Un ejercicio de resolución de una ecuación en la que aparecen términos irracionales (con radicales)

Nos proponemos resolver la ecuación

$$\sqrt{x^2-1}+x^2=1$$ y comprobar cada uno de los valores que, una vez transformada en una ecuación polinómica, encontremos; para descartar aquellos que no verifiquen la igualdad numérica dada por la ecuación.

  $\sqrt{x^2-1}+x^2=1$
    $\sqrt{x^2-1}=1-x^2$
      $\sqrt{x^2-1}=-(x^2-1)$
        $(\sqrt{x^2-1})^2=(-(x^2-1))^2$
          $x^2-1=(x^2-1)^2$
            $(x^2-1)^2-(x^2-1)=0$
              $(x^2-1)\left((x^2-1)-1\right)=0$
                $(x^2-1)(x^2-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm1 \\ x^2-2=0 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.$

Comprobemos ahora cada uno de estos valores obtenidos para ver si son o no solución de la ecuación original:

• Veamos si $1$ forma parte de la solución: $\sqrt{1^2-1}+1^2\overset{?}{=}1$; en efecto, el resultado del cálculo de la expresión numérica del primer miembro es igual a $1$, que coincide con el valor del segundo miembro.
• ¿Y $-1$, es satisface también la igualdad?: $\sqrt{(-1)^2-1}+(-1)^2\overset{?}{=}1$; en efecto, también este valor forma parte de la solución, ya que el resultado del cálculo de la expresión numérica del primer miembro es igual a $1$, que coincide con el valor del segundo miembro.
• Cotejemos ahora si $\sqrt{2}$: $\sqrt{(\sqrt{2}^2-1}+\sqrt{2}^2\overset{?}{=}1$; pues, no, el primer miembro es igual a $3 \neq 1$, luego $\sqrt{2}$, no forma parte de la solución.
• En cuanto a $-\sqrt{2}$: $\sqrt{(-\sqrt{2}^2-1}+(-\sqrt{2}^2)\overset{?}{=}1$; tampoco, para este valor, el primer miembro, que es igual a $2$, no coincide con el valor del segundo miembro (que es $1$), luego $-\sqrt{2}$ tampoco forma parte de la solución.

En conclusión, la solución de la ecuación planteada está formada por $-1$ y $1$. $\diamond$