Un problema con números enteros

A partir de la siguiente información: $$\left\{\begin{matrix}a\,b=-6 & (1) \\ a\,c=8 & (2) \\ b\,c=-12 & (3)\end{matrix}\right.$$ donde $a,b$ y $c$ son números enteros distintos de cero, se pide que calculemos los valores que puede tomar la suma $a+b+c$

Multiplicando $(1)$ por $(2)$ y dividiendo por $(3)$, miembro a miembro, se obtiene: $$\dfrac{(a\,b)\cdot (a\,c)}{b\,c}=a^2=\dfrac{-6\cdot 8}{-10}=4 \quad (5)$$

Multiplicando $(1)$ por $(3)$ y dividiendo por $(2)$, miembro a miembro, se obtiene: $$\dfrac{(a\,b)\cdot (b\,c)}{a\,c}=b^2=\dfrac{-6\cdot (-12)}{8}=9 \quad (6)$$

Multiplicando $(2)$ por $(3)$ y dividiendo por $(1)$, miembro a miembro, se obtiene: $$\dfrac{(a\,c)\cdot (b\,c)}{a\,b}=c^2=\dfrac{8\cdot (-12)}{-6}=16 \quad (7)$$

Sumando $(5)$, $(6)$ y $(7)$, miembro a miembro, vemos que $$a^2+b^2+c^2=4+9+16=29 \quad (8)$$

Por otra parte, para cualesquiera $m,n,p$, números reales, conocemos la siguiente identidad: $$(m+n+p)^2=m^2+n^2+p^2+2\,(m\,n+m\,p+n\,p)$$ por consiguiente, en nuestro caso, $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2\,(a\,b+a\,c+b\,c)$$ y teniendo en cuenta $(1)$, $(2)$, $(3)$ y $(8)$ podemos escribir que $$(a+b+c)^2=29+2\,(-6+8+(-12))=9$$ por consiguiente $$\sqrt{(a+b+c)^2}=\pm \,\sqrt{9}$$ esto es $$a+b+c= \pm\,3$$ Tenemos pues dos valores posibles para la suma pedida: $3$ y $-3$

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Una manera alternativa de resolver este problema consiste en calcular, primero, los valores que pueden tomar $a$, $b$ y $c$, y, a partir del resultado que obtengamos, hallar los posibles valores de la suma $a+b+c$.

Despejando $b$ de $(3)$ se obtiene $b=-\dfrac{12}{c}$. Sustituyendo esta expresión en $(1)$, podemos escribir $a\cdot \left(\dfrac{-12}{c}\right)=-6$, obteniendo que $a=\dfrac{c}{2} \quad (8)$. Entonces, de $(2)$ y $(8)$, se deduce que $c\cdot \dfrac{c}{2}=8$, luego $c^2=16$, y por tanto $c=\pm \sqrt{16}= \pm\,4$

Entonces:

• Para $c=-4$, se tiene que, de $(2)$, $-4\,a=8$ y por tanto $a=-2$; y, de $(3)$: $-4\,b=-12$, con lo cual $b=3$
• Para $c=4$, se tiene que, de $(2)$, $4\,a=8$ y por tanto $a=2$; y, de $(3)$: $4\,b=-12$, con lo cual $b=-3$

Llegamos pues a estas dos soluciones: $$(a,b,c)=\{ (2,-3,4), (-2,3,-4)\}$$ Para la primera terna, la suma pedida tiene el siguiente valor $a+b+c=2+(-3)+4=3$; y, para la segunda terma: $a+b+c=-2+3+(-4)=-3$
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Un interesante desarrollo algebraico de la potencia $(1+\sqrt{2})^{12}$

Se quiere determinar el valor de los números enteros $a$ y $b$ tales que $$(1+\sqrt{2})^{12}=a+b\,\sqrt{2}$$

