Un ejercicio relacionado con las mezclas y las proporciones

Consideremos dos depósitos, uno junto al otro, el de la derecha contiene inicialmente solamente agua ($a$ unidades de volumen) y el de la izquierda contine inicialmente solamente vino ($v$ unidades de volumen). Mediante un cazo, en el que caben $c$ unidades de volumen, se trasvasa (llenándolo) el agua que cabe en él al depósito de la izquierda. A continuación, y despues de remover bien el contenido del depósito de la izquierda, se vuelve a llenar el cazo de la mezcla, para trasvasar el contenido del cazo al depósito de la derecha. ¿Cuáles son las proporciones de agua y, respectivamente, de vino en ambos depósitos?

Vamos a seguir con cuidado todos los pasos, anotando metódicamente el estado de cada depósito, así como el del cuenco con el que hacemos los trasvases:
Situación 1 (en el depósito de la derecha solo hay agua (un volumen a) y en el de la izquierda solo hay vino (un volumen v) - en el cuenco tiene una cierta capacidad c -. El cuenco está vacío, fuera del depósito de la derecha:
Volumen de agua en el depósito derecho: $a$
Volumen de vino en el depósito derecho: $0$
Proporción de agua en el depósito derecho: $1$
Proporción de vino en el depósito derecho: $0$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $0$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v$
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $0$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $1$

===
Situación 2 (se sumerge el cuenco vacío en el d. der. y se saca, lleno, del mismo)
Volumen de agua en el depósito derecho: $a-c$
Volumen de vino en el depósito derecho: $0$
Proporción de agua en el depósito derecho: $1$
Proporción de vino en el depósito derecho: $0$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $0$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v$
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $0$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $1$

===
Situación 3 (se vierte el contenido del cuenco en el d. izq. y se saca el cuenco vacío)
Volumen de agua en el depósito derecho: $a-c$
Volumen de vino en el depósito derecho: $0$
Proporción de agua en el depósito derecho: $1$
Proporción de vino en el depósito derecho: $0$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $c$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v$
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $\dfrac{c}{c+v}$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $\dfrac{v}{c+v}$

===
Situación 4 (se sumerge el cuenco vacío en el depósito de la izquierda, se remueve bien éste, y se saca el cuenco lleno)
--
Volumen de agua en el cuenco: $c\cdot \dfrac{c}{c+v}=\dfrac{c^2}{c+v}$
Volumen de vino en el cuenco: $c\cdot \dfrac{v}{c+v}=\dfrac{c\,v}{c+v}$
Proporción de agua en el cuenco: $\dfrac{c}{c+v}$
Proporción de vino en el cuenco: $\dfrac{v}{c+v}$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $c-c\cdot \dfrac{c}{c+v}=\dfrac{cv}{c+v}$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v-c\cdot \dfrac{v}{c+v}=\dfrac{v^2}{c+v}$
--
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $\dfrac{cv/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{cv}{v^2+cv}=\dfrac{v}{v+c} \quad (1)$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $\dfrac{v^2\,/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{v^2}{v^2+cv}=\dfrac{c}{v+c} \quad (2)$

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Situación 5 - final - (se vierte el cuenco lleno en el depósito de la derecha)
Volumen de agua en el depósito derecho: $c-\dfrac{c^2}{c+v}=\dfrac{cv}{c+v}$
Volumen de vino en el depósito derecho: $v-\dfrac{c\,v}{c+v}=\dfrac{v^2}{c+v}$
Proporción de agua en el depósito derecho: $\dfrac{cv/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{cv}{v^2+cv}=\dfrac{c}{v+c} \quad (1')$
Proporción de vino en el depósito derecho: $\dfrac{v^2\,/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{v^2}{v^2+cv}=\dfrac{v}{v+c} \quad (2')$

Conclusión:

De (1) y (2'), vemos que la proporción de agua en el depósito de la izquierda es igual a la proporción de vino en el depósito de la derecha; y, de (2) y (1'), es claro que la proporción de vino en el depósito de la izquierda es igual a la proporción de agua en el depósito de la derecha. $\diamond$

Acerca de la operación raíz cuadrada

Habitualmente, se define la raíz cuadrada de un número real no negativo como el número real no negativo que elevado al cuadrado es igual al argumento de la raíz cuadrada. Podemos comprobar que al teclear en la calculadora la raíz cuadrada de cuatro, el resultado es $2$; sin embargo, podemos también definir la raíz cuadrado (de un número real no negativo) de otras dos maneras (no al uso) que son sin embargo consistentes con la interpretación funcional de función recíproca y con la fórmula de las soluciones de una ecuación cuadrática completa (ecuación algebraica de segundo grado). En este artículo, intento convencer de ello.

1. Definición al uso: la raíz cuadrada como función definida entre el conjunto de los números reales no negativos y este mismo conjunto

La operación raíz cuadrada, entendida de esta manera, obedece a esta función: $\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^- \overset{\sqrt{.}}{\rightarrow} \mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^{-};x \mapsto \sqrt{x}\in \mathbb{R}^{+}\cup \{0\}$

Esta definición de raíz cuadrada es la más habitual; no es otra que la que se implementa en las calculadoras.

