Contando el número de cifras significativas ...

ENUNCIADO. Indíquese el número de cifras significativas (c.s.) de las siguientes cantidades:
a) $30\,000$
b) $0,00421$
c) $7,1\times 10^2$
d) $4\,000\,001$
e) $9,003\times 10^{-3}$

SOLUCIÓN.
Decimos que una cierta cifra de una determinada cantidad ( o número ) es significativa si ésta es relevante a la hora de expresar dicha cantidad. Pensemos pues en el orden de magnitud de cada cifra; ello nos dará la respuesta de si la cifra en cuestión es o no es significativa. Así, por ejemplo, consideremos el número $200$; al escribir su desarrollo de potencias de base $10$ -- recordemos que el sistema de numeración empleado es el decimal o de base $10$, que es posicional --, $200=2\times 10^2+ 0\times 10^1+0$, nos damos perfecta cuenta de que los dos ceros no son relevantes en dicha suma de términos pues corresponden a términos nulos del desarrollo ( no aportan valor a la cantidad ), luego sólo la cifra '$2$' ( la de las centenas ) es significativa. Diremos pues que $200$ tiene $1$ c.s.

a) a) Esta cantidad, $30\,000$, tiene $1$ c.s.: el '$3$' ya que, si sólo hay ceros a la derecha de la última cifra distinta de cero, por lo dicho arriba, éstos no se consideran en general cifras significativas; a menos que se fuerce la relevancia de los mismos, como por ejemplo, al decir que algo cuesta un euro y medio, pues al expresarlo numéricamente, deberemos escribir rigurosamente: $1,50$ euros, siendo en este caso el cero de las centésimas, también, cifra significativa, pues queremos significar con ello que operamos con una precisión del céntimo de euro ( no olvidemos que existen monedas de un céntimo ).

Otra forma de contar el número de cifras significativas consiste en expresar previamente la cantidad en notación científica ( recordemos lo que hemos dicho en el párrafo de introducción ), y, entonces, contar el número de cifras significativas de la mantisa es el número de cifras significativas de la cantidad dada, pues éste será el número de cifras significativas de la cantidad pedida. Así, $30\,000=3 \times 10^4$; y como la mantisa $3$ tiene una sola c.s., podemos decir que $30\,000$ tiene una sola c.s.

b) Esta cantidad, $0,00421$, tiene $3$ c.s.: la cifra de las unidades, la de las milésimas [el '$4$'], la de las diezmilésimas [el '$2$'], y la de las cienmilésimas [el '$1$']. Podemos contarlas también a partir de su expresión en notación científica, $4,21\times 10^{-3}$; como la mantisa tiene tres c.s., la cantidad pedida tiene este número de c.s.

c) $7,1\times 10^2$ tiene $2$ c.s., pues la mantisa tiene esas dos cifras significativas, el '$7$' y el '$1$'

d) En $4\,000\,001$, todas las cifras de este número son significativas, es decir, tiene $7$ c.s. Otra forma de contarlas pasa por -- como hemos hecho en otros apartados -- expresar dicha cantidad en notación científica, $4,000001\times 10^6$; como la mantisa tiene $7$ c.s., el número pedido tiene $7$ c.s.

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Presentación de los resultados de los cálculos con datos afectados de error

ENUNCIADO. Se han medido los lados $a$ y $b$ de un rectángulo, obteniendo $\bar{a}=2,12 \,\text{m}$ y $\bar{b}=5,801\,\text{m}$. Desde luego, estas dos cantidades vienen afectadas de error ( de medida ), y todas sus cifras ( las de de una y otra ) son significativas; $a$ tiene tres cifras significativas (c.s.) y $b$ tiene cuatro c.s. Se pide calcular el perímetro y el área del rectángulo, expresando cada uno de esos resultados con el número de cifras significativas que proceda.

