Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo tal que ...

ENUNCIADO. Considerar el ángulo del cuarto cuadrante cuya razón seno es igual a $-\frac{1}{2}$. Realizar una representación gráfica de dichas razones ( en la circunferencia de radio unidad o circunferencia trigonométrica ) y calcular el valor de las razones coseno y tangente. Finalmente, con la ayuda de la calculadora científica, hallar el valor de dicho ángulo.

SOLUCIÓN.
Por la identidad fundamental de la trigonometría tenemos que, para todo valor del ángulo $\alpha$, $$\sin^2\,\alpha+\cos^2\,\alpha=1$$ Despejando $\cos\,\alpha$, y teniendo en cuenta, además, que al pertenecer $\alpha$ al cuarto cuadrante, el valor de la razón coseno es positivo, por tanto
$$\cos\,\alpha = \left| \sqrt{1-(-\frac{1}{2})^2} \right|=\dfrac{ \left| \sqrt{3} \right|}{2}$$
Calculando, el valor de la razón tangente ( aplicando la definición ), $$\tan\,\alpha=\dfrac{-\frac{1}{2}}{\frac{ \left| \sqrt{3} \right|}{2}}=-\dfrac{1}{\left|{\sqrt{3}}\right|}$$


Representación gráfica:

Para calcular el valor del ángulo utilizamos la calculadora científica ( o bien medimos, directamente, sobre el gráfico con el transportador de ángulos ) y obtenemos $$\alpha=\arcsin\,(-\frac{1}{2}) = -30^{\circ}$$ ( siendo el ángulo del cuarto cuadrante ) o lo que es lo mismo, $\alpha=360^{\circ}+(-30^{\circ}=330^{\circ}$

$square$

Área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia

ENUNCIADO. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de $1$ centímetro de radio.

SOLUCIÓN.

$\square$

Ejercicios resueltos del examen de los temas 7,8,9,10,11 y 12

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ]

Representar la parábola ...

ENUNCIADO. Representar la gráfica de la función $f(x)=x^2+5x+6$

SOLUCIÓN.
Primero, vamos a calcular los elementos notables de dicha función cuadrática, cuya gráfica es una parábola.

Raíces: valores del dominio de definición que anulan la función; $f(x)=0 \Leftrightarrow x^2+5x+6=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-3\\ \\ -2 \end{matrix}\right.$

Ordenada en el origen: $f(0)=0^2+5 \cdot 0 + 6 = 6$

Coordenadas del vértice de la parábola:
$x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2\cdot 1}=-\dfrac{5}{2}$
$y_V=f(x_V)=f(-\dfrac{5}{2})=-\dfrac{1}{4}$

Recta de simetría: $x=-\dfrac{5}{2}$

Representación gráfica:

$\square$

Un ejercicio con una función de proporcionalidad directa

ENUNCIADO. Considerar una función de proporcionalidad directa, $f(x)$, tal que la gráfica de la misma pasa por los puntos $A(-2,3)$ y $B(4,1)$. Se pide:
a) Determinar $f(x)$
b) Calcular la imagen de $7$
c) Calcular la antiimagen de $1$

ENUNCIADO.
a)
Como la función es lineal afín, su gráfica es una recta. Calculemos la siguiente ecuación de la recta, en forma continua $$\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$$ poniendo los datos $$\dfrac{x-(-2)}{4-(-2)}=\dfrac{y-3}{1-3}$$ y simplificando $$\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-3}{-1}$$ Despejando $y$, llegamos a la ecuación de la recta en forma explícita $$y=-\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$$ esto es $$f(x)=-\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$$

b)
$f(7)=-\dfrac{1}{3}\cdot 7+\dfrac{7}{3}=0$

c)
Si $y=1$, entonces $1=-\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$; despejando la variable independiente, obtenemos $$x=4$$
$\square$

Ejercicio con una función exponencial

ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=2^x-3$. Se pide:
a) Representar la gráfica de la función
b) Calcular la imagen de $-10$

SOLUCIÓN.
a)

b)
$f(-10)=2^{-10}-3=\dfrac{1}{2^{10}}-3=\dfrac{1}{1024}-3=-\dfrac{3071}{1024}$

$\square$

Calcular el volumen de un tronco de cono cuyas medidas son ...

ENUNCIADO. Calcular el volumen de un tronco de cono, cuyas bases tienen radios de $r_1=4$ y $r_2=3$ decímetros, respectivamente; siendo la distancia perpendicular entre las mismas ( altura ), $h$, igual a $2$ decímetros.

SOLUCIÓN. En clase hemos calculado el volumen del tronco de cono procediendo paso a paso ( restando al volumen del cono completo el volumen del cono que truncamos del mismo ), empleando la semejanza de triángulos ( de los que se forman al cortar por un plano diametral ). Ahora bien, podemos también emplear la fórmula que se deduce de este procedimiento ( y que debíais tener anotada en vuestro formulario de ayuda ) $$V=\dfrac{\pi\,h}{3}\,(r_{1}^2+r_{2}^2+r_{1}\,r_{2} )$$
De esta forma, el problema queda reducido a un mero ejercicio mecánico de aplicación de datos
$$V=\dfrac{2\,\pi}{3}\,(4^2+3^2+4\cdot 3 ) = \dfrac{74}{3}\,\pi\; \text{dm}^3$$
$\square$

Calcular la altura de un árbol, dado el ángulo que forma la visual con ...

ENUNCIADO. Calcular la altura de un árbol sabiendo que el ángulo que forma la visual trazada desde el punto más alto al suelo ( plano perpendicular al tronco del árbol ) es de $40^{\circ}$, y que la distancia entre el pie del árbol y el observador es de $12,00$ metros.

SOLUCIÓN. Consideremos el triángulo rectángulo que se forma al dibujar la figura ( dejo como ejercicio la realización de la figura ): la longitud del segmento que representa la longitud del árbol ( y que es la incógnita del problema ) es uno de sus catetos; el segmento cuya longitud es la distancia entre el observador y el pie del árbol ( dato ) es el otro cateto; y, la visual es la recta que contiene a la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo. Denotando por $x$ a la altura del árbol, y empleando la razón tangente, podemos escribir $$\tan\,40^{\circ}=\dfrac{x}{12}$$ con lo cual, despejando $x$
$$x=12,00 \cdot \tan\,40^{\circ} \approx 10,07 \; \text{m}$$
$\square$

Calcular el valor de las razones trigonométricas coseno y tangente sabiendo que el valor del seno de un ángulo del ...

ENUNCIADO. Considerar el ángulo del tercer cuadrante cuya razón seno es igual a $-\frac{1}{4}$. Calcular las razones coseno y tangente.

SOLUCIÓN. Como el ángulo del que se habla está en el tercer cuadrante, el coseno es negativo ( como lo es el seno ), y, por tanto, la tangente ( que, por definición, es igual al cociente entre el seno y el coseno ) es positiva. Por la identidad fundamental de la trigonometría, podemos escribir $$(-\dfrac{1}{4})^2+\cos^2\,\alpha=1$$ de donde, despejando $\cos\,\alpha$, obtenemos
$$\cos\,\alpha = -\left|\sqrt{1-\dfrac{1}{16}}\right|=-\dfrac{\left|\sqrt{15}\right|}{4}$$
Y, finalmente, calculando la tangente,
$$\tan\,\alpha\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\sin\,\alpha}{\cos\,\alpha}=\dfrac{-\frac{1}{4}}{-\frac{\left|\sqrt{15}\right|}{4}}=\dfrac{1}{\left|\sqrt{15}\right|}$$
$\square$