Operaciones con radicales

ENUNCIADO. Operar y simplificar :
a) $2\,\sqrt{20}+3\,\sqrt{45}-\sqrt{80}$
b) $4\,\sqrt[3]{16}+5\,\sqrt[3]{54}-2\,\sqrt[3]{250}$

SOLUCIÓN.
a) Como $80=2^4 \cdot 5$, $20=2^2\cdot 5$ y $45=3^2 \cdot 5 $, podemos escribir la expresión numérica pedida de la forma $$2\,\sqrt{2^2 \cdot 5}+3\,\sqrt{3^2 \cdot 5}-\sqrt{2^4\cdot 5}$$ que es igual a $$2 \cdot 2 \sqrt{5}+3\cdot 3\sqrt{5}-2^2\,\sqrt{5}$$ es decir $$4\,\sqrt{5}+9\,\sqrt{5}-4\,\sqrt{5}$$ que es igual a $$9\,\sqrt{5}$$

b) a) Como $16=2^4$ , $54=3^3\cdot 2$ y $250=5^3 \cdot 2 $, podemos escribir la expresión numérica pedida de la forma $$4\,\sqrt[3]{2^4}+5\,\sqrt[3]{3^3\cdot 2}-2\,\sqrt[3]{5^3\cdot 2}$$ que es igual a $$4\cdot 2 \sqrt[3]{2}+5\cdot 3\,\sqrt[3]{2}-2\cdot 5\,\sqrt[3]{2}$$ es decir $$8\,\sqrt[3]{2}+15\,\sqrt[3]{2}-10\,\sqrt[3]{2}$$ que es igual a $$(8+15-10)\,\sqrt[3]{2}$$ y por tanto a $$13\,\sqrt[3]{2}$$
$\square$

[autoría]

Determinar el intervalo de la recta numérica ...

ENUNCIADO. Encontrar el intervalo de la recta de los números reales que representa la solución de la siguiente inecuación $$|x-3| \le 2$$

SOLUCIÓN.
De acuerdo con la definición de valor absoluto, debemos plantear las siguientes situaciones:
(1) Si $x-3$ es positivo, entonces $x-3 \le 2 \Rightarrow x \le 5$
(2) Si $x-3$ es negativo, entonces $-(x-3) \le 2 \Rightarrow x-3 \ge -2 \Rightarrow x \ge 3-2=1$
(3) Si $x-3$ es cero, entonces $0 \le 2$ ( que es trivial ), y no obtenemos nueva información.
Así, de (1) y (2) concluimos que la solución a la inecuación pedida es el intervalo $\{1 \le x \le 5: x \in \mathbb{R}\}$, esto es, $[1\,,\,5] \subset \mathbb{R}$
$\square$

[autoría]

Racionalizar las siguientes expresiones con radicales

ENUNCIADO. Racionalizar las siguientes expresiones con radicales:
a) $\dfrac{5}{\sqrt[5]{2^4}}$
b) $\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
c) $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

SOLUCIÓN.

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Dividir por Ruffini

ENUNCIADO. Dividir por el método de Ruffini, dando el polinomio cociente y el polinomio resto: $$(4x^5-3x^2+x-1) \div (x+2)$$
Sin hacer ninguna operación más: ¿ Cuál es el valor del polinomio $4x^5-3x^2+x-1$ para $x=-2$ ?

SOLUCIÓN.
Preparando la división pedida ( por Ruffini )
$$(4x^5-3x^2+x-1) \div (x-(-2))$$
con lo cual
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 4 & 0 & 0 & -3 & 1 & -1\\
-2 & & -8 & 16 & -32 & 70 & -142\\
\hline & 4 & -8 & 16 & -35 & 71 & -143\end{array}$$
El polinomio cociente es $$4x^4-8x^3+16x^2-35x+71$$
y el resto ( que es un polinomio de grado cero ) es $$-143$$
$\square$

[autoría]

Operaciones con polinomios

ENUNCIADO. Sean los polinomios $P(x)=6\,x^4-5\,x+2$ y $Q(x)=2\,x^2+x-1$. Se pide:
a) $P(-1)$ y $Q(-1)$
b) $R(x):=P(x)\cdot Q(x)$
c) $R(-1)$
d) $T(x):=\text{cociente}\left(P(x) \div Q(x)\right)$
e) $T(-1)$
f) $S(x):=\text{resto}\left(P(x) \div Q(x)\right)$
g) $S(-1)$

SOLUCIÓN.

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Situar el número racional dado en la recta numérica

ENUNCIADO. Sea el número racional $\dfrac{10}{3}$. Se pide:
a) Expresar la fracción impropia que lo representa en forma mixta
b) Acotar el número dado entre los dos enteros más próximos al mismo
c) Mediante la aplicación del teorema de Tales, situarlo en la recta numérica de los números reales, empleando regla y compás.

SOLUCIÓN.

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Ordenar de mayor a menor

ENUNCIADO. Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones, sin recurrir a sus expresiones decimales:\par
$$\lbrace \,\dfrac{16}{64}\,,\,-\dfrac{3}{4}\,,\,-\dfrac{5}{8}\,,\,\dfrac{2}{15}\,,\,\dfrac{12}{65} \, \rbrace$$

SOLUCIÓN.