SOLUCIÓN. Como ya sabemos, el perímetro del rectángulo es igual a $2(a+b)$. Al realizar la operación, $2(\bar{a}+\bar{b})$, con todas las cifras significativas de los datos, obtenemos $15,842$ metros; ahora bien, no todas esas cifras del resultado son significativas. Como hay una operación de suma, ésta vendrá afectada por el error ( de medida ) de los dos datos ( las longitudes de los lados ) -- la multiplicación por $2$, no, pues el coeficiente no está afectado de error --, el número de cifras decimales significativas del resultado no puede ser mayor que el número de cifras decimales significativas del sumando que tenga menos precisión ( con menor número de cifras decimales significativas ), que es la medida de $a$, con $2$ cifras decimales significativas (c.d.s.), luego el resultado lo debemos a justar ( aproximar ) a $2$ cifras decimales significativas (c.d.s.). Diremos, pues, que el perímetro aproximado es de $15,84 \,\text{m}$

El área del rectángulo se obtiene haciendo $a\cdot b$. Al realizar la operación, $\bar{a}\cdot \bar{b}$, con todas las cifras significativas de los datos, obtenemos $12,29812$ metros cuadrados; ahora bien, no todas esas cifras del resultado son significativas. Como hay una operación de multiplicación, ésta viene afectada por el error de medida de las longitudes de los lados, así que, ahora ( multiplicación ) el número de cifras significativas del resultado no puede ser mayor que el número de cifras significativas del factor que tenga menos precisión ( con menor número de cifras significativas ), que es -- otra vez -- la medida de $a$, que tiene $3$ cifras significativas (c.s.), luego el resultado lo debemos a justar ( aproximar ) a $3$ cifras significativas (c.s.). Por consiguiente, el área aproximada es de $12,3 \,\text{m}^2$

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Ejercicios resueltos y comentados del examen realizado el miércoles 19/10/2016

[1|2|3|4|5]

Un problema en el que se aplican los logaritmos

ENUNCIADO. La fórmula del capital final $C_f$ del interés compuesto es $$C_f=C_i\cdot ( 1+i)^t$$ donde $C_i$ es el capital inicial, $t$ el número de años en el que éste está depositado, e $i$ es la tasa de interés anual expresada en tanto por unidad. Si $C_f=50\,000$ euros, $C_i=40\,000$ euros e $i=0,04$, ¿ cuánto tiempo $t$ se necesita que esté depositado el capital inicial ?.

SOLUCIÓN. Poniendo los datos en $C_f=C_i\cdot ( 1+i)^t$ llegamos a la ecuación $$50\,000=40\,000\,(1+0,04)^t$$ esto es $$\dfrac{5}{4}=1,04^t$$ que resolveremos sacando logaritmos ( da igual la base de los mismos ) en cada miembro $$\log\,\dfrac{5}{4}=\log\,1,04^t$$ que, por las propiedades de los logaritmos, queda $$\log\,\dfrac{5}{4}=t\cdot \log\,1,04$$ y despejando $t$ obtenemos $$t=\dfrac{\ln(5/4)}{\ln 1,04} \approx 5,7 \;\text{años} \overset{\text{por exceso}}{\approx} 5\; \text{años}\, \text{y}\;9\;\text{meses}$$
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Intervalos en la recta numérica

ENUNCIADO. Expresar en forma de intervalo los números reales que verifican:
a) $\left| x+1\right|\le 3$
b) $\left| x-2\right|> 1$
c) estar en el entorno del punto ( de la recta real ) $5$ con radio $3$

SOLUCIÓN.
a)
$I=\{x \in \mathbb{R}:\left|x-(-1)\right|\le 3\}=\{x \in \mathbb{R}:\text{distancia}(x,-1) \le 3\}=$
  $=[-1-3,-1+3] \subset \mathbb{R}$
    $=[-4,2] \subset \mathbb{R}$

b)
$J=\{x \in \mathbb{R}:\left|x-2\right|\succ 1\}=\{x \in \mathbb{R}:\text{distancia}(x,2) \succ 1\}=$
  $=(-\infty,2-1) \cup (2+1,+\infty)$
    $=(-\infty,1) \cup (3,+\infty)$

c)
$K=E(5,3)=(5-3,5+3)\subset \mathbb{R}$
        $=[2,8] \subset \mathbb{R}$

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Un ejercicio sobre aproximación y estudio del error

ENUNCIADO. Como aproximación del número áureo $\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, hemos decidido tomar $1,61$. Se pide:
a) El error absoluto cometido en esta aproximación. ¿ Cuántas cifras significativas correctas hay en dicha aproximación ?
b) Si en lugar de considerar la aproximación anterior, aproximáramos por redondeo simétrico hasta las centésimas el número $\Phi$, ¿ qué número resultaría ? ¿ Cuál sería ahora el error absoluto ? ¿ Cuántas cifras significativas correctas habría en dicha aproximación ?

