ESO4 - Propiedades de la composición de funciones. Función recíproca asociada a una función biyectiva

ESO4 - Operaciones con funciones ( lista de reproducción de vídeos didácticos )

Operaciones con funciones. Composición de funciones.

Ejercicio 2 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Funciones. Composición de funciones

Ejercicio 6 de la página 227, Unidad 11, del libro base

ENUNCIADO. Dadas las siguientes funciones reales de una variable real:
$f(x)=5x-4$ y $g(x)=x^2+3x-1$
calcula:
a) $g \circ f$
b) $f \circ g$

INDICACIÓN. Lee las páginas 226 y 227, Unidad 11, del libro base
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )

Ejercicio 1 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Operaciones con funciones

Ejercicio 4 de la página 227, Unidad 11, del libro base

ENUNCIADO. Dadas las siguientes funciones reales de una variable real:
$f(x)=(x-3)^2$ y $g(x)=x^2-9$
calcula:
a) $f+g$
b) $f-g$

INDICACIÓN. Lee las páginas 226 y 227, Unidad 11, del libro base
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )

Ejercicio 6 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020

Ejercicio número 104 de la página 241 ( ligeramente modificado )

ENUNCIADO. Dada la función : $$f(x)=2+\dfrac{-3}{x+4}$$ se pide:
a) Clasifícala
b) Represéntala gráficamente utilizando transformaciones de la gráfica de la función $y=1/x$
c) Halla y representa las rectas asíntotas
d) Halla el dominio de definición de la función
e) Halla las discontinuidades
f) Estudia el crecimiento y el decrecimiento

INDICACIÓN 1. Lee las páginas 224 y 225, así como las páginas 204 y 205 del libro base ( Unidad Didáctica 11 ).

INDICACIÓN 2. Si fuese necesario, utiliza GeoGebra para ayudarte con las representaciones gráficas

NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic sobre la imagen para verla en su tamaño natural )

Ejercicio 5 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020

Ejercicio número 2 de la página 225

ENUNCIADO. Dibuja la gráfica de la función $$f(x)=\dfrac{3x-5}{x-2}$$ y halla:
a) El dominio de definición de la función
b) Las ecuaciones de las rectas asíntotas
c) Las discontinuidades

INDICACIÓN. Lee las páginas 224 y 225 del libro base ( Unidad Didáctica 11 )

NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic sobre la imagen para verla en su tamaño natural )

Ejercicio 4 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - movimiento parabólico

ENUNCIADO. Al lanzar desde un cierto punto $O$ un balón en dirección oblícua, con respecto a un prado horizontal en el que se halla el punto de lanzamiento. Su movimiento, que viene descrito por una parábola, se puede descomponer en dos: uno en la dirección paralela al suelo $x(t)$, donde $t$ representa el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento y viene dado en segundos ( $s$), y $x$ representa la coordenada horizontal del movimiento, y viene expresada en metros ($m$), y otro vertical, $y(t)$, donde $y$ presenta la coordenada vertical, que viene expresada también en metros. Sus ecuaciones son: $$x(t)=v_x\,t$$ $$y(t)=v_y\,t -\dfrac{1}{2}\,g\,t^2$$ donde $v_x$ representa la componente horizontal de la velocidad de lanzamiento y $v_y$ la componente vertical ( expresadas ambas en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ), y $g$ es la aceleración de la gravedad, que es aproximadamente igual a 10 $\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. ¿ A qué distancia de $O$ vuelve a tocar el balón el plano horizontal ?
Datos de la velocidad: $v_x=20\,\dfrac{\text{m}}{s}$, $v_y=10\,\dfrac{\text{m}}{s}$

NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
NOTA IMPORTANTE. CORRECCIÓN DEL PASO FINAL. Me he equivocado, en la grabación, al sustituir el dato de la componente vertical de la velocidad: en lugar de poner $10$ m/s, he puesto $20$ m/s. No tengo tiempo de rehacer el vídeo a estas alturas, por lo que pongo a continuación la corrección en modo texto:
$0=10t-\dfrac{1}{2}\cdot 10t^2$
  $0=t-\dfrac{1}{2}t^2$
    $0=2t-t^2 \Rightarrow 0=(2t-)t \Rightarrow \left\{ \begin{array}t=0 \\\\ t=2\end{array}\right.$
En $t=0$ s, estamos en el momento del lanzamiento, y, en $t=2$ segundos en el momento en que la pelota está otra vez en el prado (punto M), siendo éste, por tanto, el tiempo de vuelo de la pelota. Así pues, la distancia entre el punto de lanzamiento O y el punto M es igual a $x(t)=20\cdot 2 = 40$ metros.

Ejercicio 3 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - funciones cuadráticas, parábolas

ENUNCIADO. Halla los coeficientes de la función cuadrática $y=ax^2+bx+c$ sabiendo que los siguientes puntos la satisfacen: $A(-1,1)$, $B(2,4)$ y $C(-3,-2)$

NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Se sugiere que se resuelva el sistema de ecuaciones lineales que aparecerá por el método de reducción

SOLUCIÓN.

Ejercicio 2 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - transformaciones geométricas del trazo de una función; parábolas

ENUNCIADO. Mediante transformaciones geométricas del trazo de la parábola $y=x^2$, representa de manera esquemática el trazo de la parábola $y=2(x+3)^2-4$ y escribe las coordenadas exactas del vértice sin hacer ningún cálculo.

