ENUNCIADO. Demostrar que $\sqrt{2}$ no es un número racional
SOLUCIÓN. Vamos a utilizar el método de demostración por contradicción. Supongamos lo contrario de lo queremos demostrar: $\sqrt{2}$ sí es un número racional. Entonces existen $m,n \in \mathbb{N}$ tales que $\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$ siendo $\text{mcd}(m,n)=1$ ( la fracción es irreducible ). De ahí se deduce que, elevando al cuadrado los dos miembros, $2\,n^2=m^2 \quad \quad (1)$, lo cual significa que $m^2$ es múltiplo de $2$, así que $m$ también debe ser un múltiplo de $2$, por lo tanto existe $p \in \mathbb{N}$ tal que $m=2\,p \quad \quad (2)$.
Sustituyendo $m$ de (2) en (1) llegamos a $$2\,n^2=(2p)^2$$ esto es $$2\,n^2=4p^2$$ y por tanto $$n^2=2\,p^2$$ pero ésto quiere decir que $n^2$ es múltiplo de $2$ y, por consiguiente, también $n$ ha de ser múltiplo de $2$. Llegados a este punto, recopilemos lo que hemos encontrado: $n$ y $m$ son múltiplos de $2$, de lo cual deducimos que $\text{mcd}(n,m)\neq 1$. Pero ésto contradice la suposición inicial, así que debemos negarla, quedando de esta forma demostrada la afirmación del enunciado. $\square$
miércoles, 28 de septiembre de 2016
sábado, 17 de septiembre de 2016
Recuentos combinatorios empleando el método constructivo
ENUNCIADO. Se consideran las cifras $\{0,2,3,5,7\}$. Calcular el número de números enteros positivos, menores que $7777$, que se pueden formar respetando, además, las condiciones que se indican para cada uno de los siguientes casos:
a) que sean pares y menores que $5000$
b) que sean pares y menores que $3000$
c) que sean pares, menores que $5000$ y mayores o iguales que $3000$
SOLUCIÓN. Emplearemos el método constructivo en todos y cada uno de los apartados.
a)
Podemos elegir la cifra de la unidades de millar entre el conjunto $\{0,2,3\}$, teniendo por tanto $3$ posibilidades de elección para esta cifra. La cifra de las centenas y la de las decenas podemos elegirlas entre todas las cifras del conjunto $\{0,2,3,5,7\}$, luego hay $5$ posibilidades de elección para cada una; finalmente, la cifra de las unidades sólo puede elegirse entre $\{0,2\}$ pues los números a construir han de ser pares. Así pues, por el principio multiplicativo del recuento, hay un total de $3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2=150$ números que reúnen las condiciones pedidas en el primer apartado.
b)
Debemos ahora elegir la cifra de la unidades de millar entre el conjunto $\{0,2\}$, teniendo por tanto $2$ posibilidades de elección para esta cifra. La cifra de las centenas y la de las decenas podemos elegirlas entre todas las cifras del conjunto $\{0,2,3,5,7\}$ ( igual que en el primer apartado ), luego hay $5$ posibilidades de elección para cada una; finalmente, y también como en el primer apartado, la cifra de las unidades sólo puede elegirse entre $\{0,2\}$ pues los números a construir han de ser pares. Así pues, por el principio multiplicativo del recuento, hay un total de $2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2=100$ números que reúnen las condiciones pedidas en el segundo apartado.
c)
Restando los resultados de los dos apartados anteriores, vemos que hay $150-100=50$ números que cumplen la condición del tercer apartado.
$\square$
a) que sean pares y menores que $5000$
b) que sean pares y menores que $3000$
c) que sean pares, menores que $5000$ y mayores o iguales que $3000$
SOLUCIÓN. Emplearemos el método constructivo en todos y cada uno de los apartados.
a)
Podemos elegir la cifra de la unidades de millar entre el conjunto $\{0,2,3\}$, teniendo por tanto $3$ posibilidades de elección para esta cifra. La cifra de las centenas y la de las decenas podemos elegirlas entre todas las cifras del conjunto $\{0,2,3,5,7\}$, luego hay $5$ posibilidades de elección para cada una; finalmente, la cifra de las unidades sólo puede elegirse entre $\{0,2\}$ pues los números a construir han de ser pares. Así pues, por el principio multiplicativo del recuento, hay un total de $3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2=150$ números que reúnen las condiciones pedidas en el primer apartado.
