Cálculo con clases de resto. La prueba "del nueve".

Recordemos lo que ya hemos dicho en el artículo anterior. Dos números enteros $m$ y $n$ pertenecen a la misma clase de resto si la división entera de uno y otro por un cierto número entero $k$, $m\div k$ y $n\div k$, da el mismo resto. Solemos escribir esta idea de la forma $$m \equiv n\; (\text{mod}\; k)$$ y se cumplen las siguientes propiedades que constituyen la base del cálculo con clases de resto:
Dados dos enteros cualesquiera $m_1$ y $m_2$ y dado un entero $k$, tales que $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; k)$ y $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; k)$, entonces:

1.     $m_1 + m_2 \equiv (n_1+n_2)\; (\text{mod}\; k)$
2.     $m_1 \cdot m_2 \equiv (n_1\cdot n_2)\; (\text{mod}\; k)$

Ahora a exponer una propiedad clave para explicar, a continuación, en qué consiste la llamada prueba del nueve del resultado de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

Propiedad:
3. Cualquier número entero cumple que el resultado de la suma de sus cifras pertenece a la misma clase de resto con módulo $9$ que el propio número; es decir, el resto de la división entre $9$ del número en cuestión y el resto de la división entre $9$ de la cantidad a que es igual la suma de las cifras de dicho número coinciden.

Por ejemplo, el resto de la división $76 \div 9$ es $4$ y el resto de $7+6=13$ entre $9$ es, también, $4$. En otras palabras $76 \equiv (7+6)\; (\text{mod}\; 9)$

Teniendo en cuenta esta propiedad así como las propiedades (1) y (2) sobre el cálculo con clases de resto, se cumplen también las siguientes propiedades:

4. Si $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; 9)$ y $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; 9)$, entonces $m_1 + m_2 \equiv (n_1+n_2)\; (\text{mod}\; 9)$
5. Si $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; 9)$ y $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; 9)$, entonces $m_1 - m_2 \equiv (n_1-n_2)\; (\text{mod}\; 9)$
6. Si $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; 9)$ y $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; 9)$, entonces $m_1 \cdot m_2 \equiv (n_1 \cdot n_2)\; (\text{mod}\; 9)$

7. Recordemos que dados dos enteros $m_1$ ( dividendo ) y $m_2$ (divisor) sabemos que, por el teorema de la división entera $m_1 \div m_2$, existen otros dos enteros $m_3$ y $m_4$, únicos, tales que $m_1=m_2 \cdot m_3 +m_4$ y $0 \prec m_4 \le |m_2|$.
Entonces si $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; 9)$, $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; 9)$, $m_3 \equiv n_3\; (\text{mod}\; 9)$ y $m_4 \equiv n_4\; (\text{mod}\; 9)$, teniendo en cuenta las propiedades (1), (2) y (3), debe cumplirse $n_1=n_2 \cdot n_3 +n_4$ y $0 \prec n_4 \le |n_2|$.

Ejemplo ( Prueba del nueve para la división). Consideremos la división $4638954 \div 735$. Así, $m_1=4638954$ y $m_2=735$. Realizando la operación de división encontramos que el cociente es igual $6311$ y el resto es $369$; por tanto $m_3=6311$ y $m_4=369$. Vamos ahora a comprobar que se cumple también lo expuesto en (d):

$4638954 \equiv (4+6+3+8+9+5+4)\; (\text{mod}\; 9) \equiv 39\; (\text{mod}\; 9) \equiv 3\; (\text{mod}\; 9)$, así que $n_1=3$

$735 \equiv (7+3+5)\; (\text{mod}\; 9) \equiv 15\; (\text{mod}\; 9) \equiv 6\; (\text{mod}\; 9)$, con lo cual $n_2=6$

$6311 \equiv (6+3+1+1)\; (\text{mod}\; 9) \equiv 11\; (\text{mod}\; 9) \equiv 2\; (\text{mod}\; 9)$, con lo cual $n_3=2$

$369 \equiv (3+6+9)\; (\text{mod}\; 9) \equiv 18\; (\text{mod}\; 9) \equiv 0\; (\text{mod}\; 9)$, con lo cual $n_4=0$

Comprobemos que se cumple (7): $$n_1 \overset{\text{?}}{=}n_3\cdot n_3 + n_4$$ En efecto, teniendo en cuenta que $n_2\cdot n_3=6\cdot 2 = 12 \equiv 3 \; (\text{mod}\; 9)$, vemos que $$3=3 + 0$$

OBSERVACIÓN ( Sobre la validez de una comprobación ). Si en una operación básica ( ya sea ésta de suma/resta, multiplicación o división ) la prueba del nueve no es satisfactoria, desde luego, habrá que comprobar la operación. Ahora bien, si la prueba del nueve es satisfactoria, no puede afirmarse con total certeza que la operación que comprobamos mediante dicha prueba esté exenta de errores, sólo podremos afirmar que muy probablemente lo esté, pues de cometer más de un error al realizar las operaciones de comprobación con las clases de resto, bien pudiese ser que unos se compensasen con otros, dando así un falso resultado satisfactorio en la comprobación.

