ENUNCIADO. Un comerciante compra manzanas de dos tipos, $A$ y $B$. Por las manzanas de tipo $A$ ha pagado $2$ euros por kilogramo; y, por las de tipo $B$, $3$ euros por kilogramo. El comerciante prepara bolsas que contienen $10$ kilogramos de manzanas, que quiere vender en su tienda a $25$ euros cada una, con lo que espera obtener un beneficio de $1$ euro por cada bolsa vendida. En cada una de las bolsas hay una mezcla de manzanas de los dos tipos: $3$ kilogramos de manzanas de tipo $A$ y $2$ kilogramos de manzanas de tipo $B$. ¿ Cuántos kilogramos de manzanas de cada tipo tiene que poner en cada bolsa ?.
SOLUCIÓN.
El coste que supone para el comerciante la compra de las manzanas que ha de poner en cada bolsa, para su posterior venta en su tienda, es de $25-1=24$ euros. Denotando por $a$ el contenido ( en kilogramos ) de manzanas de tipo $A$, y, por $b$ la cantidad de manzanas ( en kilogramos ) de tipo $B$ que hay en cada bolsa, podemos escribir las siguientes ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}a+b=10 \\ 3a+2b=24\end{matrix}\right.$$ Despejando la incógnita $b$ de la primera ecuación, obtenemos $b=10-a$; sustituyendo ahora esta expresión en la segunda ecuación llegamos a $$3a+(10-a)=24$$ esto es $$2a=14$$ y despejando $a$ encontramos que en cada bolsa tiene que haber: $a=7$ kilogramos de manzanas de tipos $A$ y $b=10-7=3$ kilogramos de manzanas de tipo $B$. $\square$
viernes, 15 de junio de 2018
viernes, 8 de junio de 2018
Estimación de las cotas de error absoluto de los resultados de los productos y sumas, con datos afectados de error
ENUNCIADO. Se consideran las siguientes cantidades $a=4\pm 0,5$, donde $\Delta_a=0,5$, es una cota de error absoluto ( esto es, la máxima incertidumbre de $a$ ); y, $b=22\pm 1$, donde $\Delta_b=1$ es la correspondiente cota de error absoluto ( máxima incertidumbre de $b$ ). Calcúlese el máximo error absoluto de $a\cdot b$ y el máximo error absoluto de $a+b$, así como los intervalos de incertidumbre de $a+b$ y de $a\cdot b$, respectivamente
SOLUCIÓN. Sabemos, por lo explicado en clase, que en el caso de las sumas $\Delta_{a+b}=\Delta_a+\Delta_b$; y, en el caso de un producto, $\varepsilon_{a\cdot b}=\varepsilon_a+\varepsilon_b$, de lo cual se desprende -- por la definición de error relativo, $e \overset{\text{def}}{=} \dfrac{E}{|x|} \Rightarrow E=e\cdot |x| \Rightarrow \Delta_x = \varepsilon_x \cdot x$ --, que $$\Delta_{a \cdot b}=(a\cdot b)\cdot \varepsilon_{a\cdot b}$$
Entonces, $a+b=26$; $\Delta_{a+b}=\Delta_a+\Delta_b=0,5+1 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 2$; y, por otra parte, $a\cdot b=88$, con $\varepsilon_{a\cdot b}=\varepsilon_a+\varepsilon_b=\dfrac{0,5}{4}+\dfrac{1}{22}\overset{\text{por exceso}}{\approx}0,18 \Rightarrow \Delta_{a\cdot b}=0,18\cdot 88 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 16$
Y, en consecuencia, $$a + b=26\pm 2 \Rightarrow I_{a+b}=(26-2\,,\,26+2)$$ y $$a\cdot b=88 \pm 16 \Rightarrow I_{a\cdot b}=(88-16\,,\,88+16)$$ esto es $$I_{a+b}=(24\,,\,28)$$ y $$I_{a\cdot b}=(72\,,\,104)$$
$\square$
SOLUCIÓN. Sabemos, por lo explicado en clase, que en el caso de las sumas $\Delta_{a+b}=\Delta_a+\Delta_b$; y, en el caso de un producto, $\varepsilon_{a\cdot b}=\varepsilon_a+\varepsilon_b$, de lo cual se desprende -- por la definición de error relativo, $e \overset{\text{def}}{=} \dfrac{E}{|x|} \Rightarrow E=e\cdot |x| \Rightarrow \Delta_x = \varepsilon_x \cdot x$ --, que $$\Delta_{a \cdot b}=(a\cdot b)\cdot \varepsilon_{a\cdot b}$$
