Enunciado:
Explique los siguientes conceptos:
a) sucesos incompatibles
b) sucesos independientes
Explique qué dice:
c) el teorema de la probabilidad total
d) la regla de Laplace
Explique qué entiende por:
e) espacio muestral
f) conjunto de las partes del espacio muestral
g) espacio de probabilidad
Solución:
a)
Dos sucesos $A$ y $B$ decimos que son incompatibles si uno excluye al otro como resultado de la realización de la experiencia aleatoria a la cual están ligados. También puede decirse que dos sucesos $A$ y $B$ son incompatible si y sólo si $A \cap B = \varnothing$.
b)
Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$, esto es, si no hay condicionamiento en el hecho de que se de uno, sabiendo que se ha dado ya el otro.
c)
Sea un conjunto de sucesos $\{A_i\} \quad i=1\,,\ldots\,n$ tales que la unión de todos ellos es el espacio muestral $\Omega$ y de tal modo que la intersección de cada pareja de dichos conjuntos es vacía ( son incompatibles entre sí ); sea $B$ un suceso compuesto, entonces, en estas condiciones se cumple $P(B)=P(B|A_1)\,P(A_1)+ P(B|A_2)\,P(A_2)+\ldots+P(B|A_n)\,P(A_n)$ ( Teorema de la Probabilidad Total )
d)
La regla de Laplace permite asignar probabilidad a partir de la razón entre el número de casos favorables a que se de un cierto evento y el número total de eventos que puedan darse, suponiendo que dichos sucesos sean equiprobables.
e)
Sea una experiencia aleatoria, entendemos el espacio muestral $\Omega$ como un conjunto de sucesos elementales asociados a la misma de tal forma que: i) recubren el espacio de sucesos, y ii) la intersección de todas las parejas formadas por elementos distintos es vacía.
f)
El conjunto de las partes de un espacio muestral $\Omega$ finito, de cardinal $n$ ( número de sucesos elementales de que consta ) es el conjunto de los subconjuntos del mismo, y, por tanto, el número de dichos subconjuntos ( incluyendo el conjunto vació $\varnothing$ ( suceso imposible ) y el propio espacio muestral $\Omega$ ( suceso seguro ) se demuestra que es igual a $2^n$.
g)
Dada una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$, el espacio de probabilidad es la terna $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, donde: $\Omega$ es el espacio muestral; \mathcal{A} representa el conjunto de sucesos ( ya sean éstos elementales o bien compuestos ) y $P$ es una aplicación de $\mathcal{A}$ en $[0,1]\subset \mathbb{R}$ que llamamos aplicación probabilidad y representa una forma de medir en dicho espacio.
$\square$
jueves, 12 de junio de 2014
Elegimos al azar una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Si dicha carta resulta ser una figura ( sota, caballo o bien rey ) extraemos una bola de una urna $U_1$ que contiene $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras; si la carta extraída no es figura, extraemos una bola de una urna $U_2$ que contiene $1$ bola blanca y $2$ bolas negras. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.
Enunciado:
Elegimos al azar una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Si dicha carta resulta ser una figura ( sota, caballo o bien rey ) extraemos una bola de una urna $U_1$ que contiene $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras; si la carta extraída no es figura, extraemos una bola de una urna $U_2$ que contiene $1$ bola blanca y $2$ bolas negras. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.