$\square$

Calculando con clases de resto

ENUNCIADO. ¿ Cuál es el resto de la división $2^2\cdot 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7$ entre $8$ ?

SOLUCIÓN.
Decimos que dos números enteros $m$ y $n$ pertenecen a la misma clase de resto si la división entera de uno y otro por un cierto número entero $k$, $m\div k$ y $n\div k$, da el mismo resto. Solemos escribir esta idea de la forma $$m \equiv n\; (\text{mod}\; k)$$ y se cumplen las siguientes propiedades que constituyen la base del cálculo con clases de resto:
Dados dos enteros cualesquiera $m_1$ y $m_2$ y dado un entero $k$, tales que $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; k)$ y $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; k)$, entonces:

1.     $m_1 + m_2 \equiv (n_1+n_2)\; (\text{mod}\; k)$
2.     $m_1 \cdot m_2 \equiv (n_1\cdot n_2)\; (\text{mod}\; k)$

En este ejercicio, haremos uso de la segunda de estas propiedades. Veámoslo.

Es evidente que
$2^2=4 \equiv 4 \; ( \text{mod}\; 8)$ pues el resto de la división entera $4 \div 8 $ es $4$

Por otra parte, se puede comprobar que:
$$3^3 \equiv 3\; ( \text{mod}\; 8)$$ $$5^5 \equiv 5\; ( \text{mod}\; 8)$$ $$7^7 \equiv 7\; ( \text{mod}\; 8)$$ Entonces, por la propiedad del producto de clases de resto, $$2^2\cdot 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7 \equiv 4\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\; (\text{mod}\; 8)$$ esto es $$2^2\cdot 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7 \equiv 420 \; (\text{mod}\; 8) \equiv 4 \; (\text{mod}\; 8) $$ luego el resto pedido es $4$
$\square$

Operando con la circunferencia trigonométrica

ENUNCIADO. Dado un ángulo $90^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}$ del cual se sabe que $\sin{\alpha}=\dfrac{3}{4}$, calcúlense los valores exactos de las razones coseno y tangente.

SOLUCIÓN.

Ya está a punto el aula virtual

Ya está a punto el aula virtual para mis alumnos de 4.º de ESO del @IESMDelibes

Ejercicios resueltos y comentados del examen del tema 6 ( inecuaciones ), realizado el viernes 3/02/2017

[1|2|3]

A veces las probabilidades nos sorprenden

ENUNCIADO. Cinco bolas blancas y cinco bolas negras se distribuyen en dos urnas, $U_1$ y $U_2$, de modo que una bola blanca se deposita en $U_1$ y el resto de bolas en $U_2$. A continuación se elige una urna al azar y, luego, una bola de dicha urna. ¿ Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $B$ al suceso 'obtener bola blanca'; y por, $U_1$ y $U_2$, a los sucesos 'elegir la primera urna' y 'elegir la segunda urna', respectivamente. Por el Teorema de la Probabilidad Total podemos escribir $$P(B)=P(B|U_1)\cdot P(U_1)+P(B|U_2)\cdot P(U_2) \quad \quad (1)$$ Teniendo en cuenta que en la elección de urna ambas son igualmente probables, tenemos que $P(U_1)=P(U_2)=\dfrac{1}{2}$; por otra parte, como en la primera urna sólo hay una bola blanca, $P(B|U_1)=1$; y, como la segunda urna contiene $4$ bolas blancas y $5$ bolas negras ( $9$ en total ), tenemos que $P(B|U_2)=\dfrac{4}{9}$.

Así, pues, poniendo estos valores en (1), obtenemos $$P(B)=1\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{13}{18}\approx 72\,\%$$ El resultado puede sorprendernos, pues uno tiende a pensar que como el número total de bolas blancas es igual al de bolas negras, la probabilidad no debería diferir mucho del $50\,\%$, lo cual no es así, como se acaba de ver. Muchas veces las estimaciones de probabilidad a la ligera, guiadas por la intuición, fallan.

$\square$

Sobre la probabilidad de lluvia en las previsiones meteorológicas

En los pronósticos del tiempo, la probabilidad de lluvia ( que se suele dar en tanto por ciento ), para un cierto día, no es una afirmación baladí y poco precisa; todo lo contrario: es el resultado de arduos cálculos, basados en la frecuencia estadística del registro de los días del pasado en que ha llovido en una determinada zona; pero no de cualquier día, sino de los días en que concurren situaciones atmosféricas similares al del día para el que se hace la previsión meteorológica.