Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo tal que ...

ENUNCIADO. Considerar el ángulo del cuarto cuadrante cuya razón seno es igual a $-\frac{1}{2}$. Realizar una representación gráfica de dichas razones ( en la circunferencia de radio unidad o circunferencia trigonométrica ) y calcular el valor de las razones coseno y tangente. Finalmente, con la ayuda de la calculadora científica, hallar el valor de dicho ángulo.

SOLUCIÓN.
Por la identidad fundamental de la trigonometría tenemos que, para todo valor del ángulo $\alpha$, $$\sin^2\,\alpha+\cos^2\,\alpha=1$$ Despejando $\cos\,\alpha$, y teniendo en cuenta, además, que al pertenecer $\alpha$ al cuarto cuadrante, el valor de la razón coseno es positivo, por tanto
$$\cos\,\alpha = \left| \sqrt{1-(-\frac{1}{2})^2} \right|=\dfrac{ \left| \sqrt{3} \right|}{2}$$
Calculando, el valor de la razón tangente ( aplicando la definición ), $$\tan\,\alpha=\dfrac{-\frac{1}{2}}{\frac{ \left| \sqrt{3} \right|}{2}}=-\dfrac{1}{\left|{\sqrt{3}}\right|}$$


Representación gráfica:

Para calcular el valor del ángulo utilizamos la calculadora científica ( o bien medimos, directamente, sobre el gráfico con el transportador de ángulos ) y obtenemos $$\alpha=\arcsin\,(-\frac{1}{2}) = -30^{\circ}$$ ( siendo el ángulo del cuarto cuadrante ) o lo que es lo mismo, $\alpha=360^{\circ}+(-30^{\circ}=330^{\circ}$

$square$