plano $A(-2,3)$ y $B(4,1)$. Encontrar una ecuación de la recta, $r$, en forma continua que pasa por los puntos dados.
Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(-2,3)$ y $B(4,1)$. Encontrar una ecuación de la recta, $r$, en forma continua que pasa por los puntos dados.
Resolución:
Una ecuación de la recta en forma continua de $r$ viene dada por
$$\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$$
Sustituyendo las coordenadas dadas:
$$\dfrac{x-(-2)}{4-(-2)}=\dfrac{y-3}{1-3}$$
y simplificando
$$\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{y-3}{-2}$$
$\blacksquare$
Encontrar la ecuación en forma explícita de una recta, $r$, que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente es igual a $1$.
Enunciado:
Encontrar la ecuación en forma explícita de una recta, $r$, que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente es igual a $1$.
Resolución:
La ecuación de una recta de una recta, $r$, en forma explícita se escribe de la forma: $y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente y $k$ la ordenada del punto de corte de dicha recta con el eje de ordenadas - esto es: la ordenada en el origen -. Al pasar dicha recta por el origen de coordenadas, $O(0,0)$, la ordenada en el origen es $k=0$, y al siendo $m=1$, podemos escribir: $r:\,y=x$, que es la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
$\blacksquare$
Calcular el volumen, el área lateral y el ángulo del trazado ( del desarrollo plano ) de un cono cuyo radio de la base mide $4\,\text{dm}$, y cuya generatriz mide $5\,\text{dm}$.
Enunciado:
Calcular el volumen, el área lateral y el ángulo del trazado ( del desarrollo plano ) de un cono cuyo radio de la base mide $4\,\text{dm}$, y cuya generatriz mide $5\,\text{dm}$.
Resolución:
El volumen del cono viene dado por $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, siendo $h$ la altura del cono y que se relaciona con la generatriz, $g$, y el radio de la base, $r$, mediante el Teorema de Pitágoras: $h=\sqrt{g^2-r^2}$, luego $V=\dfrac{1}{3} \cdot \,4^2 \,\sqrt{5^2-4^2}\,\pi=16\,\pi\,\text{dm}^3$
El área lateral viene dada por $A_{lateral}=\pi\,r\,g$, donde $r$ es el radio de la base y $g$ la generatriz del cono, de aquí: $A_{lateral}=4\cdot 5\,\pi = 20\,\pi\,\text{dm}^2$
El ángulo del trazado, $\alpha$ del desarrollo plano de la superficie lateral del cono viene dado por $\alpha=\dfrac{r}{g}\cdot 360^{\circ}$, que, poniendo los datos, sale igual a $\alpha=\dfrac{4}{5}\cdot 360^{\circ}=288^{\circ}$
$\blacksquare$
Sea el vector $\vec{u}=(-1,2)$ del plano euclidiano ...
Sea el vector $\vec{u}=(-1,2)$ del plano euclidiano. Representar gráficamente dicho vector, de tal modo que su origen coincida con el origen de coordenadas $O(0,0)$, y, a continuación, calcular:
a) la longitud de dicho vector
b) el ángulo polar del vector
Solución:
Calcular el área lateral de una pirámide recta, de base cuadrada, cuya área de la base mide $4\,\text{dm}^2$; sabiendo, además, que la altura de la pirámide es igual a $3\,\text{dm}$
Calcular el área lateral de una pirámide recta, de base cuadrada, cuya área de la base mide $4\,\text{dm}^2$; sabiendo, además, que la altura de la pirámide es igual a $3\,\text{dm}$
Solución:
$\square$
La ecuación en forma explícita de una recta, $r$, es $y=2\,x+5$. Decir las coordenadas de dos puntos de dicha recta.
La ecuación en forma explícita de una recta, $r$, es $y=2\,x+5$. Decir las coordenadas de dos puntos de dicha recta.
Solución:
