Aplicación de la trigonometría básica a un problema de medida indirecta

ENUNCIADO. En un claro del bosque cuyo suelo es horizontal, un observador situado a una cierta distancia del pie de un árbol, observa el punto más alto del mismo bajo un ángulo de $70^\circ$ ( midiendo dicho ángulo con un inclinómetro ). La altura del ojo del observador al suelo es de $1$ metro ( se sienta en una silla plegable cada vez que realiza una medida del ángulo de elevación de la visual ). A continuación, el observador se aleja $30$ metros del punto donde se encontraba, de manera que desde el segundo punto donde se sitúa ahora, permanezca enfilada la primera posición de observación con el pie del árbol. Desde esta nueva posición, vuelve a observar el punto más elevado del árbol, midiendo ( con el inclinómetro ) un ángulo de $25^\circ$. Calcúlese la distancia que le separaba del pie del árbol en la primera posición de observación así como la altura del árbol.

SOLUCIÓN. Un problema muy similar ( con otros datos ) está resuelto y comentado en [esta otra entrada del blog].

Trigonometría. Medidas indirectas

ENUNCIADO. En un claro del bosque cuyo suelo es horizontal, un observador situado a una cierta distancia del pie de un árbol, observa el punto más alto del mismo bajo un ángulo de $60^\circ$ ( midiendo dicho ángulo con un inclinómetro ). La altura del ojo del observador al suelo es de $1$ metro ( se sienta en una silla plegable cada vez que realiza una medida del ángulo de elevación de la visual ). A continuación, el observador se aleja $12$ metros del punto donde se encontraba, de manera que desde el segundo punto donde se sitúa ahora, permanezca enfilada la primera posición de observación con el pie del árbol. Desde esta nueva posición, vuelve a observar el punto más elevado del árbol, midiendo ( con el inclinómetro ) un ángulo de $30^\circ$. Calcúlese la distancia que le separaba del pie del árbol en la primera posición de observación así como la altura del árbol.

SOLUCIÓN.

Medidas indirectas

ENUNCIADO. En un claro del bosque cuyo suelo es horizontal, un observador situado a una cierta distancia del pie de un árbol, observa el punto más alto del mismo bajo un ángulo de $70^\circ$ ( midiendo dicho ángulo con un inclinómetro ). La altura del ojo del observador al suelo es de $1$ metro ( se sienta en una silla plegable cada vez que realiza una medida del ángulo de elevación de la visual ). A continuación, el observador se aleja $15$ metros del punto donde se encontraba, de manera que desde el segundo punto donde se sitúa ahora, permanezca enfilada la primera posición de observación con el pie del árbol. Desde esta nueva posición, vuelve a observar el punto más elevado del árbol, midiendo ( con el inclinómetro ) un ángulo de $40^\circ$. Calcúlese la distancia que le separaba del pie del árbol en la primera posición de observación así como la altura del árbol.

SOLUCIÓN.

Calcular la altura de un árbol, dado el ángulo que forma la visual con ...

ENUNCIADO. Calcular la altura de un árbol sabiendo que el ángulo que forma la visual trazada desde el punto más alto al suelo ( plano perpendicular al tronco del árbol ) es de $40^{\circ}$, y que la distancia entre el pie del árbol y el observador es de $12,00$ metros.

SOLUCIÓN. Consideremos el triángulo rectángulo que se forma al dibujar la figura ( dejo como ejercicio la realización de la figura ): la longitud del segmento que representa la longitud del árbol ( y que es la incógnita del problema ) es uno de sus catetos; el segmento cuya longitud es la distancia entre el observador y el pie del árbol ( dato ) es el otro cateto; y, la visual es la recta que contiene a la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo. Denotando por $x$ a la altura del árbol, y empleando la razón tangente, podemos escribir $$\tan\,40^{\circ}=\dfrac{x}{12}$$ con lo cual, despejando $x$
$$x=12,00 \cdot \tan\,40^{\circ} \approx 10,07 \; \text{m}$$
$\square$