A veces las probabilidades nos sorprenden

ENUNCIADO. Cinco bolas blancas y cinco bolas negras se distribuyen en dos urnas, $U_1$ y $U_2$, de modo que una bola blanca se deposita en $U_1$ y el resto de bolas en $U_2$. A continuación se elige una urna al azar y, luego, una bola de dicha urna. ¿ Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $B$ al suceso 'obtener bola blanca'; y por, $U_1$ y $U_2$, a los sucesos 'elegir la primera urna' y 'elegir la segunda urna', respectivamente. Por el Teorema de la Probabilidad Total podemos escribir $$P(B)=P(B|U_1)\cdot P(U_1)+P(B|U_2)\cdot P(U_2) \quad \quad (1)$$ Teniendo en cuenta que en la elección de urna ambas son igualmente probables, tenemos que $P(U_1)=P(U_2)=\dfrac{1}{2}$; por otra parte, como en la primera urna sólo hay una bola blanca, $P(B|U_1)=1$; y, como la segunda urna contiene $4$ bolas blancas y $5$ bolas negras ( $9$ en total ), tenemos que $P(B|U_2)=\dfrac{4}{9}$.

Así, pues, poniendo estos valores en (1), obtenemos $$P(B)=1\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{13}{18}\approx 72\,\%$$ El resultado puede sorprendernos, pues uno tiende a pensar que como el número total de bolas blancas es igual al de bolas negras, la probabilidad no debería diferir mucho del $50\,\%$, lo cual no es así, como se acaba de ver. Muchas veces las estimaciones de probabilidad a la ligera, guiadas por la intuición, fallan.

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