Proporcionalidad compuesta en las que aparece un número arbitrario de magnitudes

Consideremos la intervención de más de dos magnitudes proporcionales en un cierto problema; pongamos que las magnitudes $X,Y,Z$ y $T$. En este artículo me propongo deducir las fórmulas de proporcionalidad que deben aplicarse, una vez identificados los tipos de proporcionalidad, directa o bien inversa: entre $X$ y $T$; $Y$ y $T$, y $Z$ y $T$, respectivamente, donde, sin pérdida de generalidad, la incógnita, $t_{xyz}$, se asocia a la magnitud $T$ (en la notación que uso, su subíndice, $xyz$, indica que hay que tener en cuenta las relaciones de $T$ con las otras tres magnitudes, $X,Y$ y $Z$ indicadas. Los datos de los que partiremos son dos valores dados para cada una de las magnitudes: para $X$, ($x_1$ y $x_2$); para $Y$, ($y_1$ e $y_2$); para $Z$, ($z_1$ y $z_2$), y, además, de un sétimo dato para la magnitud $Z$, ($z_1$), tal y como se muestra esquemáticamente en la siguiente tabla:

X      Y      Z      T
---   ---    ---    --- 
x_1   y_1    z_1    t_1
x_2   y_2    z_2  ¿t_xyz?

Estudiando unos cuantos casos, según sean las relaciones de proporcionalidad entre las magnitudes/variables parciales ($X$ con $T$, $Y$ con $T$ y $Z$ con $T$) o bien directas ó inversas, veréis que, fácilmente, se pueden generalizar los resultados que iremos viendo a cualquier número de las mismas. Al final del artículo os he puesto un ejemplo típico que os ayudará a clarificarlo todo.

Examinemos —para ir investigando— un problema con (pongamos que) esas cuatro variables que mencionaba arriba, teniendo en cuenta algunas de las relaciones de proporcionalidad que pueden darse y asumiendo que nuestra incógnita esté, por ejemplo, en la magnitud $T$; así se dan relaciones entre $X$ y $T$, $Y$ y $T$, y $Z$ y $T$. Veamos algunas de ellas:

(1) $X \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow T}$, $Y \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow T}$ y $Z \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow T}$. Empezando por cualquiera de las tres relaciones de proporcionalidad (el orden es indistinto), y encadenando los tres pasos sucesivos de proporcionalidad que aparecen y que ligan la magnitud $T$ (en la que tenemos la incógnita, además de un valor dado como dato) con las otras tres (con sus respectivos datos), tendremos:

1.i) Planteemos la proporcionalidad simple entre $X$ y $T$, a sabiendas de que el resultado (parcial), $t_{yz}$, dependerá de $Y$ y de $Z$:

X          T
---       ---
x_1       t_1
x_2     ¿t_yz?

donde $t_{yz}$ habrá de cumplir que $\dfrac{t_1}{x_1}=\dfrac{t_{yz}}{x_2}$, con lo cual $t_{yz}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

1.ii) Una vez hemos determinado $t_{yz}$, podemos plantear la proporcionalidad simple entre $Y$ y $T$ (a sabiendas que el resultado parcial, $t_{xz}$, dependerá de $X$ y $Z$):

Y          T
---       ---
y_1       t_yz
y_2      ¿t_xz?

donde $t_{xz}$ tendrá que cumplir $\dfrac{t_{yz}}{y_1}=\dfrac{t_{xz}}{y_2}$, con lo cual $t_{xz}=\dfrac{y_2}{y_1}\cdot t_{yz}=\dfrac{y_2}{y_1}\cdot \dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

1.iii) Y, finalmente, habiendo determinado $t_{xz}$, podremos calcular el valor de $t$ desado, al que he denominado $t_{xyz}$, planteando la siguiente proporcionalidad simple:

Z          T
---       ---
z_1       t_xz
z_2      ¿t_xyz?

donde $\dfrac{t_{xyz}}{z_2}=\dfrac{t_{xz}}{z_1}$, y por tanto $t_{xyz}=\dfrac{z_2}{z_1}\cdot t_{xz}=\dfrac{z_2}{z_1}\cdot \dfrac{y_2}{y_1}\cdot \dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

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(2) $X \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow T}$, $Y \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow T}$ y $Z \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow T}$. Empezando indistintamente por cualquiera de las tres relaciones de proporcionalidad, y encadenando los tres pasos sucesivos de proporcionalidad que aparecen y que ligan la magnitud $T$ (en la que tenemos la incógnita, además de un valor dado como dato) con las otras tres (con sus respectivos datos), tendremos:

1.i) Planteemos la proporcionalidad simple entre $X$ y $T$, a sabiendas de que el resultado (parcial), $t_{yz}$, dependerá de $Y$ y de $Z$:

X          T
---       ---
x_1       t_1
x_2     ¿t_yz?

donde $t_{yz}$ habrá de cumplir que $t_1 \cdot x_1 =t_{yz} \cdot x_2$, con lo cual $t_{yz}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot t_1$

1.ii) Una vez hemos determinado $t_{yz}$, podemos plantear la proporcionalidad simple entre $Y$ y $T$ (a sabiendas que el resultado parcial, $t_{xz}$, dependerá de $X$ y $Z$):

Y          T
---       ---
y_1       t_yz
y_2      ¿t_xz?