No tiene sentido asignar valores negativos al resultado de una raíz cuadrada. Esto es así, porqué, entendiendo la raíz cuadrada como la función recíproca, $f^{-1}$,de la función $f:\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^{-} \rightarrow \mathbb{R}; x\mapsto x^2$. Así, por ejemplo, $\sqrt{4}=2$, habida cuenta de que $2^2=4$

Ahora bien, a la hora de calcular las raíces de una función cuadrática (resolviendo la ecuación cuadrática que se obtiene al igual a cero los valores de función) aparecen dos valores, iguales y de signo opuesto; por ejemplo, es bien sabido que las raíces de la función $g(x)=x^2-4$ son dos, $-2$ y $2$, y, en el proceso de resolución de la ecuación interviene la operación raíz cuadrada (tal como acabamos de definir: como la función recíproca de la función $x^2$. Esto puede parecer contradictorio con lo que se acaba de decir arriba, con la propia definición de la raíz cuadrada. En realidad, no es así: a partir de $x^2-4=0$ (ecuación a resolver para encontrar las raíces de $g(x)$, se sigue que $x^2=4$, y, aplicando la operación raíz cuadrada (tal cual ha sido definida aquí) al objeto de desprendernos de la potencia al cuadrado, podemos escribir que $\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$; esto es, $\sqrt{x^2}=2$. Y aquí es donde aparece la sutileza que incide en la aparición de los dos valores que forman parte de la solución, $-2$ y $2$ (no sólo el $2$): démonos cuenta de que $\sqrt{x^2}=\left\{\begin{matrix} x & \text{si} & x \ge 0 \\\text{o bien}\\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.$, que, por cierto, es la definición de valor absoluto de un número real: $$|x|:=\left\{\begin{matrix} x & \text{si} & x \ge 0 \\\text{o bien}\\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.=\sqrt{x^2}$$

Bien pues, nuestra ecuación puede reescribirse de la forma $2=\left\{\begin{matrix} x & \text{si} & x \ge 0 \\\text{o bien}\\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.$, que podemos escribir de manera más compacta como $x=\pm2$ (de ahí, los dos valores iguales pero de signo opuesto) que esperamos encontrar como raíces de la función cuadrática del ejemplo.

Como es bien sabido, en la fórmula que se aplica para resolver una ecuación cuadrática completa, $ax^2+bx+c=0$ (siendo $a,b$ y $c$, números reales) en el conjunto de los números reales, y que es $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, aparece el signo $+$ y el signo $-$, siendo ello compatible con esta definición de la raíz cuadrada. Al escribir ambos símbolos delante de la raíz cuadrada, que, según esta definición, es siempre positiva, nos podemos quedar un poco perplejos, pues parece esto una contradicción. Una vez más, como en el caso sencillo comentado, no incurrimos en ninguna contradicción. Recordemos, para cercioranos de ello, el breve proceso de transformaciones algebraicas que conducen a dicho resultado:

Dividiendo, miembro a miembro, $ax^2+bx+c=0$ entre $a$, podemos escribr la ecuación equivalente $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$. Entonces, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+c=0$, esto es, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-c$, que es lo mismo que $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{(2a)^2}$. Aplicando ahora la raíz cuadrada (según la definición de la que estamos hablando) a ambos miembros, conseguiremos deshacernos del cuadrado del primer miembro (que involucra la incógnita): $\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, luego, por lo dicho antes, se llega a $\left\{ \begin{matrix} x+\dfrac{b}{2a} & \text{si} & x+\dfrac{b}{2a} \ge 0 \\ \text{o bien} \\ -\left(x+\dfrac{b}{2a}\right) & \text{si} & x+\dfrac{b}{2a} \lt 0 \end{matrix}\right.=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, que es lo mismo que escribir: $x+\dfrac{b}{2a}=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, y por tanto, $x=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

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Otra manera de justificar el resultado del párrafo anterior es la siguiente: podemos escribir de manera equivalente la ecuación $ax^2+bx+c=0$ de la forma $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$ (dividiendo ambos miembros por el coeficiente $a$ del término de grado dos), y, por consiguiente, también llegamos a $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}=0$. De ahí, $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left( \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \right)^2=0$; ahora bien, por la identidad algebraica sobre la diferencia de los cuadrados, podemos expresar la última igualdad de la forma $$\left(x+\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \,\right)\,\left(x+\dfrac{b}{2a} - \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \,\right)=0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \Leftrightarrow \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \\ x+\dfrac{b}{2a}- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}= \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \end{matrix}\right.$$ Es decir, $$x=-\dfrac{b}{2a}\pm \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{ \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{ \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2}}= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

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2. La raíz cuadrada como función definida entre el conjunto de los números reales no negativos y el conjunto de los números reales no positivos

La operación raíz cuadrada, entendida de esta manera, obedece a esta función: $\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^- \overset{\sqrt{.}}{\rightarrow} \mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^{+};x \mapsto \sqrt{x}\in \mathbb{R}^{-}\cup \{0\}$

Esta definición de raíz cuadradano no es, desde luego, la habitual, pero es interesante que nos fijemos en el ella, como un buen ejercicio de reflexión y comprensión de los conceptos.

Ahora, a diferencia del caso anterior (que es la definición al uso), no tiene sentido asignar valores positivos al resultado de una raíz cuadrada, sino valores negativos (o, también el cero, por supuesto). Esto es así, porqué, entendemos (como en el caso anterior) la raíz cuadrada como la función recíproca, $f^{-1}$,de la función $f:\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^{-} \rightarrow \mathbb{R}; x\mapsto x^2$. Así, por ejemplo, ahora, $\sqrt{4}=-2$, habida cuenta de que $(-2)^2=4$.

