Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales

Hoy os voy a mostrar cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones algebraicas no lineal como el siguiente:

$$\left\{\begin{matrix}x^2-y=2 \\ x+y^2=2 \end{matrix}\right.$$

Empecemos etiquetando las ecuaciones para ir avanzando con orden y claridad:
  $\left\{\begin{matrix}x^2-y=2 \quad (1)\\ x+y^2=2 \quad (2)\end{matrix}\right.$
Restando miembro a miembro (2) de (1):
    $x^2-y-x-y^2=0$
      $x^2-y^2-x-y=0$
        $x^2-y^2-(x+y)=0$
        $(x+y)(x-y)-(x+y)=0$
          $(x+y)\left((x-y)-1\right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=0 \Leftrightarrow x=-y \quad (3) \\ x-y-1=0 \Leftrightarrow x=y+1 \quad (4)\end{matrix}\right.$
De (3) y (1):
    $(-y)^2-y=2$
      $y^2-y-2=0$
        $y=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-2)\cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \overset{(3)}{\Rightarrow}x=-2 \\-1 \overset{(3)}{\Rightarrow}x=1\end{matrix}\right. \quad (5)$
De (4) y (1):
    $y+1+y^2=2$
      $y^2+y-1=0$
        $y=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+ \sqrt{5}}{2} \overset{(4)}{\Rightarrow}x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \dfrac{-1- \sqrt{5}}{2} \overset{(4)}{\Rightarrow}x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right. \quad (6)$
Reuniendo lo obtenido en (5) y (6) ya podemos escribir la solución:

$$\displaystyle (x,y)=\left\{ (-2,2), (1,-1), (\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}) , (\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}) \right\}$$ $\diamond$