Solución:
Denotemos por $F$ al suceso extraer una carta que sea figura; $\bar{F}$, al suceso extraer una carta que no sea figura, y $B$, extraer bola blanca. Entonces, por el Teorema de la probabilidad Total se cumple $P(B)=P(B|F)\,P(F)+P(B|\bar{F})\,P(\bar{F})$ (1), y teniendo en cuenta que $P(F)=\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}$; $P(\bar{F})=1-P(F)=\dfrac{3}{4}$ ( por la propiedad del contrario ); $P(B|F)=\dfrac{4}{7}$ ( por la regla de Laplace, en la primera urna ), y $P(B|\bar{F})=\dfrac{1}{3}$ ( por la regla de Laplace, en la segunda urna ). Luego, de (1), $P(B)=\dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{28}$
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Elegimos al azar una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Si dicha carta resulta ser una figura ( sota, caballo o bien rey ) extraemos una bola de una urna $U_1$ que contiene $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras; si la carta extraída no es figura, extraemos una bola de una urna $U_2$ que contiene $1$ bola blanca y $2$ bolas negras. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.
Solución:
Denotemos por $F$ al suceso extraer una carta que sea figura; $\bar{F}$, al suceso extraer una carta que no sea figura, y $B$, extraer bola blanca. Entonces, por el Teorema de la probabilidad Total se cumple $P(B)=P(B|F)\,P(F)+P(B|\bar{F})\,P(\bar{F})$ (1), y teniendo en cuenta que $P(F)=\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}$; $P(\bar{F})=1-P(F)=\dfrac{3}{4}$ ( por la propiedad del contrario ); $P(B|F)=\dfrac{4}{7}$ ( por la regla de Laplace, en la primera urna ), y $P(B|\bar{F})=\dfrac{1}{3}$ ( por la regla de Laplace, en la segunda urna ). Luego, de (1), $P(B)=\dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{28}$
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Calcular: a) $V_{6,3}$ b) $VR_{3,4}$ c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$ d) $P_{8}$ e) $C_{7,2}$ f) $CR_{5,3}$ g) $C_{3,0}+C_{3,1}+C_{3,2}+C_{3,3}$
Enunciado:
Calcular:
a) $V_{6,3}$
b) $VR_{3,4}$
c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$
d) $P_{8}$
e) $C_{7,2}$
f) $CR_{5,3}$
g) $C_{3,0}+C_{3,1}+C_{3,2}+C_{3,3}$
Calcular:
a) $V_{6,3}$
b) $VR_{3,4}$
c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$
d) $P_{8}$
e) $C_{7,2}$
f) $CR_{5,3}$
g) $C_{3,0}+C_{3,1}+C_{3,2}+C_{3,3}$
Al realizar un estudio estadístico se han encontrado los siguientes valores del mínimo y del máximo, y de los cuartiles: $x_{mín}=2$, $C_1=4$, $C_2=10$, $C_3=20$ y $x_{máx}=30$.
Enunciado:
Al realizar un estudio estadístico se han encontrado los siguientes valores del mínimo y del máximo, y de los cuartiles: $x_{mín}=2$, $C_1=4$, $C_2=10$, $C_3=20$ y $x_{máx}=30$.
Se pide:
a) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
b) Comentar cómo se distribuyen los valores de la variable estadística
Solución:
a) y b)
Al realizar un estudio estadístico se han encontrado los siguientes valores del mínimo y del máximo, y de los cuartiles: $x_{mín}=2$, $C_1=4$, $C_2=10$, $C_3=20$ y $x_{máx}=30$.
Se pide:
a) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
b) Comentar cómo se distribuyen los valores de la variable estadística
Solución:
a) y b)
Considérense los valores de una variable estadística agrupados en intervalos. El intervalo con mayor frecuencia es $[50,60)$ y tiene frecuencia $f=140$, y los intervalos vecinos $[40,50)$ y $[60,70)$ tienen frecuencias respectivas $100$ y $110$. Calcular el valor de la moda mediante el cálculo de proporcionalidad que se puede plantear a partir de la configuración geométrica que se desprende al dibujar esta parte del histograma.
Enunciado:
Considérense los valores de una variable estadística agrupados en intervalos. El intervalo con mayor frecuencia es $[50,60)$ y tiene frecuencia $f=140$, y los intervalos vecinos $[40,50)$ y $[60,70)$ tienen frecuencias respectivas $100$ y $110$. Calcular el valor de la moda mediante el cálculo de proporcionalidad que se puede plantear a partir de la configuración geométrica que se desprende al dibujar esta parte del histograma.
