Calculando con clases de resto

ENUNCIADO. ¿ Cuál es el resto de la división $2^2\cdot 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7$ entre $8$ ?

SOLUCIÓN.
Decimos que dos números enteros $m$ y $n$ pertenecen a la misma clase de resto si la división entera de uno y otro por un cierto número entero $k$, $m\div k$ y $n\div k$, da el mismo resto. Solemos escribir esta idea de la forma $$m \equiv n\; (\text{mod}\; k)$$ y se cumplen las siguientes propiedades que constituyen la base del cálculo con clases de resto:
Dados dos enteros cualesquiera $m_1$ y $m_2$ y dado un entero $k$, tales que $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; k)$ y $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; k)$, entonces:

1.     $m_1 + m_2 \equiv (n_1+n_2)\; (\text{mod}\; k)$
2.     $m_1 \cdot m_2 \equiv (n_1\cdot n_2)\; (\text{mod}\; k)$

En este ejercicio, haremos uso de la segunda de estas propiedades. Veámoslo.

Es evidente que
$2^2=4 \equiv 4 \; ( \text{mod}\; 8)$ pues el resto de la división entera $4 \div 8$ es $4$

Por otra parte, se puede comprobar que:
$$3^3 \equiv 3\; ( \text{mod}\; 8)$$ $$5^5 \equiv 5\; ( \text{mod}\; 8)$$ $$7^7 \equiv 7\; ( \text{mod}\; 8)$$ Entonces, por la propiedad del producto de clases de resto, $$2^2\cdot 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7 \equiv 4\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\; (\text{mod}\; 8)$$ esto es $$2^2\cdot 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7 \equiv 420 \; (\text{mod}\; 8) \equiv 4 \; (\text{mod}\; 8)$$ luego el resto pedido es $4$
$\square$