A la hora de calcular las raíces de una función cuadrática (resolviendo la ecuación cuadrática que se obtiene al igual a cero los valores de función) aparecen dos valores, iguales y de signo opuesto; por ejemplo, es bien sabido que las raíces de la función $g(x)=x^2-4$ son dos, $-2$ y $2$, y, en el proceso de resolución de la ecuación interviene la operación raíz cuadrada (tal como acabamos de definir: como la función recíproca de la función $x^2$. Esto puede parecer contradictorio con lo que se acaba de decir arriba, con la propia definición de la raíz cuadrada. En realidad, no es así: a partir de $x^2-4=0$ (ecuación a resolver para encontrar las raíces de $g(x)$, se sigue que $x^2=4$, y, aplicando la operación raíz cuadrada (tal cual ha sido definida aquí) al objeto de desprendernos de la potencia al cuadrado, podemos escribir que $\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$; esto es, $\sqrt{x^2}=-2$. Y aquí, como antes, es donde aparece la sutileza que incide en la aparición de los dos valores que forman parte de la solución, $-2$ y $2$ (no sólo el $-2$): démonos cuenta de que $\sqrt{x^2}=\left\{\begin{matrix} x & \text{si} & x \ge 0 \\\text{o bien}\\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.$. Por consiguiente, ahora, $-2=\left\{\begin{matrix} x & \text{si} & x \ge 0 \\\text{o bien}\\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.$, que podemos escribir de manera más compacta como $x=\mp2=\pm2$ (de ahí, los dos valores iguales pero de signo opuesto) que esperamos encontrar como raíces de la función cuadrática del ejemplo, que, como vemos, son los mismos que si utilizamos la definición al uso de la raíz cuadrada.

Veamos ahora como también así (con esta definición no al uso de la raíz cuadrada) se obtiene igualmente la fórmula que se aplica para resolver una ecuación cuadrática completa, $ax^2+bx+c=0$ (siendo $a,b$ y $c$, números reales) en el conjunto de los números reales, y que es $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, aparece el signo $+$ y el signo $-$ (no únicamente el negativo). Al escribir ambos símbolos delante de la raíz cuadrada, que, según esta concepción de la raíz cuadrada, es siempre negativa, nos provocará sin duda una cierta sorpresa, pues, como en el primer caso, nos parece esto una contradicción. Una vez más, vemos que no incurrimos en ninguna contradicción. Repasemos el proceso de transformaciones algebraicas que conducen a dicho resultado (la fórmula de las soluciones de la ecuación cuadrática):

Dividiendo, miembro a miembro, $ax^2+bx+c=0$ entre $a$, podemos escribr la ecuación equivalente $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$. Entonces, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+c=0$, esto es, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-c$, que es lo mismo que $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{(2a)^2}$. Aplicando ahora la raíz cuadrada (según la definición de la que estamos hablando) a ambos miembros, conseguiremos deshacernos del cuadrado del primer miembro (que involucra la incógnita): $\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=-\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, luego, por lo dicho antes, se llega a $\left\{ \begin{matrix} x+\dfrac{b}{2a} & \text{si} & x+\dfrac{b}{2a} \ge 0 \\ \text{o bien} \\ -\left(x+\dfrac{b}{2a}\right) & \text{si} & x+\dfrac{b}{2a} \lt 0 \end{matrix}\right.=-\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, que es lo mismo que escribir: $x+\dfrac{b}{2a}=\pm \left(-\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)$, y por tanto, $x=\dfrac{-b\pm (-\sqrt{b^2-4ac}) }{2a}=\dfrac{-b\mp \sqrt{b^2-4ac} }{2a}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

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3. La raíz cuadrada como una correspondencia bivaluada entre el conjunto de los números reales no negativos y el conjunto de los números reales

También podemos entender la raíz cuadrada como la correspondencia, no como una función en sentido estricto (si acaso como una «función» bivaluada), $\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}^- \overset{\sqrt{.}}{\rightarrow} \mathbb{R};x \mapsto \sqrt{x}\in \mathbb{R}$

Así, por ejemplo, $\sqrt{4}=\left\{\begin{matrix}2 \\ -2\end{matrix}\right.$; y, a pesar de que no tiene sentido aquí hablar de funciones recíprocas (la raíz cuadrada así concebida no es ni siquiera una función), sí que podemos pensar que ésta da como resultado los dos números reales (de signo opuesto) tales que al ser elevados al cuadrado se obtiene el argumento de la raíz cuadrada así entendida: esto es, $2^2=(-2)^2=4$. Con lo cual, bien podríamos decir que, en el ejemplo escogido, $\sqrt{2}=\left\{ \begin{matrix} |\sqrt{4}|=2 \\ \text{y} \\ -|\sqrt{4}|=-2\end{matrix}\right.$, ya que, de acuerdo con esta definición de raíz cuadrada, ambos valores, $2$ y $-2$, responden a la pregunta «qué números reales cumplen el que al ser elevados al cuadrado se obtenga el número $4$», que no son otros que $-2$ y $2$, ya que $2^2=4$ y $(-2)^2=4$.

