Un ejercicio de composición de funciones

ENUNCIADO. Dadas las funciones $f(x)=2x-1$ y $g(x)=-3x+5$, se pide:
a) La función ge compuesta con efe, $f \circ g$
b) La función efe compuesta con ge, $g \circ f$
c) ¿ Se puede decir que la operación composición de funciones es conmutativa ?

SOLUCIÓN.

Ejercicios resueltos y comentados del examen de recuperación del 2.º trimestre ( temas 6,7,8 y 9) realizado el miércoles 19/04/2017

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Dados dos puntos del plano, encontrar la recta que pasa por los mismos

ENUNCIADO. Sea una recta $r$ del plano que pasa por los puntos $A(1,1)$ y $B(3,5)$. Se pide:
a) Dibújese dicha recta en un sistema de coordenadas cartesiano
b) Las coordenadas cartesianas de un vector ( componentes ) director de la recta $r$
c) Una ecuación vectorial de la recta
d) Una ecuación de la recta en forma paramétrica
e) Una ecuación de la recta en forma continua
f) La ecuación de la recta en forma explícita
g) La ecuación de la recta en forma general o implícita
h) Determínese la pendiente de la recta
i) Una ecuación de la recta en forma punto-pendiente

SOLUCIÓN.

COMENTARIO: En el vídeo me he olvidado de hacer el siguiente comentario acerca de la noción de pendiente de una recta ( grado de inclinación de la misma ): la pendiente $m$ corresponde al valor de la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas; y ello, simplemente, atendiendo a la definición de la razón tangente de un ángulo ( véase la forma alternativa de resolución del apartado h, en el vídeo ), esto es $$m=\tan\,\angle(Ox^+,r)$$

Un ejercicio de suma de vectores en el plano

ENUNCIADO. Sean los vectores $\vec{u}=(2,1)$, $\vec{v}=(1,3)$ y $\vec{w}=(-6,-\frac{1}{2})$. Se pide:
a) Calcular las componentes del vector suma $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$
b) Realizar la operación de suma $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ de forma gráfica

SOLUCIÓN.

Aplicación de la trigonometría básica a un problema de medida indirecta

ENUNCIADO. En un claro del bosque cuyo suelo es horizontal, un observador situado a una cierta distancia del pie de un árbol, observa el punto más alto del mismo bajo un ángulo de $70^\circ$ ( midiendo dicho ángulo con un inclinómetro ). La altura del ojo del observador al suelo es de $1$ metro ( se sienta en una silla plegable cada vez que realiza una medida del ángulo de elevación de la visual ). A continuación, el observador se aleja $30$ metros del punto donde se encontraba, de manera que desde el segundo punto donde se sitúa ahora, permanezca enfilada la primera posición de observación con el pie del árbol. Desde esta nueva posición, vuelve a observar el punto más elevado del árbol, midiendo ( con el inclinómetro ) un ángulo de $25^\circ$. Calcúlese la distancia que le separaba del pie del árbol en la primera posición de observación así como la altura del árbol.

SOLUCIÓN. Un problema muy similar ( con otros datos ) está resuelto y comentado en [esta otra entrada del blog].

Vectores en el plano

ENUNCIADO. Sea el vector libre $\vec{u}$ cuyas coordenadas cartesianas ( o componenentes ) son $(-2,-1)$ Se pide:
a) El módulo $\left\| \vec{u}\right\|$ del vector $\vec{u}$
b) El ángulo polar $\alpha$ de $\vec{u}$

SOLUCIÓN.

Resolución de un sistema de inecuaciones con dos variables

ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de inecuaciones y represéntese la región del plano que corresponde a su solución:
$$\left\{\begin{matrix}y&\le& x&+&1\\ y&\ge& -x&+&1 \\ x&\le&1 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.

Resolviendo inecuaciones

ENUNCIADO. Resolver las siguientes inecuaciones y representar las respectivas soluciones en la recta numérica, expresándolas también en el lenguaje algebraico así como en el de los intervalos:
a) $\left|x-1\right|> 2$
b) $\left|x-2\right|\le 1$
c) $(x-1)^2-3 \ge 0$
d) $\dfrac{x+1}{1-x} > 0$

SOLUCIÓN.

Resolviendo ecuaciones trigonométricas

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica, para $x$ tales que $0^\circ \le x \le 360^\circ$ $$\cos^2\,x-\sin^2\,x=1$$
SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta la identidad fundamental $\sin^2\,x+\cos^2\,x=1$, podemos escribir el $\sin^\,x$ en función del $\cos^2\,x$, de la forma $\sin^2\,x=1-\cos^2\,x$.; y sustituyendo en la ecuación pedida, obtenemos la ecuación equivalente $$\cos^2\,x-(1-\cos^2\,x)=1$$ y simplificando, $$cos^2\,x=1$$ con lo cual $$\cos\,x=\sqrt{1}=\pm1$$ Por lo tanto, si $\cos\,x=+1$, entonces $x=0^\circ$ ( o, lo que es equivalente, $x=360^\circ$ ), y si $\cos\,x=-1$ se deduce de ello que $x=180^\circ$. $\square$

Ecuación de la recta en forma continua, dados dos puntos de la misma

-oOo-Haciendo clic en el siguiente enlace podrás acceder a la construcción, cambiando el valor de los datos:
[Ecuación de la recta en forma continua que pasa por dos puntos dados]
$\square$