b)
Debemos ahora elegir la cifra de la unidades de millar entre el conjunto $\{0,2\}$, teniendo por tanto $2$ posibilidades de elección para esta cifra. La cifra de las centenas y la de las decenas podemos elegirlas entre todas las cifras del conjunto $\{0,2,3,5,7\}$ ( igual que en el primer apartado ), luego hay $5$ posibilidades de elección para cada una; finalmente, y también como en el primer apartado, la cifra de las unidades sólo puede elegirse entre $\{0,2\}$ pues los números a construir han de ser pares. Así pues, por el principio multiplicativo del recuento, hay un total de $2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2=100$ números que reúnen las condiciones pedidas en el segundo apartado.
c)
Restando los resultados de los dos apartados anteriores, vemos que hay $150-100=50$ números que cumplen la condición del tercer apartado.
$\square$
miércoles, 14 de septiembre de 2016
Sentando personas en una fila de butacas
ENUNCIADO. Un grupo amigos formado por tres chicos y tres chicas se sientan en una fila de seis butacas. ¿ De cuántas maneras pueden sentarse de forma que no haya dos chicas ni dos chicos consecutivos ?
SOLUCIÓN.
Vamos a resolver el problema siguiendo un procedimiento constructivo y aplicando el principio multiplicativo del recuento. Para ello, y siguiendo un orden, debemos pensar ( simular ) de cuántas maneras podemos ocupar cada una de las butacas de la fila, teniendo en cuenta la condición del enunciado ( no puede haber dos chicos ni dos chicas sentados en butacas consecutivas ). El orden que seguiremos en la asignación de butaca para ir llenando la fila será de izquierda a derecha ( llegaríamos al mismo resultado si cambiásemos el orden yendo de derecha a izquierda ).
Consideremos la primera butaca de la fila; en ella pueden sentarse cualquiera de las seis personas, ya se trate de un chico o bien de una chica, por lo que tenemos $\mathbb{6}$ posibilidades de elección para este primer asiento. La segunda butaca sólo puede ser ocupada por tres de las personas de género opuesto al de la persona que ha ocupado la primera butaca, luego hay $\mathbb{3}$ posibilidades de elección para este segundo asiento. La tercera butaca tendrá que ser ocupada por una persona del mismo género que el de la persona que ocupa la primera, luego sólo hay $2$ elecciones posibles para ese asiento ( ya que una de las tres, sea chico o bien sea chica, ya está sentada ). Para la cuarta butaca, tendremos otras $\mathbb{2}$ elecciones posibles, pues ya se ha sentado una persona de género opuesto al de la persona sentada en la segunda butaca. Así, para la quinta y para la sexta butacas, sólo hay $\mathbb{1}$ elección posible para cada una de ellas, que corresponde a la única persona de cada género, que quedan aún por sentarse.
Entonces, por el principio de multiplicación, el grupo se puede sentar de $6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 72$ maneras posibles, respetando la condición dada en el enunciado. $\square$
SOLUCIÓN.
Vamos a resolver el problema siguiendo un procedimiento constructivo y aplicando el principio multiplicativo del recuento. Para ello, y siguiendo un orden, debemos pensar ( simular ) de cuántas maneras podemos ocupar cada una de las butacas de la fila, teniendo en cuenta la condición del enunciado ( no puede haber dos chicos ni dos chicas sentados en butacas consecutivas ). El orden que seguiremos en la asignación de butaca para ir llenando la fila será de izquierda a derecha ( llegaríamos al mismo resultado si cambiásemos el orden yendo de derecha a izquierda ).