Veamos ahora, y de acuerdo con esta otra manera de entender la raíz cuadrada, cómo escribiríamos la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática completa $ax^2+bx+c=0$:

Dividiendo, miembro a miembro, $ax^2+bx+c=0$ entre $a$ (como hacíamos en el apartado anterior), podemos escribr la ecuación equivalente $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$. Entonces, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+c=0$, esto es, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-c$, que es lo mismo que $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{(2a)^2}$. Aplicando ahora la raíz cuadrada (según esta otra definición) a ambos miembros: $\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=\pm \dfrac{\left| \sqrt{b^2-4ac} \right|}{2a} $, luego $x+\dfrac{b}{2a}=\pm \dfrac{\left| \sqrt{b^2-4ac} \right|}{2a} $ y por tanto $x=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\left| \sqrt{b^2-4ac} \right|}{2a} $, esto es, $x=\dfrac{-b \pm \left| \sqrt{b^2-4ac} \right|}{2a} $

$\diamond$

Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales

Hoy os voy a mostrar cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones algebraicas no lineal como el siguiente: $$\left\{\begin{matrix}x^2-y=2 \\ x+y^2=2 \end{matrix}\right.$$

Empecemos etiquetando las ecuaciones para ir avanzando con orden y claridad:
  $\left\{\begin{matrix}x^2-y=2 \quad (1)\\ x+y^2=2 \quad (2)\end{matrix}\right.$
Restando miembro a miembro (2) de (1):
    $x^2-y-x-y^2=0$
      $x^2-y^2-x-y=0$
        $x^2-y^2-(x+y)=0$
        $(x+y)(x-y)-(x+y)=0$
          $(x+y)\left((x-y)-1\right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=0 \Leftrightarrow x=-y \quad (3) \\ x-y-1=0 \Leftrightarrow x=y+1 \quad (4)\end{matrix}\right.$
De (3) y (1):
    $(-y)^2-y=2$
      $y^2-y-2=0$
        $y=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-2)\cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \overset{(3)}{\Rightarrow}x=-2 \\-1 \overset{(3)}{\Rightarrow}x=1\end{matrix}\right. \quad (5)$
De (4) y (1):
    $y+1+y^2=2$
      $y^2+y-1=0$
        $y=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+ \sqrt{5}}{2} \overset{(4)}{\Rightarrow}x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \dfrac{-1- \sqrt{5}}{2} \overset{(4)}{\Rightarrow}x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right. \quad (6)$
Reuniendo lo obtenido en (5) y (6) ya podemos escribir la solución: $$\displaystyle (x,y)=\left\{ (-2,2), (1,-1), (\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}) , (\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}) \right\}$$ $\diamond$

Un ejercicio de resolución de una ecuación en la que aparecen términos irracionales (con radicales)

Nos proponemos resolver la ecuación $$\sqrt{x^2-1}+x^2=1$$ y comprobar cada uno de los valores que, una vez transformada en una ecuación polinómica, encontremos; para descartar aquellos que no verifiquen la igualdad numérica dada por la ecuación.

  $\sqrt{x^2-1}+x^2=1$
    $\sqrt{x^2-1}=1-x^2$
      $\sqrt{x^2-1}=-(x^2-1)$
        $(\sqrt{x^2-1})^2=(-(x^2-1))^2$
          $x^2-1=(x^2-1)^2$
            $(x^2-1)^2-(x^2-1)=0$
              $(x^2-1)\left((x^2-1)-1\right)=0$
                $(x^2-1)(x^2-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm1 \\ x^2-2=0 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.$

Comprobemos ahora cada uno de estos valores obtenidos para ver si son o no solución de la ecuación original:

• Veamos si $1$ forma parte de la solución: $\sqrt{1^2-1}+1^2\overset{?}{=}1$; en efecto, el resultado del cálculo de la expresión numérica del primer miembro es igual a $1$, que coincide con el valor del segundo miembro.
• ¿Y $-1$, es satisface también la igualdad?: $\sqrt{(-1)^2-1}+(-1)^2\overset{?}{=}1$; en efecto, también este valor forma parte de la solución, ya que el resultado del cálculo de la expresión numérica del primer miembro es igual a $1$, que coincide con el valor del segundo miembro.
• Cotejemos ahora si $\sqrt{2}$: $\sqrt{(\sqrt{2}^2-1}+\sqrt{2}^2\overset{?}{=}1$; pues, no, el primer miembro es igual a $3 \neq 1$, luego $\sqrt{2}$, no forma parte de la solución.
• En cuanto a $-\sqrt{2}$: $\sqrt{(-\sqrt{2}^2-1}+(-\sqrt{2}^2)\overset{?}{=}1$; tampoco, para este valor, el primer miembro, que es igual a $2$, no coincide con el valor del segundo miembro (que es $1$), luego $-\sqrt{2}$ tampoco forma parte de la solución.

En conclusión, la solución de la ecuación planteada está formada por $-1$ y $1$. $\diamond$

Otro sistema de ecuaciones no lineales de fácil resolución

Este otro ejercicio, similar al anterior (sistema de ecuaciones no lineales) por sus características, también es fácil de resolver (utilizando la misma técnica empleada); sin embargo, como veremos enseguida, hay más soluciones además de la trivial ($x=y=z=0$): $$\left.\begin{matrix}x+y=xyz \quad (1)\\y+z=xyz \quad (2)\\x+z=xyz \quad (3)\end{matrix}\right\}$$