Entonces, $a+b=26$; $\Delta_{a+b}=\Delta_a+\Delta_b=0,5+1 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 2$; y, por otra parte, $a\cdot b=88$, con $\varepsilon_{a\cdot b}=\varepsilon_a+\varepsilon_b=\dfrac{0,5}{4}+\dfrac{1}{22}\overset{\text{por exceso}}{\approx}0,18 \Rightarrow \Delta_{a\cdot b}=0,18\cdot 88 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 16$
Y, en consecuencia, $$a + b=26\pm 2 \Rightarrow I_{a+b}=(26-2\,,\,26+2)$$ y $$a\cdot b=88 \pm 16 \Rightarrow I_{a\cdot b}=(88-16\,,\,88+16)$$ esto es $$I_{a+b}=(24\,,\,28)$$ y $$I_{a\cdot b}=(72\,,\,104)$$
$\square$
Adecuación del número de cifras signifcativas de los resultados de cálculos con multiplicaciones/divisiones o sumas/restas cuando los datos están afectados de imprecisiones
ENUNCIADO. Las siguientes cantidades están afectadas de error, y, por ello hay que tener en consideración el número de cifras significativas que se especifican: $\bar{a}=4300$ ( 2 c.s. ) y $\bar{b}=124,45$ ( 5 c.s. ). Obténganse los resultados de los siguientes cálculo, con el número de cifras significativas que les corresponda:
a) $a\cdot b$
b) $a/b$
c) $a+b$
d) $a-b$
SOLUCIÓN.
a) En las multiplicaciones y en las divisiones, el número de cifras significativas del resultado que debemos dar no puede ser mayor que el número de cifras significativas del dato que tiene un número menor de cifras significativas. Al multiplicar $\bar{a}$ por $\bar{b}$ obtenemos $535\,135$, sin embargo el resultado que demos no puede tener más de $2$ c.s. ( que es el número de cifras significativas de $\bar{a}$ ), en consecuencia escribiremos ( aproximando a la cifra de las centenas de millar ) $$\bar{a} \cdot \bar{b} \approx 540\,000 \; ( 2\,\text{c.s.})$$
b) Por lo que se acaba de explicar, en las divisiones ocurre lo mismo; al dividir, $\bar{a}/\bar{b}$, obtenemos la siguiente cantidad, $34,55202893$, pero al tener que limitar el número de cifras significativas a $2$, el resultado que tendremos que dar ( aproximando, por tanto, por redondeo hasta la cifra de las unidades ) es $$\bar{a} / \bar{b} \approx 35 \; ( 2\,\text{c.s.})$$
c) En las sumas y restas, nos fijaremos en el número de cifras significativas de la parte decimal, a la hora de limitar el número de las cifras significativas que obtenemos, tal cual, del cálculo; el número de cifras decimales significativas ( c.d.s. ) del resultado que debemos dar no puede ser mayor que el número de cifras decimales significativas del dato que tiene un número menor de cifras decimales significativas. Al sumar $a$ ( $0$ c.d.s.) y $b$ ( $2$ c.d.s.) obtenemos $4\,424,45$, sin embargo el resultado que demos no puede tener más de $0$ c.d.s. ( que es el menor número de cifras decimales significativas que encontramos en los dos sumandos, esto es, de $a$ ), en consecuencia, y aproximando por redondeo a las unidades, escribiremos $$\bar{a} + \bar{b} \approx 4\,424\; ( 0\,\text{c.d.s.})$$
d) Como con las restas ocuurre lo mismo que con las sumas, al restar, tal cual, $a-b$ obtenemos $4\,175,55$, pero debemos limitar el número de cifras decimales significativas de este resultado -- de la misma manera que hemos explicado en el apartado anterior --, así ( aproximando por redondeo a las unidades ) que $$\bar{a} - \bar{b} \approx 4\,176\; ( 0\,\text{c.d.s.})$$
$\square$
a) $a\cdot b$
b) $a/b$
c) $a+b$
d) $a-b$
SOLUCIÓN.