Consideremos la primera butaca de la fila; en ella pueden sentarse cualquiera de las seis personas, ya se trate de un chico o bien de una chica, por lo que tenemos $\mathbb{6}$ posibilidades de elección para este primer asiento. La segunda butaca sólo puede ser ocupada por tres de las personas de género opuesto al de la persona que ha ocupado la primera butaca, luego hay $\mathbb{3}$ posibilidades de elección para este segundo asiento. La tercera butaca tendrá que ser ocupada por una persona del mismo género que el de la persona que ocupa la primera, luego sólo hay $2$ elecciones posibles para ese asiento ( ya que una de las tres, sea chico o bien sea chica, ya está sentada ). Para la cuarta butaca, tendremos otras $\mathbb{2}$ elecciones posibles, pues ya se ha sentado una persona de género opuesto al de la persona sentada en la segunda butaca. Así, para la quinta y para la sexta butacas, sólo hay $\mathbb{1}$ elección posible para cada una de ellas, que corresponde a la única persona de cada género, que quedan aún por sentarse.
Entonces, por el principio de multiplicación, el grupo se puede sentar de $6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 72$ maneras posibles, respetando la condición dada en el enunciado. $\square$
miércoles, 7 de septiembre de 2016
Un ejercicio de geometría analítica ( recta que pasa por dos puntos dados del plano )
ENUNCIADO. Los puntos del plano $A(1,5)$ y $B(1,4)$ están sobre una recta. Se pide:
a) Determinar la ecuación de la recta en forma explícita
b) Hallar el valor de la pendiente de dicha recta y el del ángulo que forma ésta con el eje de abscisas ( graduando los dos ejes de la misma forma )
c) Calcular el valor de la ordenada del punto de corte de la recta con el eje de ordenadas
SOLUCIÓN.
a) La abscisa es la misma en ambos puntos, luego la recta $r$ pedida es perpendicular al eje de abscisas y su ecuación es $r:x=1$
b) Al tratarse de una recta perpendicular al eje de abscisas, el ángulo que forma con el eje de abscisas es de $90^{\circ}$, luego la pendiente es infinita
c) La recta es paralela ( y no coincidente ) al eje de ordenadas, luego no lo corta.
$\square$
a) Determinar la ecuación de la recta en forma explícita
b) Hallar el valor de la pendiente de dicha recta y el del ángulo que forma ésta con el eje de abscisas ( graduando los dos ejes de la misma forma )
c) Calcular el valor de la ordenada del punto de corte de la recta con el eje de ordenadas
SOLUCIÓN.
a) La abscisa es la misma en ambos puntos, luego la recta $r$ pedida es perpendicular al eje de abscisas y su ecuación es $r:x=1$
b) Al tratarse de una recta perpendicular al eje de abscisas, el ángulo que forma con el eje de abscisas es de $90^{\circ}$, luego la pendiente es infinita
c) La recta es paralela ( y no coincidente ) al eje de ordenadas, luego no lo corta.
$\square$
Resolver los siguientes problemas de geometría ...
ºENUNCIADO. Resolver los siguientes problemas de geometría:
a) Calcular el volumen y el área lateral de un cono de base circular de $4$ decímetros de generatriz y de $3$ decímetros de radio de la base
b) Calcular el área del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de $3$ decímetros de radio
SOLUCIÓN.
a)
El volumen del cono es igual a una tercera parte del producto del área de la base ( que es un círculo de radio $3$ dm ) por la altura ( que denotamos por $h$ ), esto es $$V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 3^2\cdot h \quad \quad (1)$$ Es claro que tenemos que calcular $h$. Observando la figura vemos que, dado un punto cualquiera de la circunferencia de la base, la altura, la generatriz y el radio conforman un triángulo rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras, podemos escribir $4^2=3^2+h^2$, luego $h=\sqrt{4^3-3^2}=\sqrt{7}\,\text{dm}$. Así, de (1), obtenemos $V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\,3^2\cdot \sqrt{7}=3\,\pi\,\sqrt{7}\,\text{dm}^3$
El área lateral del cono viene dada por la fórmula $A_\ell=\pi\,r\,g$ ( justificada en clase ). Con los datos, obtenemos $A_\ell=\pi\cdot 3 \cdot 4 = 12 \,\pi\, \text{dm}^2$
b)
El área del triángulo inscrito en la circunferencia ( ver la figura de abajo ) es igual a un medio de la longitud del lado de la base por la altura correspondiente, esto es, $A=\dfrac{1}{2}\cdot 2y \cdot (3+x)=y\cdot(3+x) \quad \quad (2)$.
Utilizaremos el triángulo rectángulo que se aprecia en la figura para calcular $x$ e $y$.
