ENUNCIADO. Considérese el polinomio $P(x)=x^4+2\,x^3+2\,x^2+2\,x+1$. Se pide:
a) Encontrar sus raíces
b) Factorizar el polinomio dado
SOLUCIÓN.
Por definición, el conjunto de raíces viene dado por $$\{x\in \mathbb{R}: P(x)=0\}$$ Para encontrarlas ( si tuviera ), imponemos pues la condición $$x^4+2\,x^3+2\,x^2+2\,x+1=0$$ por lo que deberemos resolver esta ecuación. Empezaremos buscando posibles raíces enteras. Sabemos ( propiedad explicada en clase ) que las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente, que es $1$, esto es $\{-1,+1\}$. Ensayemos estos números: $$P(-1)=(+1)^4+2\cdot(+1)^3+2\cdot(+1)^2+2\cdot (+1)+1 \neq 0 \Leftrightarrow +1 \; \text{no es raíz de}\, P(x)$$ sin embargo, $-1$, sí es raíz de $P(x)$, como vamos a ver a continuación
$$P(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)^3+2\cdot(-1)^2+2\cdot (-1)+1=0 \Rightarrow r_1=-1$$ así que, por el teorema del factor, $(x-(-1))$, esto es $x+1$, es un polinomio primo de la descomposición ( en factores ) de $P(x)$. El polinomio que multiplicado por $x+1$ es igual a $P(x)$ se obtiene haciendo la división $P(x)\div (x-(-1))$ $$\begin{array}{r|rrrrr}
& 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
-1 & & -1 & -1 & -1 & 1\\
\hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\end{array}$$ luego, por el momento, podemos escribir $$P(x)=(x+1)(x^3+x^2+x+1)$$ Si $P(x)$ tiene más raíces, éstas lo serán también del polinomio $x^3+x^2+x+1$. Como el término independiente es $1$, las posibles raíces enteras son, otra vez, $\{-1,1\}$. Para ensayarlas, utilizaremos el teorema del resto: si la división de $x^3+x^2+x+1$ entre $(x-(-1))$ tiene resto $0$, entonces $-1$ vuelve a participar como raíz de $P(x)$. Veámoslo: $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}$$ Como el resto es $0$, la raíz $r_1=-1$ aparece dos veces, luego su multiplicidad es $m_1=2$. Otra vez, por el teorema del factor, podemos escribir otro paso de factorización de $P(x)$ $$P(x)=(x-(-1))^2\,(x^2+1)$$ Observemos, ahora, que el polinomio que aparece como tercer factor, $x^2+1$, es primo, ya que no tiene raíces, pues si imponemos la condición de raíz, no encontramos ninguna: $x^2+1=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$
En resumen, el polinomio $P(x)$ sólo tiene una raíz, que es $-1$, y su multiplicidad es $2$; con lo cual puede escribirse ( teorema del factor ) de la forma $$P(x)=(x+1)^2\,(x^2+1)$$
$\square$
jueves, 17 de noviembre de 2016
martes, 15 de noviembre de 2016
Cambio de base logarítmica
ENUNCIADO. Calcular $\log_{2}\,5$ a partir de los logaritmos naturales ( en base $e=2,7182\ldots$ ), con ayuda de la calculadora científica
SOLUCIÓN
Podemos escribir la siguiente identidad numérica $$5=e^{\ln\,5} \quad \quad (1)$$