a) En las multiplicaciones y en las divisiones, el número de cifras significativas del resultado que debemos dar no puede ser mayor que el número de cifras significativas del dato que tiene un número menor de cifras significativas. Al multiplicar $\bar{a}$ por $\bar{b}$ obtenemos $535\,135$, sin embargo el resultado que demos no puede tener más de $2$ c.s. ( que es el número de cifras significativas de $\bar{a}$ ), en consecuencia escribiremos ( aproximando a la cifra de las centenas de millar ) $$\bar{a} \cdot \bar{b} \approx 540\,000 \; ( 2\,\text{c.s.})$$
b) Por lo que se acaba de explicar, en las divisiones ocurre lo mismo; al dividir, $\bar{a}/\bar{b}$, obtenemos la siguiente cantidad, $34,55202893$, pero al tener que limitar el número de cifras significativas a $2$, el resultado que tendremos que dar ( aproximando, por tanto, por redondeo hasta la cifra de las unidades ) es $$\bar{a} / \bar{b} \approx 35 \; ( 2\,\text{c.s.})$$
c) En las sumas y restas, nos fijaremos en el número de cifras significativas de la parte decimal, a la hora de limitar el número de las cifras significativas que obtenemos, tal cual, del cálculo; el número de cifras decimales significativas ( c.d.s. ) del resultado que debemos dar no puede ser mayor que el número de cifras decimales significativas del dato que tiene un número menor de cifras decimales significativas. Al sumar $a$ ( $0$ c.d.s.) y $b$ ( $2$ c.d.s.) obtenemos $4\,424,45$, sin embargo el resultado que demos no puede tener más de $0$ c.d.s. ( que es el menor número de cifras decimales significativas que encontramos en los dos sumandos, esto es, de $a$ ), en consecuencia, y aproximando por redondeo a las unidades, escribiremos $$\bar{a} + \bar{b} \approx 4\,424\; ( 0\,\text{c.d.s.})$$
d) Como con las restas ocuurre lo mismo que con las sumas, al restar, tal cual, $a-b$ obtenemos $4\,175,55$, pero debemos limitar el número de cifras decimales significativas de este resultado -- de la misma manera que hemos explicado en el apartado anterior --, así ( aproximando por redondeo a las unidades ) que $$\bar{a} - \bar{b} \approx 4\,176\; ( 0\,\text{c.d.s.})$$
$\square$
Estimación de una cota de error relativo
ENUNCIADO. Mediante un metro de carpintero, se han tomado las medidas de los lados desiguales de una tabla rectangular, $a$ y $b$, obteniendo $\bar{a}=81\,\text{cm}$ y $\bar{b}=26\,\text{cm}$, respectivamente. Asígnese, de manera razonada, una cota de error absoluto para cada una de las dos medidas, y, a continuación, estímense las respectivas cotas de error relativo. ¿ Cuál de las dos medidas es la que tiene más precisión ?
SOLUCIÓN. Las divisiones más pequeñas del instrumento de medida ( metro de carpintero ) son los milímetros, por tanto las cotas de error absoluto son $\Delta_a = \Delta_b = 0,1\,\text{cm}$
A partir de estas cotas de error absoluto, veamos ahora unas cotas de error relativo; para ello, debemos recordar ( de lo explicado en clase, que al desconocer el valor exacto de una cantidad -- y por tanto, también el error absoluto de la misma --, podemos realizar la siguiente estimación para la cota de error relativo $$\varepsilon_x \overset{\text{def}}{\sim} \dfrac{\Delta_x}{\bar{x}-\Delta_x}$$
Entonces, $$\varepsilon_a \sim \dfrac{\Delta_a}{\bar{a}-\Delta_a}$$ donde $\bar{a}=81\,\text{cm}$ luego $$\varepsilon_a = \dfrac{0,1}{81-0,1}\approx 0,002=2\,\%$$ y $$\varepsilon_b \sim \dfrac{\Delta_b}{\bar{b}-\Delta_b}$$ donde $\bar{b}=26\,\text{cm}$ luego $$\varepsilon_b = \dfrac{0,1}{26-0,1}\approx 0,004=4\,\%$$
En consecuencia, teniendo en cuenta que el error relativo de la medida de $a$ es menor que el error relativo de la medida de $b$, concluimos que hay más precisión en la medida de $a$.
