Otro sistema de ecuaciones no lineales de fácil resolución

Este otro ejercicio, similar al anterior (sistema de ecuaciones no lineales) por sus características, también es fácil de resolver (utilizando la misma técnica empleada); sin embargo, como veremos enseguida, hay más soluciones además de la trivial ($x=y=z=0$): $$\left.\begin{matrix}x+y=xyz \quad (1)\\y+z=xyz \quad (2)\\x+z=xyz \quad (3)\end{matrix}\right\}$$

Restando miembro a miembro la igualdad $(2)$ de la igualdad $(1)$ obtenemos $x-z=0 \Leftrightarrow x=z \quad (4)$ y restando miembro a miembro $(3)$ de $(2)$, $y-x=0 \Leftrightarrow x=y \quad (5) \overset{(4,5)}{\Rightarrow} x=y=z \quad (6)$. Entoces, teniendo en cuenta $(6)$, la ecuación $(1)$ se escribe ahora como $x+x=xxx$, esto es $$2x=x^3 \Leftrightarrow x^3-2x=0 \Leftrightarrow x(x^2-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\ x^2-2=0 \Leftrightarrow x^2=2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$

Encontramos pues tres soluciones: $\{x_1=y_1=z_1=0\,,\, x_2=y_2=z_2=\sqrt{2}\,,\, x_3=y_3=z_3=-\sqrt{2}\}$, que podemos comprobar fácilmente sustituyendo en las ecuaciones originales. $\diamond$