Habiendo reducido las fracciones a común denominador, el orden de los numeradores establece el orden de las fracciones:
$$-\dfrac{3}{4} \gt -\dfrac{5}{8} \gt \dfrac{2}{15} \gt \dfrac{12}{65} \gt \dfrac{1}{4} $$

$\square$

[autoría]

Calcular el error de aproximación

ENUNCIADO. Aproximamos el número $x=\dfrac{13}{7}$ por $\bar{x}=1,86$. Calcular el error absoluto, $E$, y el error relativo, $\epsilon$. Dar una cota del error absoluto, $\Delta$, y una cota del error relativo, $\varepsilon$.

SOLUCIÓN.

$E\overset{\text{def}}{=}|x-\bar{x}|=|\dfrac{13}{7}-1,86|=|\dfrac{13}{7}-\dfrac{93}{50}|=\dfrac{1}{350}\prec \dfrac{1}{349}$, luego $\Delta:=\dfrac{1}{349} \approx 3\cdot 10^{-3}$

$\epsilon\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{1/350}{13/7}=\dfrac{1}{650}\prec \dfrac{1}{649}$, luego $\varepsilon:=\dfrac{1}{649} \approx 2\cdot 10^{-3}=0,2\,\%$

$\square$

[autoría]

Determinar la fracción generatriz

ENUNCIADO. Determinar la fracción generatriz de los siguientes números racionales:
a) $8,\,43\,\overline{15}$
b) $1,\,\overline{234}$
c) $0,000\,728$

SOLUCIÓN.

a)
$8,\,43\,\overline{15}\quad \overset{\text{d.p.m.}}{=} \quad \dfrac{84315-843}{9900}=\dfrac{83472}{9900} \quad \overset{\text{m.c.d.}(83472,9900)=12}{=} \quad \dfrac{6956}{825}$

b)
$1,\,\overline{234} \quad \overset{\text{d.p.p.}}{=} \quad \dfrac{1234-1}{999}=\dfrac{1233}{999} \quad \overset{\text{m.c.d.}(1233,999)=9}{=} \quad \dfrac{137}{111}$

c)
$0,000\,728 \quad \overset{\text{d.e.}}{=} \quad \dfrac{728}{1\,000\,000} \quad \overset{\text{m.c.d.}(728,1\,000\,000)=8}{=} \quad \dfrac{91}{125\,000}$

$\square$

[autoría]

Operar con fracciones

ENUNCIADO. Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:

a) $\dfrac{2}{45}-\dfrac{11}{21}+\dfrac{5}{14}$

b) $\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{21}{9}$

c) $\dfrac{3}{2} \div \dfrac{6}{18}$

d) $\left(-\dfrac{5}{4}\right)^{2} \div \dfrac{15}{2}-\dfrac{1}{2}$

SOLUCIÓN.

a)

$\dfrac{2}{45}-\dfrac{11}{21}+\dfrac{5}{14} \quad \overset{\text{m.c.m}(45,21,14)=630}{=} \quad \dfrac{2 \cdot 630 \div 45}{630}+\dfrac{(-11)\cdot 630 \div 21}{630}+\dfrac{5 \cdot 630\div 14}{630}$

  $=\dfrac{28}{630}+\dfrac{(-330)}{630+\dfrac{225}{630}}$

    $=\dfrac{28+(-330)+225}{630}$

      $=\dfrac{-77}{630}$

      $=-\dfrac{77}{630}$

        $\quad \overset{\text{m.c.d.}(77,630)=7}{=}\quad -\dfrac{11}{90}$

b)

$\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{21}{9}$

  $=\dfrac{4 \cdot 21}{7 \cdot 9}$

    $=\dfrac{21 \cdot 4}{7 \cdot 9}$

    $=\dfrac{21}{7}\cdot \dfrac{4}{9}$

      $=3\cdot \dfrac{4}{9}$

        $=\dfrac{3\cdot 4}{9}$

          $=\dfrac{4\cdot 3}{9}$

            $=4 \cdot \dfrac{3}{9}$

              $=4 \cdot \dfrac{1}{3}$

                $=\dfrac{4}{3}$


c)

$\dfrac{3}{2} \div \dfrac{6}{18}$

  $ \overset{\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}{=} \quad \dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{3}$

    $=\dfrac{3}{2} \cdot \text{inverso} \left( \dfrac{1}{3} \right)$

      $=\dfrac{3}{2} \cdot 3$

        $=\dfrac{3 \cdot 3}{2}$

          $=\dfrac{9}{2}$


d)

$\left(-\dfrac{5}{4}\right)^{2} \div \dfrac{15}{2}-\dfrac{1}{2}$

  $=\dfrac{25}{16} \div \dfrac{15}{2}-\dfrac{1}{2}$

    $=\dfrac{25}{16} \cdot \text{inverso}\left( \dfrac{15}{2}\right)-\dfrac{1}{2}$

      $=\dfrac{25}{16} \cdot \dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{2}$

        $=\dfrac{25 \cdot 2}{16 \cdot 15} -\dfrac{1}{2}$

          $=\dfrac{2 \cdot 25}{16 \cdot 15} -\dfrac{1}{2}$

            $=\dfrac{2}{16}\cdot \dfrac{25}{15} -\dfrac{1}{2}$

              $=\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{5}{3} -\dfrac{1}{2}$

                $=\dfrac{1\cdot 5}{8 \cdot 3} -\dfrac{1}{2}$

                  $=\dfrac{5}{24} -\dfrac{1}{2}$

                    $=\dfrac{5}{24} -\dfrac{12}{24}$

                      $=\dfrac{5}{24} +\dfrac{(-12)}{24}$

                        $=\dfrac{5+(-12)}{24}$

                          $=\dfrac{(-7)}{24}$

                            $=-\dfrac{7}{24}$

$\square$

[autoría]