por tanto, $t_{xz} \cdot y_2 =t_{yz} \cdot y_2$, con lo cual $t_{xz}=\dfrac{y_1}{y_2}\cdot t_{yz}=\dfrac{y_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_1}{x_2}\cdot t_1$

1.iii) Y, finalmente, habiendo determinado $t_{xz}$, podremos calcular el valor de $t$ desado, al que he denominado $t_{xyz}$, planteando la siguiente proporcionalidad simple:

Z          T
---       ---
z_1       t_xz
z_2      ¿t_xyz?

con lo cual, $t_{xyz} \cdot z_2 =t_{xz} \cdot z_1$, así que $t_{xzy}=\dfrac{z_1}{z_2}\cdot t_{xz}=\dfrac{z_1}{z_2}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_1}{x_2}\cdot t_1$

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(3) $X \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow T}$, $Y \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow T}$ y $Z \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow T}$. Como en los dos casos anteriores, empezando indistintamente por cualquiera de las tres relaciones de proporcionalidad, y encadenando los tres pasos sucesivos de proporcionalidad que aparecen y que ligan la magnitud $T$ (en la que tenemos la incógnita, además de un valor dado como dato) con las otras tres (con sus respectivos datos), tendremos:

1.i) Planteemos la proporcionalidad simple directa entre $X$ y $T$, a sabiendas de que el resultado (parcial), $t_{yz}$, dependerá de $Y$ y de $Z$:

X          T
---       ---
x_1       t_1
x_2     ¿t_yz?

donde $t_{yz}$ habrá de cumplir que $\dfrac{t_1}{x_1}=\dfrac{t_{yz}}{x_2}$, con lo cual $t_{yz}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

1.ii) Una vez hemos determinado $t_{yz}$, podemos plantear la proporcionalidad simple inversa entre $Y$ y $T$ (a sabiendas que el resultado parcial, $t_{xz}$, dependerá de $X$ y $Z$):

Y          T
---       ---
y_1       t_yz
y_2      ¿t_xz?

por tanto, $t_{xz} \cdot y_2 =t_{yz} \cdot y_1$, con lo cual $t_{xz}=\dfrac{y_1}{y_2}\cdot t_{yz}=\dfrac{y_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

1.iii) Y, finalmente, habiendo determinado $t_{xz}$, podremos calcular el valor de $t$ desado, al que he denominado $t_{xyz}$, planteando la siguiente proporcionalidad simple inversa:

Z          T
---       ---
z_1       t_xz
z_2      ¿t_xyz?

por tanto, $t_{xyz} \cdot z_2 =t_{xz} \cdot z_1$, con lo cual $t_{xyz}=\dfrac{z_1}{z_2}\cdot t_{xz}=\dfrac{z_1}{z_2}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_2}{x_1}\cdot t_1$

Generalización:
Observando estos resultados, es fácil generalizar una fórmula de proporcionalidad compuesta para cualquier número de magnitudes/variables, atendiendo al tipo de relación de proporcionalidad (directa ó inversa) entre los pares de magnitudes que se forman al asociar cada una de ellas a la magnitud en la que tenemos localizada la incóngita: en las relaciones directas, las razones aritmética que, como factores, figuran en la fórmula final, se escriben de manera que el segundo dato se ubica en el numerador y el primero en el denominador si la relación simple correspondiente es directa, mientras que si la relación es inversa, el segundo se ubica en el denominador y el primero en el numerador. Así, por ejemplo, para cinco magnitudes $X,Y,Z,T$ y $U$, teniendo por tanto $9$ datos (dos para cada una de las magnitudes $X,Y,Z$ y $T$, y uno más para la magnitud $U$ (en la que localizamos la incógnita del problema),

X      Y      Z      T      U
---   ---    ---    ---    ---
x_1   y_1    z_1    t_1    u_1
x_2   y_2    z_2    t_2   ¿t_xyzt?

Así que, teniendo la incógnita en la última magnitud, $U$, se tiene que si, por ejemplo,
$X \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow U}$, $Y \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow U}$, $Z \underset{\text{p. directa}}{\longrightarrow U}$, y $T \underset{\text{p. inversa}}{\longrightarrow U}$, $$t_{xyzt} = \dfrac{t_1}{t_2}\cdot \dfrac{z_2}{z_1}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_2}{x_1}\cdot u_1$$

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Ejemplo

Cuatro pintores igualmente hábiles, trabajando todos a la vez y sin entorpecerse unos a otros, pintan un muro de $32\,\text{m}^2$ en $90$ minutos. ¿Cuánto tardarían tres de los pintores en pintar un muro de $15 \, \text{m}^2$?

Resolución:
Tenemos las siguientes magnitudes $X$ (número de pintores), $Y$ (área a pintar) y $T$ (tiempo empleado en el trabajo). Es claro que $X$ e $T$ están en proporción inversa, pues cuántos más pintores menos tiempo se tardará; mientras que $Y$ y $T$ están en proporción directa, puesto que cuánta mayor superficie a pintar mayor será el tiempo necesario para hacer el trabajo. Podemos escribir por tanto la proporción compuesta de la forma: $$t_{xy}=\dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot t_1$$ y siendo los datos:
  $x_1=4$ pintores
  $x_2=3$ pintores
  $y_1=32\,\text{m}^2$
  $y_2=15\,\text{m}^2$
  $t_1=90\,\text{min}$
obtenemos $$t_{xy}=\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{15}{32} \cdot 90 = \dfrac{225}{4}\,\text{min} \approx 56\, \text{min}$$

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