La función $f(x)=2^x-4$ tiene una única raíz. Calcúlese dicha raíz.

Enunciado:
La función $f(x)=2^x-4$ tiene una única raíz. Calcúlese dicha raíz.

Resolución:
Sea $x=r$ dicha raíz, entonces $f(r)=0$, con lo cual $$2^r-4=0 \Leftrightarrow 2^r=4 \Leftrightarrow 2^r=2^2 \Leftrightarrow r=2$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular la ordenada en el origen de la función $f(x)=3^x-9$

Enunciado:
Calcular la ordenada en el origen de la función $f(x)=3^x-9$

Resolución:
Llamamos ordenada en el origen de una función a la ordenada del punto de corte del gráfico de dicha función con el eje de ordenadas, que es único.
Entonces, $f(0)=3^0-9=1-9=8$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Representar gráficamente la función $h(x)=-x^2+9$ a partir de sus elementos notables ( raíces, ordenada en el origen, coordenadas del vértice, y eje de simetría de la parábola correspodiente ).

Enunciado:
Representar gráficamente la función $h(x)=-x^2+9$ a partir de sus elementos notables ( raíces, ordenada en el origen, coordenadas del vértice, y eje de simetría de la parábola correspodiente ).

Resolución:
Veamos cuáles son los elementos notables: a) raíces: imponiendo $f(x)=0$, que es la condición necesaria para un valor de la variable independiente $x$ sea raíz de la función $f$, obtenemos $-x^2+9=0 \Leftrightarrow x^2=9 \Leftrightarrow x=\pm 3$; b) abscisa del vértice, $V$ de la parábola: abscisa del punto medio del segmento de extremos $(-3\,,\,0)$ y $(3\,,\,0)$, luego $x_v=0$, luego su ordenada es $f(0)=9$, es decir, $V(0,9)$ es el punto de corte del trazo con el eje de ordenadas, y coincide, en este caso, con el vértice de la parábola; c) el eje de simetría de la parábola: $r:x=0$ ( eje de ordenadas ).

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sabiendo que $-3$ y $5$ son raíces de una cierta función polinómica, calcular la abscisa del vértice de la parábola, que es el gráfico de dicho función.

Enunciado:
Sabiendo que $-3$ y $5$ son raíces de una cierta función polinómica, calcular la abscisa del vértice de la parábola, que es el gráfico de dicho función.

Resolución:
La abscisa del vértice de una parábola es igual al punto medio de cualquier segmento formado por dos puntos simétricos uno del otro, por ejemplo, los puntos de corte con el eje de abscisas ( si la parábola en cuestión corta a dicho eje, claro está, y, en este caso lo hace ), luego $x_v=\dfrac{-3+5}{2}=2$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular el valor de la ordenada en el origen...

Enunciado:
Calcular el valor de la ordenada en el origen de la siguiente función $$g(x)=4\,(x-1)^3+5$$

Resolución:
La ordenada en el origen es la imagen del cero, luego $g(0)=4\,(0-1)^3+5=4\cdot (-1)^3+5=-4+5=1$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular las raíces de la función $f(x)=x^2-4\,x+5$

Enunciado:
Calcular las raíces de la función $f(x)=x^2-4\,x+5$

Resolución:
Por la condición de existencia de raíces, $f(x)=0$, podemos escribir $x^2-4\,x+5=0$ y resolviendo dicha ecuación de segundo grado, $x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 5}}{2\cdot 1} \notin \mathbb{R}$, por ser el discriminante negativo, luego la función propuesta no tiene raíces ( no corta al eje de abscisas ).

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea la sucesión geométrica $$\{\dfrac{3}{2}\,,\,2\,,\,\dfrac{8}{3}\,,\,\dfrac{32}{9}\,,\,\dfrac{128}{27}\ldots \}$$ Se pide: a) El valor de la suma de los diez primeros términos b) El valor del producto de los diez primeros términos

Enunciado:
Sea la sucesión geométrica ( función exponencial, definida de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ ): $$\{\dfrac{3}{2}\,,\,2\,,\,\dfrac{8}{3}\,,\,\dfrac{32}{9}\,,\,\dfrac{128}{27}\ldots \}$$
Se pide:
a) El valor de la suma de los diez primeros términos
b) El valor del producto de los diez primeros términos

Resolución:

Tratándose de una sucesión geométrica, sabemos [ ver las observaciones al margen ] que:
  $a_n=a_1\,r^{n-1}\,,\,n=1,2,3,\ldots$ ( expresión que nos da el valor del término n-ésimo )         (1)
  $S_n=a_1\,\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$ ( expresión que nos da el valor de la suma de los $n$ primeros términos )         (2)
  $P_n=\sqrt[2]{(a_1\,a_n)^n}$ ( expresión que nos da el valor del producto de los $n$ primeros términos )         (3)

siendo $r$ es la razón geométrica de la sucesión ( constante por la cual se multiplica el valor de un término para obtener el del siguiente término ), y, por tanto, $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\ldots$; $a_1$, el valor del primer término; $a_n$, el valor del término n-ésimo.

En el caso que nos ocupa, tenemos: $a_1=\dfrac{3}{2}$, $a_2=2$, luego $r=\dfrac{2}{3/2}=\dfrac{8/3}{2}=\dfrac{32/9}{8/3}=\ldots = 4/3$. Por tanto, $a_{10}=\dfrac{3}{2} \cdot (4/3)^9$, con lo cual podemos calcular ya las cantidades pedidas:

a)
  $S_{10}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{(4/3)^{10}-1}{(4/3)-1} \approx 75,4098$ ( utilizando la calculadora y aproximando, por redondeo simétrico, a la cuarta cifra decimal )

b)
  $P_{10}=\sqrt[2]{\bigg((3/2)\cdot \big(\dfrac{3}{2}\cdot (4/3)^9\big) \bigg)^{10} } = 3897131,606$ ( utilizando la calculadora )

$\blacksquare$


Observaciones:
(1) Justificación de la expresión del término general de una s. geométrica:
Como $a_2=a_{1}\,r$, $a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$, $a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$, y así sucesivamente, podemos inducir que $a_n=\,a_1\,r^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

(2) Justificación de la expresión de la suma de los $n$ primeros términos de una s. geométrica.
La suma de los $n$ primeros términos es
$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$
y por el patrón de formación de los términos, podemos escribirlo como
$S_n=a_1+a_1\,r+a_1\,r^2+\ldots+a_1\,r^{n-2}+a_1\,r^{n-1}$
multiplicando ambos miembros por $r$ podemos escribir la ecuación equivalente
$r\,S_n=a_1\,r+a_1\,r^2+a_1\,r^3+\ldots+a_1\,r^{n-1}+a_1\,r^{n-1}$
Restando, ahora, la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, sacando factor común de $S_n$, y despejando $S_n$, obtenemos
$$S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$$

(3) Justificación de la expresión del producto de los $n$ primeros términos de una s. geométrica.
El producto de los $n$ primeros términos de la sucesión es
$P_n=a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n$
Tengamos en cuenta, ahora, la siguiente propiedad de las progresiones geométricas:
$a_1 \cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=a_3\cdot a_{n-2}=\ldots=\text{constante}$
luego
$P_n=\big(a_1\cdot a_n\big)^{\frac{n}{2}}=\big((a_1\cdot a_n^{n} \big)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{(a_1\cdot a_n)^{n}}$

[nota del autor]