Cálculo con clases de resto. La prueba "del nueve".

Recordemos lo que ya hemos dicho en el artículo anterior. Dos números enteros $m$ y $n$ pertenecen a la misma clase de resto si la división entera de uno y otro por un cierto número entero $k$, $m\div k$ y $n\div k$, da el mismo resto. Solemos escribir esta idea de la forma $$m \equiv n\; (\text{mod}\; k)$$ y se cumplen las siguientes propiedades que constituyen la base del cálculo con clases de resto:
Dados dos enteros cualesquiera $m_1$ y $m_2$ y dado un entero $k$, tales que $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; k)$ y $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; k)$, entonces:

1.     $m_1 + m_2 \equiv (n_1+n_2)\; (\text{mod}\; k)$
2.     $m_1 \cdot m_2 \equiv (n_1\cdot n_2)\; (\text{mod}\; k)$

Ahora a exponer una propiedad clave para explicar, a continuación, en qué consiste la llamada prueba del nueve del resultado de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

Propiedad:
3. Cualquier número entero cumple que el resultado de la suma de sus cifras pertenece a la misma clase de resto con módulo $9$ que el propio número; es decir, el resto de la división entre $9$ del número en cuestión y el resto de la división entre $9$ de la cantidad a que es igual la suma de las cifras de dicho número coinciden.

Por ejemplo, el resto de la división $76 \div 9$ es $4$ y el resto de $7+6=13$ entre $9$ es, también, $4$. En otras palabras $76 \equiv (7+6)\; (\text{mod}\; 9)$

Teniendo en cuenta esta propiedad así como las propiedades (1) y (2) sobre el cálculo con clases de resto, se cumplen también las siguientes propiedades:

4. Si $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; 9)$ y $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; 9)$, entonces $m_1 + m_2 \equiv (n_1+n_2)\; (\text{mod}\; 9)$
5. Si $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; 9)$ y $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; 9)$, entonces $m_1 - m_2 \equiv (n_1-n_2)\; (\text{mod}\; 9)$
6. Si $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; 9)$ y $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; 9)$, entonces $m_1 \cdot m_2 \equiv (n_1 \cdot n_2)\; (\text{mod}\; 9)$

7. Recordemos que dados dos enteros $m_1$ ( dividendo ) y $m_2$ (divisor) sabemos que, por el teorema de la división entera $m_1 \div m_2$, existen otros dos enteros $m_3$ y $m_4$, únicos, tales que $m_1=m_2 \cdot m_3 +m_4$ y $0 \prec m_4 \le |m_2|$.
Entonces si $m_1 \equiv n_1\; (\text{mod}\; 9)$, $m_2 \equiv n_2\; (\text{mod}\; 9)$, $m_3 \equiv n_3\; (\text{mod}\; 9)$ y $m_4 \equiv n_4\; (\text{mod}\; 9)$, teniendo en cuenta las propiedades (1), (2) y (3), debe cumplirse $n_1=n_2 \cdot n_3 +n_4$ y $0 \prec n_4 \le |n_2|$.

Ejemplo ( Prueba del nueve para la división). Consideremos la división $4638954 \div 735$. Así, $m_1=4638954$ y $m_2=735$. Realizando la operación de división encontramos que el cociente es igual $6311$ y el resto es $369$; por tanto $m_3=6311$ y $m_4=369$. Vamos ahora a comprobar que se cumple también lo expuesto en (d):

$4638954 \equiv (4+6+3+8+9+5+4)\; (\text{mod}\; 9) \equiv 39\; (\text{mod}\; 9) \equiv 3\; (\text{mod}\; 9)$, así que $n_1=3$

$735 \equiv (7+3+5)\; (\text{mod}\; 9) \equiv 15\; (\text{mod}\; 9) \equiv 6\; (\text{mod}\; 9)$, con lo cual $n_2=6$

$6311 \equiv (6+3+1+1)\; (\text{mod}\; 9) \equiv 11\; (\text{mod}\; 9) \equiv 2\; (\text{mod}\; 9)$, con lo cual $n_3=2$

$369 \equiv (3+6+9)\; (\text{mod}\; 9) \equiv 18\; (\text{mod}\; 9) \equiv 0\; (\text{mod}\; 9)$, con lo cual $n_4=0$

Comprobemos que se cumple (7): $$n_1 \overset{\text{?}}{=}n_3\cdot n_3 + n_4$$ En efecto, teniendo en cuenta que $n_2\cdot n_3=6\cdot 2 = 12 \equiv 3 \; (\text{mod}\; 9)$, vemos que $$3=3 + 0$$

OBSERVACIÓN ( Sobre la validez de una comprobación ). Si en una operación básica ( ya sea ésta de suma/resta, multiplicación o división ) la prueba del nueve no es satisfactoria, desde luego, habrá que comprobar la operación. Ahora bien, si la prueba del nueve es satisfactoria, no puede afirmarse con total certeza que la operación que comprobamos mediante dicha prueba esté exenta de errores, sólo podremos afirmar que muy probablemente lo esté, pues de cometer más de un error al realizar las operaciones de comprobación con las clases de resto, bien pudiese ser que unos se compensasen con otros, dando así un falso resultado satisfactorio en la comprobación.

$\square$