Restando miembro a miembro la igualdad $(2)$ de la igualdad $(1)$ obtenemos $x-z=0 \Leftrightarrow x=z \quad (4)$ y restando miembro a miembro $(3)$ de $(2)$, $y-x=0 \Leftrightarrow x=y \quad (5) \overset{(4,5)}{\Rightarrow} x=y=z \quad (6) $. Entoces, teniendo en cuenta $(6)$, la ecuación $(1)$ se escribe ahora como $x+x=xxx$, esto es $$2x=x^3 \Leftrightarrow x^3-2x=0 \Leftrightarrow x(x^2-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\ x^2-2=0 \Leftrightarrow x^2=2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$

Encontramos pues tres soluciones: $\{x_1=y_1=z_1=0\,,\, x_2=y_2=z_2=\sqrt{2}\,,\, x_3=y_3=z_3=-\sqrt{2}\}$, que podemos comprobar fácilmente sustituyendo en las ecuaciones originales. $\diamond$

Un sistema de ecuaciones no lineales que sin embargo es fácil de resolver

Os presento un interesante ejercicio que consiste en resolver un sistema de ecuaciones que, a pesar de ser un sistema de e. no lineales, su resolución es sencilla, dadas sus especiales características: $$\left.\begin{matrix}x-y=xyz \quad (1)\\y-z=xyz \quad (2)\\x-z=xyz \quad (3)\end{matrix}\right\}$$

Veamos cómo resolverlo. Restando miembro a miembro la igualdad $(2)$ de la igualdad $(1)$ obtenemos $x+z=0 \Leftrightarrow z=-x \quad (4)$ y restando miembro a miembro $(3)$ de $(2)$, $y-x=0 \Leftrightarrow x=y \overset{(1)}{\Rightarrow} xyz=0 \overset{(2)}{\Rightarrow} y=z \quad (5)$. Por otra parte, de $(3)$ y $(4)$, y teniendo en cuenta que $xyz=0$, se llega a $2x=0 \Leftrightarrow x=0$. En consecuencia, $x=y=z=0$, que, desde luego, es una solución trivial (se ve a simple vista antes de hacer nada más); sin embargo, no hay más soluciones que ésa. $\diamond$

Una aplicación de la trigonometría elemental en un día lluvioso

En un día de lluvia, navegando en un pequeño velero, se registraron $5$ milímetros (de columna de agua) por metro cuadrado en $24$ horas (según la estimación de la previsión meteorológica). En ese periodo de tiempo, el navegante extendió un toldo de forma rectangular, de $2 \times 3 \,\text{m}^2$ en la cubierta de la embarcación, inclinándola en un ángulo de $30^\circ$ con respecto al plano de la cubierta, al objeto de poder recoger agua de la lluvia y, canalizándola mediante un embudo, poder almacenarla en un depósito de plástico.

Según estas informaciones, ¿qué cantidad de agua consiguió recoger?

Démonos cuenta de que $5$ milímetros (de altura de columna de agua) por metro cuadrado en $24$ horas significa que la cantidad estimada de lluvia que cayo en ese intervalo de tiempo fue de $5 \,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}$, ya que basta con que imaginemos un prisma recto cuya base es perpendicular a la dirección de caída de la lluvia, de sección cuadrada, cuya área sea de $1\,\text{m}^2$ con una altura de $5\,\text{mm} = 0,005\,\text{m}$, con lo cual el volumen de dicho prisma es de $0,005\,\text{m}^3=5\,\text{dm}^3$, y por tanto, como un volumen de $1\,\text{dm}^3$ de agua supone $1\,\text{L}$ en unidades de capacidad, la cantidad de agua de lluvia que llenó dicho prisma imaginario durante esas $24$ horas fue de $5\,\text{L}$.

Ahora bien, tengamos en cuenta que la orientación del toldo no era perpendicular a la dirección de caída de la lluvia, pues, como se indica en los datos, éste estaba inclinado un ángulo de $30^\circ$ con respecto al plano de la cubierta. De no estar el toldo inclinado, sino puesto horizontalmente sobre la cubierta, se hubiese recogido la máxima cantidad de agua: $Q_{\text{máx}}=(3\cdot 2)\,\text{m}^2\, \cdot 5\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}=30\,\text{L}$. Sin embargo, para conducir el agua que caía sobre el toldo era necesario darle pequeño ángulo de inclinación como el que el navegante le dió, por lo que la cantidad de recogida realmente fue menor que esos treinta litros.

Por otra parte, notemos que, de haber puesto el toldo perpendicular a la cubierta (paralelo a la dirección de caída de la lluvia), la cantidad de agua recogida hubiese sido nula, luego es claro que la cantidad de agua recogida hay que calcularla en función del ángulo $\alpha$ de inclinación del toldo, multiplicando la cantidad máxima calculada arriba, $Q_{\text{máx}}$, por el coseno de dicho ángulo; en efecto, si $\alpha=0^{\circ}$, se tiene que la cantidad pedida es $30 \cdot \cos(0) = 30\cdot 0 = 0\,\text{L}$, y si $\alpha=90^{\circ}$, la cantidad que recogeríamos sería de $30 \cdot \cos(90) = 30\cdot 1 = 30\,\text{L}$, que es igual, claro ésta, a dicha cantidad máxima.