$\square$
SOLUCIÓN. Las divisiones más pequeñas del instrumento de medida ( metro de carpintero ) son los milímetros, por tanto las cotas de error absoluto son $\Delta_a = \Delta_b = 0,1\,\text{cm}$
A partir de estas cotas de error absoluto, veamos ahora unas cotas de error relativo; para ello, debemos recordar ( de lo explicado en clase, que al desconocer el valor exacto de una cantidad -- y por tanto, también el error absoluto de la misma --, podemos realizar la siguiente estimación para la cota de error relativo $$\varepsilon_x \overset{\text{def}}{\sim} \dfrac{\Delta_x}{\bar{x}-\Delta_x}$$
Entonces, $$\varepsilon_a \sim \dfrac{\Delta_a}{\bar{a}-\Delta_a}$$ donde $\bar{a}=81\,\text{cm}$ luego $$\varepsilon_a = \dfrac{0,1}{81-0,1}\approx 0,002=2\,\%$$ y $$\varepsilon_b \sim \dfrac{\Delta_b}{\bar{b}-\Delta_b}$$ donde $\bar{b}=26\,\text{cm}$ luego $$\varepsilon_b = \dfrac{0,1}{26-0,1}\approx 0,004=4\,\%$$
En consecuencia, teniendo en cuenta que el error relativo de la medida de $a$ es menor que el error relativo de la medida de $b$, concluimos que hay más precisión en la medida de $a$.
$\square$
viernes, 1 de junio de 2018
Un ejercicio de estadística básica para calcular algunos parámetros estadísticos, empleando las utilidades de la calculadora científica básica
ENUNCIADO.
SOLUCIÓN. Empleando las utilidades estadísticas de la calculadora científica básica ( pongamos que una Casio fx 82 MS ), lo primero que tenemos que hacer es seleccionar el modo de cálculo estadístico en una variable: MODE 1
A continuación, hay que entrar la marca de clase de cada intervalo ( el punto medio de cada intervalo ) y la frecuencia que le corresponda y que figura en la tabla, esto es:
20;4 M+
30;12 M+
40;19 M+
50;8 M+
60;3 M+
Finalmente, basta con consultar el valor de los parámetros pedidos en la calculadora, mediante:
S-VAR
(1) -> $\bar{x}=46$
(2) -> $s \approx 10,1$
Nota:
Recordemos la definición de los parámetros estadísticos pedidos:
$$\displaystyle \bar{x}\overset{\text{def}}{=} \displaystyle \dfrac{\sum_{i=1}^{5}\,x_i\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}$$
$$\displaystyle s\overset{\text{def}}{=} \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{5}(\,x_{i}-\bar{x})^2\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}}=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{5}\,x_{i}{^2}\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}-\bar{x}^2}$$
donde el número total de valores es $$N=\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,n_i$$ representando $x_i$ las respectivas marcas de clase.
$\square$
SOLUCIÓN. Empleando las utilidades estadísticas de la calculadora científica básica ( pongamos que una Casio fx 82 MS ), lo primero que tenemos que hacer es seleccionar el modo de cálculo estadístico en una variable: MODE 1
A continuación, hay que entrar la marca de clase de cada intervalo ( el punto medio de cada intervalo ) y la frecuencia que le corresponda y que figura en la tabla, esto es:
------------------------------------
------------------------------------
marca de clase | frecuencia absoluta
------------------------------------
20 | 4
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30 | 12
------------------------------------
40 | 19
------------------------------------
50 | 8
------------------------------------
60 | 3
------------------------------------
20;4 M+
30;12 M+
40;19 M+
50;8 M+
60;3 M+
Finalmente, basta con consultar el valor de los parámetros pedidos en la calculadora, mediante:
S-VAR
(1) -> $\bar{x}=46$
(2) -> $s \approx 10,1$
Nota:
Recordemos la definición de los parámetros estadísticos pedidos:
$$\displaystyle \bar{x}\overset{\text{def}}{=} \displaystyle \dfrac{\sum_{i=1}^{5}\,x_i\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}$$
$$\displaystyle s\overset{\text{def}}{=} \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{5}(\,x_{i}-\bar{x})^2\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}}=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{5}\,x_{i}{^2}\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}-\bar{x}^2}$$
donde el número total de valores es $$N=\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,n_i$$ representando $x_i$ las respectivas marcas de clase.