Denotemos $x=1+\sqrt{2}$. Entonces,
  $x-1=\sqrt{2}$
    $(x-1)^2=(\sqrt{2})^2$
      $(x-1)^2=2$
        $x^2-2x+1=2$
          $x^2=2x+1 \quad (1)$
La cantidad pedida $(1+\sqrt{2})^{12}$ es, por tanto,
  $x^{12}$
    $=(x^2)^6$, y por $(1)$ podemos escribirlo como
      $=(2x+1)^6$
        $=(2x+1)^6$
          $=(4x^2+4x+1)^6$
            $\overset{(1)}{=}(4\,(2x+1)+4x+1)^6$
              $\overset{(1)}{=}(8x+4+4x+1)^6$
                $=(12x+5)^6$
                  $=\left((12x+5)^2\right)^3$
                    $=\left(144x^2 +120x +25\right)^3$
                      $\overset{(1)}{=}\left(144\,(2x+1) +120x +25\right)^3$
                        $=\left(288\,x+144 +120x +25\right)^3$
                          $=\left( 408\,x + 169\right)^3$
                            $=\left( 408\,x + 169\right)^2\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                              $=\left( 408^2\,x^2 + 2\cdot 408\cdot 169\,x + 169^2\right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                $=\left( 166\,464\,x^2 + 137\,904\,x + 28\,561\right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                  $\overset{(1)}{=}\left( 166\,464\cdot (2x+1) + 137\,904\,x + 28\,561\right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                    $\overset{(1)}{=}\left( 166\,464\cdot 2x+166\,464 + 137\,904\,x + 28\,561\right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                    $=\left( 332\,928\,x+166\,464 + 137\,904\,x + 28\,561\right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                  $=\left( 470\,832\,x+195\,025 \right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                $=470\,832\cdot 408\,x^2+(195\,025\cdot 408+470\,832\cdot 169)\,x+195\,025\cdot 169$
                              $=192\,099\,456\,x^2+159\,140\,808\,x+32\,959\,225$
                            $\overset{(1)}{=}192\,099\,456\cdot (2x+1)+159\,140\,808\,x+32\,959\,225$
                          $=192\,099\,456\cdot 2x+ 192\,099\,456 +159\,140\,808\,x+32\,959\,225$
                        $=384\,198\,912\,x+ 192\,099\,456 +159\,140\,808\,x+32\,959\,225$
                      $=543\,339\,720\,x+ 225\,058\,681$
                    $=543\,339\,720\cdot (1+\sqrt{2})+ 225\,058\,681$
                      $=543\,339\,720+543\,339\,720\,\sqrt{2}+ 225\,058\,681$
                    $=768\,398\,401+543\,339\,720\,\sqrt{2} \therefore a=768\,398\,401;\,b=543\,339\,720$
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Un sistema de ecuaciones no lineales fácil de resolver

Se pide que encontremos los valores que pueden tomar $x$ e $y$, tales que $x\neq y$ que sean solución del siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x^2-y=73 & (1)\\y^2-x=73 & (2)\end{matrix}\right.$$

De las dos ecuaciones se sigue que $x^2-y=y^2-x$, entonces:
  $x^2-y-y^2+x=0$
    $(x^2-y^2)+(x-y)=0$
      $(x-y)(x+y)+(x-y)=0$, por la identidad $a^2-a^2=(a-b)(a+b)$
        $(x-y)\left((x+y)+1\right)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-y \Rightarrow x=y & \text{(solución que no nos interesa)} \\ x+y+1=0 \Rightarrow x=-(y+1) & (3) \end{matrix} \right.$

Sustituyendo $(3)$ en $(1)$:
  $(-(y+1))^2-y=73$
    $(y+1)^2-y=73$
      $y^2+2\,y+1-y=73$
        $y^2+y-72=0 \Rightarrow y=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-72)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{289}}{2}=\dfrac{-1\pm 17}{2}=\left\{\begin{matrix} 8 \Rightarrow x=-(8+1)=-9\\ -9 \Rightarrow x=-(-9+1)=8 \end{matrix}\right.$

La solución viene dada pues por $$(x,y)=\{(8,-9), (-9,8)\}$$ $\diamond$

Acerca de la deducción de las fórmulas para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado

¿De dónde sale el $\pm$ delante de la raíz cuadrada al despejar la incógnita elevada al cuadrado en una ecuación del tipo $x^2=k$ (siendo, desde luego, $k$ un número real no negativo)?

Vamos a resolver la ecuación y enseguida entenderemos el por qué:
  $x^2=k$
    $x^2-k=0$
      $x^2-(\sqrt{k})^2=0$
        $(x-\sqrt{k})(x+\sqrt{k})=0$, por la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Entonces,
        $(x-\sqrt{k})(x+\sqrt{k})=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-\sqrt{k}=0 \Rightarrow x=\sqrt{k}\\ x+\sqrt{k}=0 \Rightarrow x=-\sqrt{k} \end{matrix}\right.\quad (1)$

--- Nota: Hay que tener en cuenta que la raíz cuadrada de un número no negativo tiene como imagen (por consenso) un número no negativo (si bien es cierto que el cuadrado del opuesto de tal número (que es negativo) también es igual a dicho cuadrado. --- Pues bien, para expresar el resultado de $(2)$ de manera escueta podemos escribir que $$x=\pm\sqrt{k}$$