Por consiguiente, la cantidad de agua de lluvia recogida para cualquier valor del ángulo $\alpha$, intermedio mayor que $0^{\circ}$ y menor que $90^\circ$, la cantidad recogida será igual a $Q=Q_{\text{máx}}\cdot \cos\,\alpha$. Por tanto, en el caso pedido, la cantidad de agua que el navegante recogió fue $Q=30\cdot \cos\,30^\circ \approx 26\,\text{L}$. $\diamond$

Proporcionalidad compuesta en las que aparece un número arbitrario de magnitudes

Consideremos la intervención de más de dos magnitudes proporcionales en un cierto problema; pongamos que las magnitudes $X,Y,Z$ y $T$. En este artículo me propongo deducir las fórmulas de proporcionalidad que deben aplicarse, una vez identificados los tipos de proporcionalidad, directa o bien inversa: entre $X$ y $T$; $Y$ y $T$, y $Z$ y $T$, respectivamente, donde, sin pérdida de generalidad, la incógnita, $t_{xyz}$, se asocia a la magnitud $T$ (en la notación que uso, su subíndice, $xyz$, indica que hay que tener en cuenta las relaciones de $T$ con las otras tres magnitudes, $X,Y$ y $Z$ indicadas. Los datos de los que partiremos son dos valores dados para cada una de las magnitudes: para $X$, ($x_1$ y $x_2$); para $Y$, ($y_1$ e $y_2$); para $Z$, ($z_1$ y $z_2$), y, además, de un sétimo dato para la magnitud $Z$, ($z_1$), tal y como se muestra esquemáticamente en la siguiente tabla:

X      Y      Z      T
---   ---    ---    --- 
x_1   y_1    z_1    t_1
x_2   y_2    z_2  ¿t_xyz?

Estudiando unos cuantos casos, según sean las relaciones de proporcionalidad entre las magnitudes/variables parciales ($X$ con $T$, $Y$ con $T$ y $Z$ con $T$) o bien directas ó inversas, veréis que, fácilmente, se pueden generalizar los resultados que iremos viendo a cualquier número de las mismas. Al final del artículo os he puesto un ejemplo típico que os ayudará a clarificarlo todo.

Examinemos —para ir investigando— un problema con (pongamos que) esas cuatro variables que mencionaba arriba, teniendo en cuenta algunas de las relaciones de proporcionalidad que pueden darse y asumiendo que nuestra incógnita esté, por ejemplo, en la magnitud $T$; así se dan relaciones entre $X$ y $T$, $Y$ y $T$, y $Z$ y $T$. Veamos algunas de ellas:

(1) $X \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow T}$, $Y \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow T}$ y $Z \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow T}$. Empezando por cualquiera de las tres relaciones de proporcionalidad (el orden es indistinto), y encadenando los tres pasos sucesivos de proporcionalidad que aparecen y que ligan la magnitud $T$ (en la que tenemos la incógnita, además de un valor dado como dato) con las otras tres (con sus respectivos datos), tendremos:

1.i) Planteemos la proporcionalidad simple entre $X$ y $T$, a sabiendas de que el resultado (parcial), $t_{yz}$, dependerá de $Y$ y de $Z$:

X          T
---       ---
x_1       t_1
x_2     ¿t_yz?

donde $t_{yz}$ habrá de cumplir que $\dfrac{t_1}{x_1}=\dfrac{t_{yz}}{x_2}$, con lo cual $t_{yz}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

1.ii) Una vez hemos determinado $t_{yz}$, podemos plantear la proporcionalidad simple entre $Y$ y $T$ (a sabiendas que el resultado parcial, $t_{xz}$, dependerá de $X$ y $Z$):

Y          T
---       ---
y_1       t_yz
y_2      ¿t_xz?

donde $t_{xz}$ tendrá que cumplir $\dfrac{t_{yz}}{y_1}=\dfrac{t_{xz}}{y_2}$, con lo cual $t_{xz}=\dfrac{y_2}{y_1}\cdot t_{yz}=\dfrac{y_2}{y_1}\cdot \dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

1.iii) Y, finalmente, habiendo determinado $t_{xz}$, podremos calcular el valor de $t$ desado, al que he denominado $t_{xyz}$, planteando la siguiente proporcionalidad simple:

Z          T
---       ---
z_1       t_xz
z_2      ¿t_xyz?

donde $\dfrac{t_{xyz}}{z_2}=\dfrac{t_{xz}}{z_1}$, y por tanto $t_{xyz}=\dfrac{z_2}{z_1}\cdot t_{xz}=\dfrac{z_2}{z_1}\cdot \dfrac{y_2}{y_1}\cdot \dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

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(2) $X \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow T}$, $Y \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow T}$ y $Z \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow T}$. Empezando indistintamente por cualquiera de las tres relaciones de proporcionalidad, y encadenando los tres pasos sucesivos de proporcionalidad que aparecen y que ligan la magnitud $T$ (en la que tenemos la incógnita, además de un valor dado como dato) con las otras tres (con sus respectivos datos), tendremos:

1.i) Planteemos la proporcionalidad simple entre $X$ y $T$, a sabiendas de que el resultado (parcial), $t_{yz}$, dependerá de $Y$ y de $Z$:

X          T
---       ---
x_1       t_1
x_2     ¿t_yz?

donde $t_{yz}$ habrá de cumplir que $t_1 \cdot x_1 =t_{yz} \cdot x_2$, con lo cual $t_{yz}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot t_1$

1.ii) Una vez hemos determinado $t_{yz}$, podemos plantear la proporcionalidad simple entre $Y$ y $T$ (a sabiendas que el resultado parcial, $t_{xz}$, dependerá de $X$ y $Z$):

Y          T
---       ---
y_1       t_yz
y_2      ¿t_xz?