$\square$
Otro ejercicio de probabilidad compuesta
ENUNCIADO. Una urna contiene 2 bolas amarillas, 6 bolas verdes y 7 bolas negras. Se extraen tres bolas de la urna, una tras otra, sin devolver las bolas que se van sacando de la urna. Calcúlese la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean del mismo color.
SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $2+6+7=15$ bolas. La probabilidad pedida es igual a la probabilidad del suceso contrario ( la de haber entre las tres bolas extraídas al menos una que sea de un color distinto a las otras dos ); así pues, primero calcularemos la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, y, finalmente, restaremos esa probabilidad de la probabilidad total, esto es, de $1$.
Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción depende del resultado de la anterior ( extracciones dependientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean amarillas es igual a $$\dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{2-1}{15-1} \cdot \dfrac{2-2}{15-2}=0$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean verdes es igual a $$\dfrac{6}{15}\cdot \dfrac{6-1}{15-1} \cdot \dfrac{6-2}{15-2}=\dfrac{4}{91}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{7}{15}\cdot \dfrac{7-1}{15-1} \cdot \dfrac{7-2}{15-2}=\dfrac{1}{13}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( amarillas, verdes o bien negras ) es igual a $$0+\dfrac{4}{91}+\dfrac{1}{13}=\dfrac{11}{91}$$ Luego la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color es igual a $$1-\dfrac{11}{91}=\dfrac{80}{91}$$
$\square$
SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $2+6+7=15$ bolas. La probabilidad pedida es igual a la probabilidad del suceso contrario ( la de haber entre las tres bolas extraídas al menos una que sea de un color distinto a las otras dos ); así pues, primero calcularemos la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, y, finalmente, restaremos esa probabilidad de la probabilidad total, esto es, de $1$.
Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción depende del resultado de la anterior ( extracciones dependientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean amarillas es igual a $$\dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{2-1}{15-1} \cdot \dfrac{2-2}{15-2}=0$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean verdes es igual a $$\dfrac{6}{15}\cdot \dfrac{6-1}{15-1} \cdot \dfrac{6-2}{15-2}=\dfrac{4}{91}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{7}{15}\cdot \dfrac{7-1}{15-1} \cdot \dfrac{7-2}{15-2}=\dfrac{1}{13}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( amarillas, verdes o bien negras ) es igual a $$0+\dfrac{4}{91}+\dfrac{1}{13}=\dfrac{11}{91}$$ Luego la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color es igual a $$1-\dfrac{11}{91}=\dfrac{80}{91}$$
$\square$
Un ejercicio de probabilidad compuesta
ENUNCIADO. Una urna contiene 3 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5 bolas negras. Se extraen tres bolas de la urna, una tras otra, devolviendo las bolas que se van sacando a la urna antes de extraer la siguiente bola. Calcúlese la probabilidad de que las tres bolas extraídas no sean del mismo color.
SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $3+4+5=12$ bolas. Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción no depende del resultado de la anterior ( extracciones independientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean blancas es igual a $$\dfrac{3}{12}\cdot \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{64}$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean rojas es igual a $$\dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{27}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{12}=\dfrac{125}{1728}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( blancas, rojas o negras ) es igual a $$\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{125}{1728}=\dfrac{1}{8}$$
$\square$
SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $3+4+5=12$ bolas. Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción no depende del resultado de la anterior ( extracciones independientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean blancas es igual a $$\dfrac{3}{12}\cdot \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{64}$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean rojas es igual a $$\dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{27}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{12}=\dfrac{125}{1728}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( blancas, rojas o negras ) es igual a $$\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{125}{1728}=\dfrac{1}{8}$$
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