Determinando el dominio de definición y el conjunto imagen ( recorrido ) de una función

ENUNCIADO. Representar la gráfica de la función $f(x)=\left|\sqrt{x+1}\right|-3$ y determinar el dominio de existencia de la función y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la misma.

SOLUCIÓN.

Funciones cuadráticas

ENUNCIADO.
1. Determinar la ecuación de una parábola a partir de la siguiente información:
  i) El punto de corte de la parábola con el eje de ordenadas es $A(0,2)$
  ii) Los puntos $B(1,3)$ y $C(3,-2)$ pertenecen también a la curva
2. A partir de la ecuación de la parábola, determinar la recta de simetría y las coordenadas del vértice

SOLUCIÓN.

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 7,8 y 9, realizado el viernes 10/03/2017

[1|2|3|4|5]

Trigonometría. Medidas indirectas

ENUNCIADO. En un claro del bosque cuyo suelo es horizontal, un observador situado a una cierta distancia del pie de un árbol, observa el punto más alto del mismo bajo un ángulo de $60^\circ$ ( midiendo dicho ángulo con un inclinómetro ). La altura del ojo del observador al suelo es de $1$ metro ( se sienta en una silla plegable cada vez que realiza una medida del ángulo de elevación de la visual ). A continuación, el observador se aleja $12$ metros del punto donde se encontraba, de manera que desde el segundo punto donde se sitúa ahora, permanezca enfilada la primera posición de observación con el pie del árbol. Desde esta nueva posición, vuelve a observar el punto más elevado del árbol, midiendo ( con el inclinómetro ) un ángulo de $30^\circ$. Calcúlese la distancia que le separaba del pie del árbol en la primera posición de observación así como la altura del árbol.

SOLUCIÓN.

Operaciones con vectores

ENUNCIADO. Sean los vectores $\vec{v}=(-2,1)$, $\vec{w}=(5,2)$ y $\vec{t}=(-1,-3)$. Se pide:
a) Calcular las componentes del vector que resulta de la siguiente operación combinada $3\,\vec{v}+4\,\vec{w}-2\,\vec{t}$
b) Realizar la siguiente suma $\vec{v}+\vec{w}+\vec{t}$ de forma gráfica

SOLUCIÓN.

Representación polar de un vector en el plano

ENUNCIADO. Sea el vector $\vec{u}=(-1,2)$ Se pide:
a) El módulo $\left\| \vec{u}\right\|$
b) El ángulo polar $\alpha$ de $\vec{u}$

SOLUCIÓN.

Resolviendo ecuaciones trigonométricas

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas, para $$0^\circ \le x \le 360^\circ$$
a) $\cos\,x=\tan\,x$
b) $\sin^2\,x-\cos^2\,x=\dfrac{1}{4}$

SOLUCIÓN.

Ecuación de una recta en el plano

ENUNCIADO. Sea una recta $r$ del plano que pasa por los puntos $A(4,-3)$ y $B(7,2)$. Se pide:
a) Dibújese dicha recta en un sistema de coordenadas cartesiano
b) Las componentes de un vector director de la recta $r$
c) La ecuación vectorial de la recta
d) La ecuación de la recta en forma paramétrica
e) La ecuación de la recta en forma continua
f) La ecuación de la recta en forma explícita
g) La ecuación de la recta en forma general o implícita
i) La pendiente de la recta
h) La ecuación de la recta en forma punto-pendiente}
k) El ángulo que forma dicha recta con el semieje positivo de abscisas

SOLUCIÓN. La solución se expone en la siguiente lista de reproducción, que consta de tres vídeos:

Determinando la ecuación de una circunferencia conociendo su centro y un punto de la misma

ENUNCIADO. Determínese la ecuación de la circunferencia de centro $A(1,2)$ sabiendo que el punto $P(3,5)$ pertenece a su lugar geométrico.

SOLUCIÓN.
En este otro vídeo doy más aclaraciones:

Distancia euclídea entre dos puntos del plano

ENUNCIADO. Calcular la distancia euclídea entre los puntos $A(1,3)$ y $B(-1,5)$

SOLUCIÓN. Representemos los puntos $O$, $A$ $B$; los vectores de posición $\overset{\longrightarrow}{OA}$, $\overset{\longrightarrow}{OB}$, y el vector $\overset{\longrightarrow}{AB}$

Entonces $$\text{distancia}(A,B)\overset{\text{def}}{=}\left\| \overset{\longrightarrow}{AB} \right\|$$ y teniendo en cuenta que $$\overset{\longrightarrow}{AB}=\overset{\longrightarrow}{OB}-\overset{\longrightarrow}{OA}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$$ siendo $O(0,0)$ el origen de coordenadas, resulta que $$\text{distancia}(A,B)=\left|\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\right|$$ así que con los datos del problema obtenemos $$\text{distancia}(A,B)=\left|\sqrt{(-1-1)^2+(5-3)^2}\right|=2\,\left|\sqrt{2}\right|$$
$\square$

Rectas en el plano

ENUNCIADO. Sea una recta $r$ del plano que pasa por el punto $A(1,3)$ y cuyo vector director es $\vec{v}=(1,2)$. Se pide:
a) La ecuación vectorial de la recta
b) La ecuación de la recta en forma paramétrica
c) La ecuación de la recta en forma continua
d) La ecuación de la recta en forma implícita
e) La ecuación de la recta en forma explícita
f) La pendiente de la recta
g) La ecuación de la recta en forma punto-pendiente
h) El ángulo que forma dicha recta con la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero.

SOLUCIÓN.

Resolviendo ecuaciones trigonométricas

ENUNCIADO. Resolver la ecuación trigonométrica $$\sin\,x = \tan\,x$$ para $$0^\circ \le x \le 360^\circ$$

SOLUCIÓN.

Medidas indirectas

ENUNCIADO. En un claro del bosque cuyo suelo es horizontal, un observador situado a una cierta distancia del pie de un árbol, observa el punto más alto del mismo bajo un ángulo de $70^\circ$ ( midiendo dicho ángulo con un inclinómetro ). La altura del ojo del observador al suelo es de $1$ metro ( se sienta en una silla plegable cada vez que realiza una medida del ángulo de elevación de la visual ). A continuación, el observador se aleja $15$ metros del punto donde se encontraba, de manera que desde el segundo punto donde se sitúa ahora, permanezca enfilada la primera posición de observación con el pie del árbol. Desde esta nueva posición, vuelve a observar el punto más elevado del árbol, midiendo ( con el inclinómetro ) un ángulo de $40^\circ$. Calcúlese la distancia que le separaba del pie del árbol en la primera posición de observación así como la altura del árbol.

SOLUCIÓN.