por tanto, $t_{xz} \cdot y_2 =t_{yz} \cdot y_2$, con lo cual $t_{xz}=\dfrac{y_1}{y_2}\cdot t_{yz}=\dfrac{y_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_1}{x_2}\cdot t_1$

1.iii) Y, finalmente, habiendo determinado $t_{xz}$, podremos calcular el valor de $t$ desado, al que he denominado $t_{xyz}$, planteando la siguiente proporcionalidad simple:

Z          T
---       ---
z_1       t_xz
z_2      ¿t_xyz?

con lo cual, $t_{xyz} \cdot z_2 =t_{xz} \cdot z_1$, así que $t_{xzy}=\dfrac{z_1}{z_2}\cdot t_{xz}=\dfrac{z_1}{z_2}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_1}{x_2}\cdot t_1$

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(3) $X \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow T}$, $Y \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow T}$ y $Z \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow T}$. Como en los dos casos anteriores, empezando indistintamente por cualquiera de las tres relaciones de proporcionalidad, y encadenando los tres pasos sucesivos de proporcionalidad que aparecen y que ligan la magnitud $T$ (en la que tenemos la incógnita, además de un valor dado como dato) con las otras tres (con sus respectivos datos), tendremos:

1.i) Planteemos la proporcionalidad simple directa entre $X$ y $T$, a sabiendas de que el resultado (parcial), $t_{yz}$, dependerá de $Y$ y de $Z$:

X          T
---       ---
x_1       t_1
x_2     ¿t_yz?

donde $t_{yz}$ habrá de cumplir que $\dfrac{t_1}{x_1}=\dfrac{t_{yz}}{x_2}$, con lo cual $t_{yz}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

1.ii) Una vez hemos determinado $t_{yz}$, podemos plantear la proporcionalidad simple inversa entre $Y$ y $T$ (a sabiendas que el resultado parcial, $t_{xz}$, dependerá de $X$ y $Z$):

Y          T
---       ---
y_1       t_yz
y_2      ¿t_xz?

por tanto, $t_{xz} \cdot y_2 =t_{yz} \cdot y_1$, con lo cual $t_{xz}=\dfrac{y_1}{y_2}\cdot t_{yz}=\dfrac{y_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

1.iii) Y, finalmente, habiendo determinado $t_{xz}$, podremos calcular el valor de $t$ desado, al que he denominado $t_{xyz}$, planteando la siguiente proporcionalidad simple inversa:

Z          T
---       ---
z_1       t_xz
z_2      ¿t_xyz?

por tanto, $t_{xyz} \cdot z_2 =t_{xz} \cdot z_1$, con lo cual $t_{xyz}=\dfrac{z_1}{z_2}\cdot t_{xz}=\dfrac{z_1}{z_2}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

Generalización:
Observando estos resultados, es fácil generalizar una fórmula de proporcionalidad compuesta para cualquier número de magnitudes/variables, atendiendo al tipo de relación de proporcionalidad (directa ó inversa) entre los pares de magnitudes que se forman al asociar cada una de ellas a la magnitud en la que tenemos localizada la incóngita: en las relaciones directas, las razones aritmética que, como factores, figuran en la fórmula final, se escriben de manera que el segundo dato se ubica en el numerador y el primero en el denominador si la relación simple correspondiente es directa, mientras que si la relación es inversa, el segundo se ubica en el denominador y el primero en el numerador. Así, por ejemplo, para cinco magnitudes $X,Y,Z,T$ y $U$, teniendo por tanto $9$ datos (dos para cada una de las magnitudes $X,Y,Z$ y $T$, y uno más para la magnitud $U$ (en la que localizamos la incógnita del problema),

X      Y      Z      T      U
---   ---    ---    ---    ---
x_1   y_1    z_1    t_1    u_1
x_2   y_2    z_2    t_2   ¿t_xyzt?

Así que, teniendo la incógnita en la última magnitud, $U$, se tiene que si, por ejemplo,
$X \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow U}$, $Y \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow U}$, $Z \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow U}$, y $T \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow U}$, $$t_{xyzt} = \dfrac{t_1}{t_2}\cdot \dfrac{z_2}{z_1}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_2}{x_1}\cdot u_1$$

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Ejemplo

Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$?

Resolución:
Tenemos las siguientes magnitudes $X$ (número de pintores), $Y$ (área a pintar) y $T$ (tiempo empleado en el trabajo). Es claro que $X$ e $T$ están en proporción inversa, pues cuántos más pintores menos tiempo se tardará; mientras que $Y$ y $T$ están en proporción directa, puesto que cuánta mayor superficie a pintar mayor será el tiempo necesario para hacer el trabajo. Podemos escribir por tanto la proporción compuesta de la forma: $$t_{xy}=\dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot t_1$$ y siendo los datos:
  $x_1=4$ pintores
  $x_2=3$ pintores
  $y_1=32\,\text{m}^2$
  $y_2=15\,\text{m}^2$
  $t_1=90\,\text{min}$
obtenemos $$t_{xy}=\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{15}{32} \cdot 90 = \dfrac{225}{4}\,\text{min} \approx 56\, \text{min}$$

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Otra manera de obtener los números primos mayores o iguales que $2$ y menores que $1000$. Algoritmo de Eratóstenes