Sacando logaritmos en base $2$ en cada miembro de (1), $$\log_2\,5=\log_2\,(e^{\ln\,5})$$ y por las propiedades de los logaritmos, llegamos a $$\log_2\,5=\ln\,5 \cdot \log_2\,e \quad \quad (2)$$ Por otra parte, sea $$t\equiv\log_2\,e$$ entonces $$e=2^t$$ y sacando logaritmos naturales $$\ln\,e=t\,\ln\,2$$ con lo cual $$t=\dfrac{\ln\,e}{\ln\,2}\overset{\ln\,e=1}{=}\dfrac{1}{\ln\,2}$$ es decir $$\log_2\,e=\dfrac{1}{\ln\,2}$$ Sustituyendo esto en (2) $$\log_2\,5=\ln\,5 \cdot \dfrac{1}{\ln\,2} $$ esto es $$\log_2\,5= \dfrac{\ln\,5 }{\ln\,2} $$ y empleando ahora la calculadora $$\log_2\,5\overset{\text{4 c.d.}}{=} 2,3219 $$
$\square$
SOLUCIÓN
Podemos escribir la siguiente identidad numérica $$5=e^{\ln\,5} \quad \quad (1)$$
Sacando logaritmos en base $2$ en cada miembro de (1), $$\log_2\,5=\log_2\,(e^{\ln\,5})$$ y por las propiedades de los logaritmos, llegamos a $$\log_2\,5=\ln\,5 \cdot \log_2\,e \quad \quad (2)$$ Por otra parte, sea $$t\equiv\log_2\,e$$ entonces $$e=2^t$$ y sacando logaritmos naturales $$\ln\,e=t\,\ln\,2$$ con lo cual $$t=\dfrac{\ln\,e}{\ln\,2}\overset{\ln\,e=1}{=}\dfrac{1}{\ln\,2}$$ es decir $$\log_2\,e=\dfrac{1}{\ln\,2}$$ Sustituyendo esto en (2) $$\log_2\,5=\ln\,5 \cdot \dfrac{1}{\ln\,2} $$ esto es $$\log_2\,5= \dfrac{\ln\,5 }{\ln\,2} $$ y empleando ahora la calculadora $$\log_2\,5\overset{\text{4 c.d.}}{=} 2,3219 $$
$\square$
Cálculos con logaritmos
ENUNCIADO. El logaritmo decimal de $5$, aproximado a las diezmilésimas, es $0,6990$. Sin usar las utilidades logarítmicas de la calculadora, se pide calcular $\log\,20$ ( donde $\log$ denota logaritmo en base $10$ ).
SOLUCIÓN.
$\log\,20=$
$=\log\,(2\cdot 10)$
$=\log\,2+\log\,10$
$=\log\,\dfrac{10}{5}+\log\,10$
$=\log\,10-\log\,5+\log\,10$
$=2\cdot \log\,10-\log\,5$
$\overset{\log\,10=1}{=}2\cdot 1-\log\,5$
$=2-\log\,5$
$\overset{\text{4 c.d.}}{=}2-0,6990$
$\overset{\text{4 c.d.}}{=}1,3010$
$\square$
SOLUCIÓN.
$\log\,20=$
$=\log\,(2\cdot 10)$
$=\log\,2+\log\,10$
$=\log\,\dfrac{10}{5}+\log\,10$
$=\log\,10-\log\,5+\log\,10$
$=2\cdot \log\,10-\log\,5$
$\overset{\log\,10=1}{=}2\cdot 1-\log\,5$
$=2-\log\,5$
$\overset{\text{4 c.d.}}{=}2-0,6990$
$\overset{\text{4 c.d.}}{=}1,3010$
$\square$
Ecuaciones exponenciales
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$4=3^x$$ aproximando el resultado a las diezmilésimas
SOLUCIÓN.
$4=3^x$
$\ln\,4=\ln\,3^x$
$\ln\,4=x\,\ln\,3$
$x=\dfrac{\ln\,4}{\ln\,3}\overset{\text{4 c.d.}}{=} 1,2619$
$\square$
SOLUCIÓN.
$4=3^x$
$\ln\,4=\ln\,3^x$
$\ln\,4=x\,\ln\,3$
$x=\dfrac{\ln\,4}{\ln\,3}\overset{\text{4 c.d.}}{=} 1,2619$
$\square$
Resolver la ecuación
ENUNCIADO. Encontrar el valor o valores de $x$ que satisfacen la siguiente igualdad $$(x+1)^8=2345$$ y expresar el resultado hasta las diezmilésimas
SOLUCIÓN.
Procedimiento I.
$(x+1)^8=2345$
$\left((x+1)^8\right)^{\frac{1}{8}}=(2345)^{\frac{1}{8}}$
$(x+1)^{8\cdot \frac{1}{8}}=(2345)^{\frac{1}{8}}$
$(x+1)^{1}=(2345)^{\frac{1}{8}}$
$x+1=(2345)^{\frac{1}{8}}$
$x=(2345)^{\frac{1}{8}}-1$
$x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\pm 2,6384-1$
$x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\left\{\begin{matrix}2,6384-1=1,6384 \\ -2,6384-1=-3,6384 \end{matrix}\right.$
Procedimiento II.
