Un problema en el que se aplican los logaritmos

ENUNCIADO. La fórmula del capital final $C_f$ del interés compuesto es $$C_f=C_i\cdot ( 1+i)^t$$ donde $C_i$ es el capital inicial, $t$ el número de años en el que éste está depositado, e $i$ es la tasa de interés anual expresada en tanto por unidad. Si $C_f=50\,000$ euros, $C_i=40\,000$ euros e $i=0,04$, ¿ cuánto tiempo $t$ se necesita que esté depositado el capital inicial ?.

SOLUCIÓN. Poniendo los datos en $C_f=C_i\cdot ( 1+i)^t$ llegamos a la ecuación $$50\,000=40\,000\,(1+0,04)^t$$ esto es $$\dfrac{5}{4}=1,04^t$$ que resolveremos sacando logaritmos ( da igual la base de los mismos ) en cada miembro $$\log\,\dfrac{5}{4}=\log\,1,04^t$$ que, por las propiedades de los logaritmos, queda $$\log\,\dfrac{5}{4}=t\cdot \log\,1,04$$ y despejando $t$ obtenemos $$t=\dfrac{\ln(5/4)}{\ln 1,04} \approx 5,7 \;\text{años} \overset{\text{por exceso}}{\approx} 5\; \text{años}\, \text{y}\;9\;\text{meses}$$
$\square$