Obtención de los números primos mayores o iguales que $2$ y menores que $1000$ implementado el algoritmo de la criba de Eratóstenes, escribiendo el programa correspondiente en lenguaje Python

def criba_eratostenes(n):
    # Inicializar una lista de booleanos de tamaño n+1
    # donde cada elemento se considera inicialmente primo
    primes = [True] * (n + 1)
    primes[0] = primes[1] = False  # 0 y 1 no son primos

    p = 2
    while p * p <= n:
        # Si primes[p] es verdadero, entonces es primo
        if primes[p]:
            # Actualizar todos los múltiplos de p como no primos
            for i in range(p * p, n + 1, p):
                primes[i] = False
        p += 1

    # Recopilar todos los números primos en una lista
    prime_numbers = [num for num, is_prime in enumerate(primes) if is_prime]
    return prime_numbers

# Encontrar los números primos entre 2 y 1000
primes = criba_eratostenes(1000)

# Imprimir los números primos encontrados
print("Números primos entre 2 y 1000:")
print(primes)

Ponemos en marcha el programa:
Resultado:
  >>> %Run cribadeeratostenes.py
Y se obtiene el resultado: Números primos entre 2 y 1000: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997]

Sugerencias a partir del diseño y construcción de cajas de embalajes

Antes de tirar un embalaje, bien merece la pena darle una utilidad didáctica. La geometría del embalaje permite medir magnitudes de manera directa y calcular otras magnitudes indirectas (áreas laterales y área de las bases, volumen, diagonales, etcètera). El diseño del despliegue, visto desde el punto de vista inverso, incluso puede hacernos aprender cómo plegar el embalaje —en el caso de la figura, un prisma recto de base cuadrada— sin tener que utilizar adhesivos o grapas, y por tanto, prestando atención a los encajes de pestaña. Por cierto, una vez desplegado el embalaje, constituye un pequeño rompecabezas el volver a plegarla, para que las pestañas ajusten correctamente, tal como ha sido diseñada, y la caja tenga la solidez necesaria. Un problema de cálculo interesante consiste en determinar la máxima longitud de una varilla rígida que pueda colocarse dentro del embalaje plegado (de la caja), para, después, comprobarlo experimentalmente. Más adelante, en el Bachillerato, también es interesante manejar estos objetos para poder resolver problemas de optimización, fijado el valor de una cierta magnitud: capacidad del embalaje, por ejemplo.

Las figuras muestran el despliegue y plegado de un embalaje en forma de prisma recta de base rectangular (paralelepípedo recto) que guardaba en casa. Madrid, 30 de mayo de 2023

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Inteligencia Artificial con chatGTP, como ayuda para el estudio

Es necesario cambiar las estrategias de estudio, pues los ejercicios repetitivos, una vez aprendido lo esencial, ya no son necesarios; las calculadoras provistas con módulos de Álgebra Asistida por Computador (CAS), las herramientas de cálculo numérico, y, ahora ya también, la Inteligencia Artificial (AI), están aquí para ayudar a los estudiantes y a los profesores a librarlos de las tareas pesadas y aburridas, para —eso sí— dar un peso significativo y mucho más importante a la resolución de problemas que empujen a los estudiantes a pensar y a modelizar, a resolver problemas. Para ayudar a convencer de ello, os presento los resultados de una prueba que acabo de hacer consultando la AI del chatGPT, de OpenAI [https://chat.openai.com/chat]. En negrita, escribo mi consulta, y el resto de texto corresponde a las respuestas de la AI.

Hola, OpenAI. Quería pedirte que resuelvas la siguiente ecuación de segundo grado: x^2+x-3=0

Claro, para resolver la ecuación de segundo grado x^2 + x - 3 = 0, podemos usar la fórmula general:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación. En este caso, a = 1, b = 1 y c = -3.
Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos:
x = [-1 ± sqrt(1^2 - 4(1)(-3))] / 2(1)
x = [-1 ± sqrt(1 + 12)] / 2
x = [-1 ± sqrt(13)] / 2
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son:
x1 = (-1 + sqrt(13)) / 2
x2 = (-1 - sqrt(13)) / 2
Estas son las dos posibles soluciones para la ecuación dada.

Buenas noches, OpenAI. Quería pedirte ahora lo mismo que antes y que, si te es posible, escribieras las expresiones matemáticas de tu respuesta en código LaTeX, pues quisiera ponerlo en un blog, para, más adelante, poder visualizar las fórmulas.

¡Buenas noches! Claro, puedo ayudarte a resolver la ecuación de segundo grado.
Para resolver la ecuación x^2 + x - 3 = 0, utilizaremos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. En este caso, a = 1, b = 1 y c = -3. Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos:
x = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}
x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}
Por lo tanto, las soluciones para la ecuación x^2 + x - 3 = 0 son:
x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} y x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}
Las expresiones matemáticas en código LaTeX para las soluciones son:
x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}
x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}

Muchas gracias. Estoy muy contento con tu ayuda

¡De nada! Si necesitas ayuda en el futuro, no dudes en preguntar. Estoy aquí para ayudarte en lo que necesites.

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Ahora sólo me queda poner las marcas necesarios (los símbolos de dólar flanqueando cada expresión matemática), a mano, para visualizar las fórmulas en el blog: Para resolver la ecuación $x^2 + x - 3 = 0$, utilizaremos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Donde $a, b$ y $c$ son los coeficientes de la ecuación cuadrática. En este caso, $a = 1, b = 1$ y $c = -3$. Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos:
$x = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$
Por lo tanto, las soluciones para la ecuación $x^2 + x - 3 = 0$ son:
$x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$ y $x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$

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