$(x+1)^8=2345$
$\ln\,(x+1)^8=\ln\,2345$
$8\cdot\ln\,(x+1)=\ln\,2345$
$\ln\,(x+1)=\dfrac{1}{8}\cdot\ln\,2345$
$\ln\,(x+1)=\ln\,2345^{\frac{1}{8}}$
$x+1=2345^{\frac{1}{8}}$
$x=(2345)^{\frac{1}{8}}-1$
$x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\pm 2,6384-1$
$x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\left\{\begin{matrix}2,6384-1=1,6384 \\ -2,6384-1=-3,6384 \end{matrix}\right.$
$\square$
SOLUCIÓN.
Procedimiento I.
$(x+1)^8=2345$
$\left((x+1)^8\right)^{\frac{1}{8}}=(2345)^{\frac{1}{8}}$
$(x+1)^{8\cdot \frac{1}{8}}=(2345)^{\frac{1}{8}}$
$(x+1)^{1}=(2345)^{\frac{1}{8}}$
$x+1=(2345)^{\frac{1}{8}}$
$x=(2345)^{\frac{1}{8}}-1$
$x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\pm 2,6384-1$
$x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\left\{\begin{matrix}2,6384-1=1,6384 \\ -2,6384-1=-3,6384 \end{matrix}\right.$
Procedimiento II.
$(x+1)^8=2345$
$\ln\,(x+1)^8=\ln\,2345$
$8\cdot\ln\,(x+1)=\ln\,2345$
$\ln\,(x+1)=\dfrac{1}{8}\cdot\ln\,2345$
$\ln\,(x+1)=\ln\,2345^{\frac{1}{8}}$
$x+1=2345^{\frac{1}{8}}$
$x=(2345)^{\frac{1}{8}}-1$
$x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\pm 2,6384-1$
$x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\left\{\begin{matrix}2,6384-1=1,6384 \\ -2,6384-1=-3,6384 \end{matrix}\right.$
$\square$
martes, 25 de octubre de 2016
Contando el número de cifras significativas ...
ENUNCIADO. Indíquese el número de cifras significativas (c.s.) de las siguientes cantidades:
a) $30\,000$
b) $0,00421$
c) $7,1\times 10^2$
d) $4\,000\,001$
e) $9,003\times 10^{-3}$
SOLUCIÓN.
Decimos que una cierta cifra de una determinada cantidad ( o número ) es significativa si ésta es relevante a la hora de expresar dicha cantidad. Pensemos pues en el orden de magnitud de cada cifra; ello nos dará la respuesta de si la cifra en cuestión es o no es significativa. Así, por ejemplo, consideremos el número $200$; al escribir su desarrollo de potencias de base $10$ -- recordemos que el sistema de numeración empleado es el decimal o de base $10$, que es posicional --, $200=2\times 10^2+ 0\times 10^1+0$, nos damos perfecta cuenta de que los dos ceros no son relevantes en dicha suma de términos pues corresponden a términos nulos del desarrollo ( no aportan valor a la cantidad ), luego sólo la cifra '$2$' ( la de las centenas ) es significativa. Diremos pues que $200$ tiene $1$ c.s.
a) a) Esta cantidad, $30\,000$, tiene $1$ c.s.: el '$3$' ya que, si sólo hay ceros a la derecha de la última cifra distinta de cero, por lo dicho arriba, éstos no se consideran en general cifras significativas; a menos que se fuerce la relevancia de los mismos, como por ejemplo, al decir que algo cuesta un euro y medio, pues al expresarlo numéricamente, deberemos escribir rigurosamente: $1,50$ euros, siendo en este caso el cero de las centésimas, también, cifra significativa, pues queremos significar con ello que operamos con una precisión del céntimo de euro ( no olvidemos que existen monedas de un céntimo ).
