Teoria elemental de números. Recordemos el siguiente resultado, la identidad de Bézout [ Étienne Bézout, 1730-1783 ], que es clave para resolver ecuaciones diofánticas lineales: dados dos números enteros a,b -- a distinto de b --, existe un conjunto de infinitas parejas de números enteros x e y, que son solución de la ecuación
ax+yb=m.c.d.(a,b)
Para ello hacemos uso $de este bonito
teorema:
Denotando por $d$ al m.c.d.(a,b), si $(x_p,y_p)$ es una solución particular de $ax+yb=d$,
entonces la solución general, formada por las infinitas parejas de números enteros (x,y), viene dada por:
$x=x_p+k·b/d$
$y=y_p-k·a/d$
donde k es cualquier número entero.
Observación. Con números de muchas cifras, será necesario emplear el método de Euclides, para calcular el máximo común divisor de los coeficientes.
Ejemplo sencillo:
Queremos resolver (determinar la estructura de la solución formada por infinitos pares de valores x e y ) la siguiente ecuación diofántica lineal:
3x+2y=m.c.d.(3,2)
Notemos que d=m.c.d.(3,2)=1
Es fácil encontrar la siguiente s. particular:
$x_p=1$
$y_p=-1$
ya que, en efecto, 3·1+2·(-1)=1. Entonces, teniendo en cuenta dicho teorema:
x=1+2k
y=-1-3k
(para todo k, entero)
Así, por ejemplo, los siguientes pares de valores (x,y) forman parte de la solución (por supuesto, hay infinitos):
Si k:=0, x=1 e y=-1
Si k:=-1, x=-1 e y=2
¿ Y si queremos ahora resolver una ecuación diofántica lineal tal como ax+by=c con c distinto de m.c.d(a,b) ? ¿ Podemos tirar del hilo de lo que hemos hecho para el caso sencillo y encontrar un método extendido ? Pues bien, sí, pero con la condición de que
el m.c.d.(a,b) divida a c ( que expresamos habitualmente con la notación $d|c$ ), de otro modo la ecuación ax+by=c no es resoluble en el conjunto de los números enteros [ Éste es otro
lema importante, que, desde luego podríamos demostrar, si bien, aquí, me limitaré a utilizar ]
Veámoslo con el siguiene
ejemplo (ecuación diofántica lineal):
$$6x+4y=8$$
i) Como d=m.c.d(6,4)=2 divide a 8, la ecuación tiene solución
ii) Escribamos pues la identidad de Bézout 6x+4y=2,que resolveremos de la manera explicada:
obteniendo como una s. particular
x'=1
y'=-1
Entonces, como a partir de
6·1+4·(-1)=2 podemos escribir
6·1·8/2+4·(-1)·8/2=2·8/2
y por tanto
6·4+4·(-4)=8
así que hemos encontrado, sin dificultad, una solución particular de 6x+4y=8, que es
$x_p=4$
$y_p=-4$
luego la solución general, según el teorema mencionado arriba, es
x=4+2k
y=-4-3k
siendo k cualquier n. entero
Así, dando valores arbitrarios a k
Si k:=0, x=4 e y=-4 ( como debe ser )
Si k:=1, x=6 e y=-7
Si k:=-1, x=2 e y=-1
etcétera
El método seguido es, desde luego, generalizable a ecuaciones diofánticas lineales con más de dos variables.
$\square$