Solución:
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Considérense los valores de una variable estadística agrupados en intervalos. El intervalo con mayor frecuencia es $[50,60)$ y tiene frecuencia $f=140$, y los intervalos vecinos $[40,50)$ y $[60,70)$ tienen frecuencias respectivas $100$ y $110$. Calcular el valor de la moda mediante el cálculo de proporcionalidad que se puede plantear a partir de la configuración geométrica que se desprende al dibujar esta parte del histograma.
Solución:
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Sean los siguientes valores de una variable estadística $X$: $$\{2,3,4,1,2,3,5,2,3,3,4\}$$ Calcúlese: a) la mediana, la moda y la media aritmética b) la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de Pearson
Enunciado:
Sean los siguientes valores de una variable estadística $X$: $$\{2,3,4,1,2,3,5,2,3,3,4\}$$ Calcúlese:
a) la mediana, la moda y la media aritmética
b) la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de Pearson
Solución:
a)
b)
$\square$
Sean los siguientes valores de una variable estadística $X$: $$\{2,3,4,1,2,3,5,2,3,3,4\}$$ Calcúlese:
a) la mediana, la moda y la media aritmética
b) la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de Pearson
Solución:
a)
b)
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miércoles, 11 de junio de 2014
Enunciado: Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B ) $. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?: a) $A$ y $B$ son incompatibles b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes
Enunciado:
Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$.
Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad que viene del principio de inclusión-exclusión ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B ) $. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?:
a) $A$ y $B$ son incompatibles
b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes
c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes
Solución:
a)
Si $A$ y $B$ son incompatibles, entonces $A \cap B = \varnothing $ ( suceso imposible ) y, por tanto, $P(A \cap B)=0$; luego, en estas condiciones, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-0 = P(A)+P(B)$
-oOo-
b)
Si $A$ y $B$ son compatibles, entonces $A \cap B \neq \varnothing $ y, por tanto, $P(A \cap B)=P(B \cap B) \succ 0$, siendo $P(A \cap B)=P(A|B)\,P(B)$ y $P(B \cap A)=P(B|A)\,P(A)$; con lo cual, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A)$. Y en el caso en que $A$ y $B$ sean dependientes habrá que tener en cuenta que $P(A|B) \neq P(A)$ y $P(B|A) \neq P(B)$.
c)
Si además de ser $A$ y $B$ compatibles son también independientes ( $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(A)$ ), por lo dicho en el apartado anterior, y en estas condiciones, podremos escribir:
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)$
$=P(A)+P(B)-P(B)\,P(A)$
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Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$.
Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad que viene del principio de inclusión-exclusión ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B ) $. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?:
a) $A$ y $B$ son incompatibles
b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes
c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes
Solución:
a)
Si $A$ y $B$ son incompatibles, entonces $A \cap B = \varnothing $ ( suceso imposible ) y, por tanto, $P(A \cap B)=0$; luego, en estas condiciones, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-0 = P(A)+P(B)$
b)
Si $A$ y $B$ son compatibles, entonces $A \cap B \neq \varnothing $ y, por tanto, $P(A \cap B)=P(B \cap B) \succ 0$, siendo $P(A \cap B)=P(A|B)\,P(B)$ y $P(B \cap A)=P(B|A)\,P(A)$; con lo cual, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A)$. Y en el caso en que $A$ y $B$ sean dependientes habrá que tener en cuenta que $P(A|B) \neq P(A)$ y $P(B|A) \neq P(B)$.
c)
Si además de ser $A$ y $B$ compatibles son también independientes ( $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(A)$ ), por lo dicho en el apartado anterior, y en estas condiciones, podremos escribir:
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)$
$=P(A)+P(B)-P(B)\,P(A)$
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