NOTA. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

INDICACIÓN. El orden en que realices las transformaciones es irrelevante.

SOLUCIÓN.

Ejercicio 1 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - parábolas

ENUNCIADO. Halla la ecuación de la parábola que cumple las siguientes condiciones:
i) Su vértice es el punto $V(-1/4,-9/8)$
ii) Corta al eje de ordenadas en el punto $C(0,-1)$

NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

Apps de GeoGebra para smartphones y otros dispositivos móviles

Ejercicio número 6 de la semana del 16 al 22 de marzo - funciones cuadráticas

Ejercicio número 45 de la página 216 del libro base

ENUNCIADO. Calcula las coordenadas de los puntos de corte de las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas ( parábolas ) $$y=x^2-2x-3$$ $$y=-x^2-2x+5$$ Represéntalas gráficamente en un mismo diagrama cartesiano y comprueba que te sale el mismo número de puntos de intersección que el que has encontrado algebraicamente.

SOLUCIÓN.

Ejercicio 5 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - funciones

Ejercicio número 50 de la página 217 del libro base

ENUNCIADO. Un servicio de comunicaciones cobra 0,20 euros por el abono al servicio y 0,06 euros por cada minuto de duración. Escribe la función que expresa el coste ( en euros ). Representa la gráfica de la función. ¿ Qué tipo de función es ?

SOLUCIÓN.

Ejercicio 4 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Rectas y parábolas. Cinemática

Ejercicio número 59 de la página 218 del texto base

ENUNCIADO. Dos móviles inician su movimiento desde un punto O. El primero se desplaza según la fórmula $e(t)=\dfrac{1}{2}\,t^2$ y el segundo según $e(t)=t$; donde $t$ se mide en segundos y $e$ en metros. Representa las gráficas de sus movimientos en un mismo diagrama cartesiano e interpreta el resultado.

SOLUCIÓN.

Ejercicio 3 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Representación gráfica de una parábola por transformaciones geométricas

ENUNCIADO. A partir de la gráfica de la parábola que corresponde a la función cuadrática $y=x^2$, realiza una representación gráfica esquemática de la parábola $y=x^2-4x+3$ mediante transformaciones geométricas. Sin hacer cálculos, halla las coordenadas del vértice de dicha parábola y la ecuación de su recta de simetría.

NOTA. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.

Funciones cuadráticas ( lista de reproducción de vídeos )

Ejercicio 2 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020

Ejercicio número 51 de la página 217 del libro base

ENUNCIADO. El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a $x$ euros una unidad de un cierto producto viene dado por la función $B(x)=-x^2+10x-21$. Se pide:
a) Representa la gráfica de la función de beneficios
b) Determina el precio al que hay que vender el producto para obtener el máximo beneficio.

SOLUCIÓN.

Ejercicio 1 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo

Ejercicio número 44 de la página 216 del libro base

ENUNCIADO. Halla algebraicamente los puntos de corte de la recta $y=2x-5$ con la parábola $y=x^2-4x$

AYUDA. Hay que resolver el sistema de ecuaciones

SOLUCIÓN.

Ejercicio 2 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo de 2020

ENUNCIADO. Se considera la función cuadrática $f(x)=-x^2+x-3$, cuya gráfica - como es sabido - es una parábola. Halla los elementos notables y dibuja una representación gráfica de la curva a partir de los mismos.

SOLUCIÓN.

Ejercicio 1 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo de 2020

ENUNCIADO. Se considera la parábola $y=-2(x+3)^2+16$. Halla los elementos notables ( puntos de corte con los ejes de coordenadas, vértice y recta de simetría ) y dibuja su gráfica.

NOTA. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en la misma entrada a la que lleva el enlace.

SOLUCIÓN.

Punto de corte con el eje de ordenadas:
Como la abscisa de dicho punto, C, ha de ser cero, $y_C=f(0)=-2(0+3)^2+16=-2$, luego este punto de corte es $C(0,-2)$

Puntos de corte con el eje de abscisas (si los hubiese):
La ordenada es dichos puntos ha de ser cero, luego para encontrar sus abscisas hay que resolver la siguiente ecuación $0=-2(x+3)^2+16$. Entonces $$2(x+3)^2=16 \Rightarrow x+3=\pm \sqrt{8} \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-3+|\sqrt{8}|\approx -0,2 \\ \\ -3-|\sqrt{8}| \approx -5,8\end{matrix}\right.$$
Los puntos de corte con el eje de abscisas son pues $A(-3-|\sqrt{8}|,0)$ y $B(-3+|\sqrt{8}|,0)$

Vértice:
La abscisa del vértice es la misma que la del punto medio del segmento $[AB]$ del eje de abscisas, luego $x_V=\dfrac{(-3+|\sqrt{8}|)+(-3+|\sqrt{8}|)}{2}=-3$, y la ordenada es $y_V=f(x_V)=f(-3)=-2(-3+3)^2+16=16$. Así que el vértices de la parábola es el punto $V(-3,16)$

Recta de simetría:
La recta de simetría es una recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértices, luego todos sus puntos tienen que tener abscisa igual a la del vértice, $-3$, por consiguiente la ecuación de dicha recta es $\text{recta de simetría}\equiv x=-3$

Gráfica de la función:

$\square$

Lista de reproducción de vídeos didácticos sobre funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas ( 4.º ESO )

Elementos notables de una parábola. Funciones ( 4.º ESO )