Otra forma de contar el número de cifras significativas consiste en expresar previamente la cantidad en notación científica ( recordemos lo que hemos dicho en el párrafo de introducción ), y, entonces, contar el número de cifras significativas de la mantisa es el número de cifras significativas de la cantidad dada, pues éste será el número de cifras significativas de la cantidad pedida. Así, $30\,000=3 \times 10^4$; y como la mantisa $3$ tiene una sola c.s., podemos decir que $30\,000$ tiene una sola c.s.
b) Esta cantidad, $0,00421$, tiene $3$ c.s.: la cifra de las unidades, la de las milésimas [el '$4$'], la de las diezmilésimas [el '$2$'], y la de las cienmilésimas [el '$1$']. Podemos contarlas también a partir de su expresión en notación científica, $4,21\times 10^{-3}$; como la mantisa tiene tres c.s., la cantidad pedida tiene este número de c.s.
c) $7,1\times 10^2$ tiene $2$ c.s., pues la mantisa tiene esas dos cifras significativas, el '$7$' y el '$1$'
d) En $4\,000\,001$, todas las cifras de este número son significativas, es decir, tiene $7$ c.s. Otra forma de contarlas pasa por -- como hemos hecho en otros apartados -- expresar dicha cantidad en notación científica, $4,000001\times 10^6$; como la mantisa tiene $7$ c.s., el número pedido tiene $7$ c.s.
$\square$
a) $30\,000$
b) $0,00421$
c) $7,1\times 10^2$
d) $4\,000\,001$
e) $9,003\times 10^{-3}$
SOLUCIÓN.
Decimos que una cierta cifra de una determinada cantidad ( o número ) es significativa si ésta es relevante a la hora de expresar dicha cantidad. Pensemos pues en el orden de magnitud de cada cifra; ello nos dará la respuesta de si la cifra en cuestión es o no es significativa. Así, por ejemplo, consideremos el número $200$; al escribir su desarrollo de potencias de base $10$ -- recordemos que el sistema de numeración empleado es el decimal o de base $10$, que es posicional --, $200=2\times 10^2+ 0\times 10^1+0$, nos damos perfecta cuenta de que los dos ceros no son relevantes en dicha suma de términos pues corresponden a términos nulos del desarrollo ( no aportan valor a la cantidad ), luego sólo la cifra '$2$' ( la de las centenas ) es significativa. Diremos pues que $200$ tiene $1$ c.s.
a) a) Esta cantidad, $30\,000$, tiene $1$ c.s.: el '$3$' ya que, si sólo hay ceros a la derecha de la última cifra distinta de cero, por lo dicho arriba, éstos no se consideran en general cifras significativas; a menos que se fuerce la relevancia de los mismos, como por ejemplo, al decir que algo cuesta un euro y medio, pues al expresarlo numéricamente, deberemos escribir rigurosamente: $1,50$ euros, siendo en este caso el cero de las centésimas, también, cifra significativa, pues queremos significar con ello que operamos con una precisión del céntimo de euro ( no olvidemos que existen monedas de un céntimo ).
Otra forma de contar el número de cifras significativas consiste en expresar previamente la cantidad en notación científica ( recordemos lo que hemos dicho en el párrafo de introducción ), y, entonces, contar el número de cifras significativas de la mantisa es el número de cifras significativas de la cantidad dada, pues éste será el número de cifras significativas de la cantidad pedida. Así, $30\,000=3 \times 10^4$; y como la mantisa $3$ tiene una sola c.s., podemos decir que $30\,000$ tiene una sola c.s.
b) Esta cantidad, $0,00421$, tiene $3$ c.s.: la cifra de las unidades, la de las milésimas [el '$4$'], la de las diezmilésimas [el '$2$'], y la de las cienmilésimas [el '$1$']. Podemos contarlas también a partir de su expresión en notación científica, $4,21\times 10^{-3}$; como la mantisa tiene tres c.s., la cantidad pedida tiene este número de c.s.
c) $7,1\times 10^2$ tiene $2$ c.s., pues la mantisa tiene esas dos cifras significativas, el '$7$' y el '$1$'
d) En $4\,000\,001$, todas las cifras de este número son significativas, es decir, tiene $7$ c.s. Otra forma de contarlas pasa por -- como hemos hecho en otros apartados -- expresar dicha cantidad en notación científica, $4,000001\times 10^6$; como la mantisa tiene $7$ c.s., el número pedido tiene $7$ c.s.