SOLUCIÓN.
a)
La cantidad exacta es, aquí, $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$; y la aproximada, $\bar{x}=1,61$. Entonces, el error absoluto es
$$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x} \right|=\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,61\right|\approx 0,008$$ Veamos si la cifra de las centésimas es correcta; para ello deberá cumplirse que el error absoluto sea menor que media unidad del orden de dicha cifra, esto es $$0,008 \overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}=0,005$$ y es evidente que ésto no se cumple, luego la cifra de las centésimas ( el '1' ) no es correcta.

Veamos ahora si es correcta la cifra de las décimas ( el '6' ). Si lo es, debe cumplirse $$0,008 \overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-1}=0,05$$ y es claro que sí se cumple, luego la cifra de las décimas es correcta. Por consiguiente, también es correcta la cifra de las unidades. Así que la aproximación $\bar{x}=1,61$ tiene dos cifras correctas ( la de las unidades y la de las décimas ), y una cifra dudosa, que corresponde a la de las centésimas.

b)
Si aproximamos por redondeo simétrico, $\bar{x}=1,62$, pues $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398\ldots$. El error absoluto es, ahora, $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x} \right|=\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,62\right|\approx 0,002$$ y, por tanto, $$0,002 {<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}=0,005$$, luego la cifra de las centésimas ( el '2' ) es correcta, luego las cifra de las décimas y la de las unidades también son correctas. Así, pues, la aproximación por redondeo simétrico $\bar{x}=1,62$ tiene todas sus cifras correctas.
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Algunos ejercicios de cálculo

ENUNCIADO. Calcúlese la fracción resultante irreducible:
a) $\displaystyle \dfrac{\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}}{\binom{5}{4}}$
b) $\dfrac{2}{3}\div \left(\dfrac{2}{5}-1\right)^3$
c) $(1,\overset{\frown }{12}+2,\overset{\frown}{1})\cdot 0,5-0,5\overset{\frown}{2}$
d) $\displaystyle \binom{6}{4} \div 4!$

SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \dfrac{\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}}{\binom{5}{4}} = \dfrac{\frac{3!}{0!(3-0)!}+\frac{3!}{1!(3-1)!}+\frac{3!}{2!(3-2)!}+\frac{3!}{3!(3-3)!}}{\frac{5!}{4!(5-4)!}}=\dfrac{1+3+3+1}{5}=\dfrac{8}{5}$

Nota: También podemos escribir directamente el valor del numerador, que es $2^3=8$. Esto es así por una de las propiedades de los números combinatorios que hemos visto en clase, que es la siguiente: $$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\ldots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^n$$

b)
$\dfrac{2}{3}\div \left(\dfrac{2}{5}-1\right)^3=$
  $=\dfrac{2}{3}\div \left(-\dfrac{3}{5}\right)^3$
    $=\dfrac{2}{3}\div \left( -\left(\dfrac{3}{5}\right)^3\right)$
      $=-\dfrac{2}{3}\div \left(\dfrac{3}{5}\right)^3$
        $=-\dfrac{2}{3}\div \dfrac{3^3}{5^3}$
          $=-\dfrac{2}{3}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3^3}{5^3}\right)$
            $=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5^3}{3^3}$
              $=-\dfrac{2\cdot 5^3}{3\cdot 3^3}$
                $=-\dfrac{250}{81}$

c)
$(1,\overset{\frown }{12}+2,\overset{\frown}{1})\cdot 0,5-0,5\overset{\frown}{2}=$
  $= (\dfrac{112-1}{99}+\dfrac{21-2}{9})\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{52-5}{90}$
    $= (\dfrac{37}{33}+\dfrac{19}{9})\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{47}{90}$
      $= \dfrac{320}{99}\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{47}{90}$
        $= \dfrac{160}{99}-\dfrac{47}{90}$
          $= \dfrac{361}{330}$

d)
$\displaystyle \binom{6}{4} \div 4!=$
  $=\displaystyle \dfrac{\binom{6}{4}}{4!}$
    $=\displaystyle \dfrac{\frac{6!}{4!\cdot (6-4)!}}{4!}$
      $=\displaystyle \dfrac{15}{24}$
        $=\displaystyle \dfrac{5}{8}$

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