Geometría sintética ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considerem un mirall i dos punts $C$ i $D$. En quin punt $P$ del mirall cal que incideixi un raig de llum que surti de $C$ per tal que, en reflectir-se-hi, el raig emergent passi pel punt $D$, de tal manera que el camí recorregut sigui el més petit possible ?.

Solució:
La posició del punt $P$ ( vegeu la figura ) la trobem mitjançant un procediment de geometria de regle i compàs. Si, primer de tot, obtenim el punt simètric de $C$ respecte de la recta que conté el mirall, que és $C'$, adonem-nos que la distància de $C'$ a $D$ sobre la recta que uneix aquests dos punts és la més petita possible, i, per altra banda, és evident que aquesta longitud és la mateixa que la longitud del camí que ha de recorrer el raig de llum en reflectir-se en el mirall
                    $\text{dist}(C,P)+\text{dist}(P,D)$
Observem que, d'aquesta manera, es configuren dos triangles semblants ( pintants de color marró ), car els angles homòlegs d'aquests són iguals. Això és el que es coneix en física com a llei de la reflexió i és un resultat del càlcul de variacions ( un procediment analític molt potent ); no obstant, aquest problema, com podeu comprovar, es pot resoldre amb raonaments geomètrics elementals.

Nota:     Adoneu-vos que a qualsevol altre camí de reflexió ( pintat de color negre a la figura ) li correspon una longitud (de camí) més gran que l'òptima ( pintada de color vermell ), i, que els triangles que es configuren ja no són triangles semblants.

[nota del autor]

(a) Ingresamos $6000$ euros en un depósito bancario durante $10$ años, a interés compuesto. La tasa de interés anual es de un $3\,\%$. Los intereses se hacen efectivos al final de cada año. Calcule el valor del capital final. (b) Si el Banco le diera a elegir la frecuencia anual de capitalización de los intereses, ¿ qué elegiría, hacer efectivos ( acumular ) los intereses al final de cada año o bien cada mes dentro de un mismo año ? Razone la respuesta.

Enunciado:
(a) Ingresamos $6000$ euros en un depósito bancario durante $10$ años, a interés compuesto. La tasa de interés anual es de un $3\,\%$. Los intereses se hacen efectivos al final de cada año. Calcule el valor del capital final.
(b) Si el Banco le diera a elegir la frecuencia de capitalización de los intereses, ¿ qué elegiría, hacer efectivos los intereses ( acumulándolos al capital actual ) al final de cada año o bien cada mes dentro de un mismo año ? Razone la respuesta.


Solución:

a)

b)

$\square$

[nota del autor]

(a) Calcule el volumen y el área lateral de un cilindro cuya altura mide $4\,\text{dm}$ y cuya base tiene un área de $4\,\text{dm}^2$ (b) Calcule la longitud de la diagonal de un cubo cuyas aristas tienen una longitud de $3\,\text{dm}$

Enunciado:
(a) Calcule el volumen y el área lateral de un cilindro cuya altura mide $4\,\text{dm}$ y cuya base tiene un área de $4\,\text{dm}^2$
(b) Calcule la longitud de la diagonal de un cubo cuyas aristas tienen una longitud de $3\,\text{dm}$

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Sean los puntos del plano $A(1,0)$ y $B(4,3)$. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos ¿ Cuál es el valor de la pendiente ? ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?.

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(1,0)$ y $B(4,3)$. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos ¿ Cuál es el valor de la pendiente ? ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?.

Solución:

$\square$

[nota del autor]

En una urna hay $1$ bola negra y $2$ bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar; una después de la otra, sin devolver a la urna la primera bola extraída antes de extraer la segunda. Se pide: a) Dibuje el diagrama de árbol y diga cuáles son los sucesos que se pueden dar en la realización de dicha experiencia aleatoria. b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color c) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color

Enunciado:
En una urna hay $1$ bola negra y $2$ bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar; una después de la otra, sin devolver a la urna la primera bola extraída antes de extraer la segunda. Se pide:
a) Dibuje el diagrama de árbol y diga cuáles son los sucesos que se pueden dar en la realización de dicha experiencia aleatoria.
b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color
c) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color

Solucioón:

a)

b) y c)

$\square$

[nota del autor]

En un estudio estadístico, el número de valores recogidos/medidos de una variable estadística, $X$, es $n=200$. Al dibujar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas y trazar la poligonal de frecuencias, observamos que la mediana se encuentra en el intervalo $[30,40)$, cuya frecuencia acumulada es $110$; además, observamos que al intervalo $[20,30)$ le corresponde una frecuencia acumulada igual a $90$.

Enunciado:
En un estudio estadístico, el número de valores recogidos/medidos de una variable estadística, $X$, es $n=200$. Al dibujar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas y trazar la poligonal de frecuencias, observamos que la mediana se encuentra en el intervalo $[30,40)$, cuya frecuencia acumulada es $110$; además, observamos que al intervalo $[20,30)$ le corresponde una frecuencia acumulada igual a $90$.

Solución:

$\square$

Calcúlese el valor de la mediana a partir de la configuración de triángulos semejantes que se obtiene al dibujar la poligonal de frecuencias en esta parte del histograma de frecuencias acumuladas.

[nota del autor]

Calcule: a) $V_{7,4}$ b) $VR_{2,6}$ c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$ d) $P_{6}$ e) $C_{4,3}$ f) $C_{5,0}+C_{5,1}+C_{5,2}+C_{5,3}+C_{5,4}+C_{5,5}$

Enunciado:
Calcule:
a) $V_{7,4}$
b) $VR_{2,6}$
c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$
d) $P_{6}$
e) $C_{4,3}$
f) $C_{5,0}+C_{5,1}+C_{5,2}+C_{5,3}+C_{5,4}+C_{5,5}$

Soluciones:

$\square$

[nota del autor]