$\square$
Presentación de los resultados de los cálculos con datos afectados de error
ENUNCIADO. Se han medido los lados $a$ y $b$ de un rectángulo, obteniendo $\bar{a}=2,12 \,\text{m}$ y $\bar{b}=5,801\,\text{m}$. Desde luego, estas dos cantidades vienen afectadas de error ( de medida ), y todas sus cifras ( las de de una y otra ) son significativas; $a$ tiene tres cifras significativas (c.s.) y $b$ tiene cuatro c.s. Se pide calcular el perímetro y el área del rectángulo, expresando cada uno de esos resultados con el número de cifras significativas que proceda.
SOLUCIÓN. Como ya sabemos, el perímetro del rectángulo es igual a $2(a+b)$. Al realizar la operación, $2(\bar{a}+\bar{b})$, con todas las cifras significativas de los datos, obtenemos $15,842$ metros; ahora bien, no todas esas cifras del resultado son significativas. Como hay una operación de suma, ésta vendrá afectada por el error ( de medida ) de los dos datos ( las longitudes de los lados ) -- la multiplicación por $2$, no, pues el coeficiente no está afectado de error --, el número de cifras decimales significativas del resultado no puede ser mayor que el número de cifras decimales significativas del sumando que tenga menos precisión ( con menor número de cifras decimales significativas ), que es la medida de $a$, con $2$ cifras decimales significativas (c.d.s.), luego el resultado lo debemos a justar ( aproximar ) a $2$ cifras decimales significativas (c.d.s.). Diremos, pues, que el perímetro aproximado es de $15,84 \,\text{m}$
El área del rectángulo se obtiene haciendo $a\cdot b$. Al realizar la operación, $\bar{a}\cdot \bar{b}$, con todas las cifras significativas de los datos, obtenemos $12,29812$ metros cuadrados; ahora bien, no todas esas cifras del resultado son significativas. Como hay una operación de multiplicación, ésta viene afectada por el error de medida de las longitudes de los lados, así que, ahora ( multiplicación ) el número de cifras significativas del resultado no puede ser mayor que el número de cifras significativas del factor que tenga menos precisión ( con menor número de cifras significativas ), que es -- otra vez -- la medida de $a$, que tiene $3$ cifras significativas (c.s.), luego el resultado lo debemos a justar ( aproximar ) a $3$ cifras significativas (c.s.). Por consiguiente, el área aproximada es de $12,3 \,\text{m}^2$
$\square$
SOLUCIÓN. Como ya sabemos, el perímetro del rectángulo es igual a $2(a+b)$. Al realizar la operación, $2(\bar{a}+\bar{b})$, con todas las cifras significativas de los datos, obtenemos $15,842$ metros; ahora bien, no todas esas cifras del resultado son significativas. Como hay una operación de suma, ésta vendrá afectada por el error ( de medida ) de los dos datos ( las longitudes de los lados ) -- la multiplicación por $2$, no, pues el coeficiente no está afectado de error --, el número de cifras decimales significativas del resultado no puede ser mayor que el número de cifras decimales significativas del sumando que tenga menos precisión ( con menor número de cifras decimales significativas ), que es la medida de $a$, con $2$ cifras decimales significativas (c.d.s.), luego el resultado lo debemos a justar ( aproximar ) a $2$ cifras decimales significativas (c.d.s.). Diremos, pues, que el perímetro aproximado es de $15,84 \,\text{m}$
El área del rectángulo se obtiene haciendo $a\cdot b$. Al realizar la operación, $\bar{a}\cdot \bar{b}$, con todas las cifras significativas de los datos, obtenemos $12,29812$ metros cuadrados; ahora bien, no todas esas cifras del resultado son significativas. Como hay una operación de multiplicación, ésta viene afectada por el error de medida de las longitudes de los lados, así que, ahora ( multiplicación ) el número de cifras significativas del resultado no puede ser mayor que el número de cifras significativas del factor que tenga menos precisión ( con menor número de cifras significativas ), que es -- otra vez -- la medida de $a$, que tiene $3$ cifras significativas (c.s.), luego el resultado lo debemos a justar ( aproximar ) a $3$ cifras significativas (c.s.). Por consiguiente, el área aproximada es de $12,3 \,\text{m}^2$
$\square$
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