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Comentario: Esto nos lleva a entender perfectamente la razón por la cual aparece ese $\pm$ en la famosa fórmula de las ecuaciones de segundo grado completas, $a\,x^2+b\,x+c=0$, siendo los coeficientes $a$, $b$ y $c$ distintos de cero, esto es, $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$. Lo explico a continuación, deduciendo dicha fórmula, paso a paso:
  $a\,x^2+b\,x+c=0$
    $\dfrac{1}{a}\,(a\,x^2+b\,x+c)+\dfrac{1}{a}\cdot 0$
      $\dfrac{1}{a}\cdot a\,x^2+\dfrac{1}{a}\cdot b\,x+\dfrac{1}{a}\cdot c=0$
        $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$
          $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2+\dfrac{c}{a}=0$, donde hemos tenido en cuenta la identidad $(m+n)^2=m^2+2\,m\,n+n^2$
            $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}\right)=0$
              $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)^2=0$
                $\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)\,\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)=0 \Leftrightarrow$
                  $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Rightarrow x+\dfrac{b}{2a} = \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Rightarrow x+\dfrac{b}{2a} = -\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \end{matrix}\right.$
esto es, $$x+\dfrac{b}{2a} = \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}$$ y por tanto,
  $x=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=$
    $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{(2\,a)^2}-\dfrac{c}{a}}$
      $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{2^2\,a^2}-\dfrac{c}{a}}$
        $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{c}{a}}$
          $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{4\,a}{4\,a} \cdot \dfrac{c}{a}}$
            $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{4\,a\,c}{4\,a^2}}$
              $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2-4\,a\,c}{4\,a^2}}$
                $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{\sqrt{4\,a^2}}$
                  $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{\sqrt{(2\,a)^2}}$
                    $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$
                      $=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$

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Un sencillo problema de ordenaciones, teniendo en cuenta el orden en que disponemos los elementos

En un estante para guardar libros disponemos de tres compartimentos. Queremos guardar en dicho estante unos libros de montaña, entre los cuales hay $4$ manuales de escalada en roca, $3$ libros de meteorología de montaña, y $5$ guías de La Pedriza. Deseamos colocar los libros de estos tres grupos de libros, cada uno en uno de los tres compartimentos, pudiendo, en cada grupo, ordenar los libros del mismo tema como mejor nos plazca. ¿Cuántas ordenaciones son posibles?

Cada uno de los tres grupos temáticos podemos ponerlo en cualquiera de los tres compartimentos, lo cual puede hacerse de $3!$ maneras posibles. Por otra parte, podemos ordenar como queramos los libros del mismo grupo temático en el compartimento que hemos elegido para dicho grupo, lo cual podemos hacer de $4!$ maneras posibles para los manuales de escalada en roca, de $3!$ maneras para los libros de meteorología de montaña, y de $5!$ maneras para las guías de La Pedriza. Entonces, por el principio de elecciones independientes, habrá $3!\cdot (4!\cdot 3! \cdot 5!) = 6\cdot\cdot 24 \cdot 6 \cdot 120 = 12\,441\,600$ ordenaciones posibles. $\diamond$

Algunos cálculos en los que hay que ser cuidadosos al aplicar las propiedades de las potencias

Hay que tener cuidado al aplicar las propiedades de las potencias. En los dos ejemplos que siguen, expongo, paso a paso, el cálculo de potencias sucesivas:

1. $3^{3^{3^{2}}}=3^{3^{9}}=3^{19\,683}$. Nota: ésta, por cierto, es una cantidad muy grande, que es del orden de magnitud de $\sim 10^{9\,391}$ (vedlo con WolframAlpha)
2. $\left(2^{2^{2}}\right)^3=2^{2^{2}\cdot 3}=2^{4\cdot 3}=2^{12}=4\,096$
3. $\sqrt{2^{2^{3}}}=\left( 2^{2^{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{2^3\cdot \frac{1}{2}}=2^{8\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{8}{2}}=2^4=16$
4. $\sqrt{2^{2^{3^{2}}}}=\left( 2^{2^{3^{2}}} \right)^{\frac{1}{2}}= 2^{2^{3^{2}}\cdot \frac{1}{2}}=2^{2^{9}\cdot \frac{1}{2}}=2^{2^{9}\cdot 2^{-1}}=2^{2^{9-1}}=2^{2^{8}}=2^{256}$. Nota: el resulta es otra cantidad muy grande, que es del orden de magnitud de $\sim 10^{77}$ (como podéis comprobar con WolframAlpha)

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Una ecuación exponencial sencilla

En esta breve entrada del blog voy a comentar la resolución de la siguiente ecuación exponencial $$2^{\sqrt{x}}=4$$

En primer lugar, démonos cuenta que, para que la raíz cuadrada esté bien definida, debe cumplirse que $x\ge 0$. Bien, designando $\sqrt{x}$ por $u$, podemos escribir $2^u=4$, esto es, $2^u=2^2$; luego, al ser las potencias de ambos miembros de la misma base, sus exponentes han de ser iguales, por tanto, $u=2$, con lo cual $\sqrt{x}=2 \therefore (\sqrt{x})^2=2^2$ y por consiguiente $x=4$.   $\diamond$