Para ello emplearemos las razones trigonométricas seno y coseno ( NOTA: Podríamos incluso prescindir de la trigonometría elemental para calcular estas magnitudes ). Así, $y=3\cdot \cos\,30^{\circ}=\dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\, \text{dm}$ y $x=3\cdot \sin\,30^{\circ}=\dfrac{3}{2}\, \text{dm}$. Entonces, poniendo estos resultados en (2) obtenemos, $$A=\dfrac{3\,\sqrt{3}}{2} \cdot ( 3+\dfrac{3}{2} )=\dfrac{27\,\sqrt{3}}{4}\,\text{dm}^2$$
$\square$
a) Calcular el volumen y el área lateral de un cono de base circular de $4$ decímetros de generatriz y de $3$ decímetros de radio de la base
b) Calcular el área del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de $3$ decímetros de radio
SOLUCIÓN.
a)
El volumen del cono es igual a una tercera parte del producto del área de la base ( que es un círculo de radio $3$ dm ) por la altura ( que denotamos por $h$ ), esto es $$V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 3^2\cdot h \quad \quad (1)$$ Es claro que tenemos que calcular $h$. Observando la figura vemos que, dado un punto cualquiera de la circunferencia de la base, la altura, la generatriz y el radio conforman un triángulo rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras, podemos escribir $4^2=3^2+h^2$, luego $h=\sqrt{4^3-3^2}=\sqrt{7}\,\text{dm}$. Así, de (1), obtenemos $V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\,3^2\cdot \sqrt{7}=3\,\pi\,\sqrt{7}\,\text{dm}^3$
b)
El área del triángulo inscrito en la circunferencia ( ver la figura de abajo ) es igual a un medio de la longitud del lado de la base por la altura correspondiente, esto es, $A=\dfrac{1}{2}\cdot 2y \cdot (3+x)=y\cdot(3+x) \quad \quad (2)$.
Utilizaremos el triángulo rectángulo que se aprecia en la figura para calcular $x$ e $y$.
Para ello emplearemos las razones trigonométricas seno y coseno ( NOTA: Podríamos incluso prescindir de la trigonometría elemental para calcular estas magnitudes ). Así, $y=3\cdot \cos\,30^{\circ}=\dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\, \text{dm}$ y $x=3\cdot \sin\,30^{\circ}=\dfrac{3}{2}\, \text{dm}$. Entonces, poniendo estos resultados en (2) obtenemos, $$A=\dfrac{3\,\sqrt{3}}{2} \cdot ( 3+\dfrac{3}{2} )=\dfrac{27\,\sqrt{3}}{4}\,\text{dm}^2$$
$\square$
Cálculo de probabilidades en extracciones sucesivas de bolas de una urna
ENUNCIADO. En una urna hay $3$ bolas blancas y $5$ bolas negras. Se sacan, sucesivamente, tres bolas al azar. Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, en las siguientes condiciones de realización del experimento:
a) con reemplazamiento ( a la urna ) de las bolas que se van sacando
b) sin reemplazar las bolas que se van sacando
SOLUCIÓN
Denotemos por $B_i$ al suceso extraer bola blanca en la i-ésima extracciónn ( $i=1,2,3$ ) y por $N_i$ al suceso extraer bola negra en la i-ésima extracciónn ( $i=1,2,3$ ). Entonces, el sucesos extraer tres bolas del mismo color ( que denotamos por $C$ ) viene dado por $(B_1 \cap B_2 \cap B_3 ) \cup ( N_1 \cap N_2 \cap N_3 )$. Es claro que los sucesos $B_1 \cap B_2 \cap B_3$ y $N_1 \cap N_2 \cap N_3$ son disjuntos ( incompatibles ), luego $$P((B_1 \cap B_2 \cap B_3 ) \cup (N_1 \cap N_2 \cap N_3))=P(B_1 \cap B_2 \cap B_3 )+P(N_1 \cap N_2 \cap N_3)$$
a)
En las condiciones del primer apartado, $$P(B_1 \cap B_2 \cap B_3 )\overset{\text{s. independientes}}{=}P(B_1)\cdot P(B_2) \cdot P(B_3)=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{8}=\dfrac{27}{512}$$ y $$P(N_1 \cap N_2 \cap N_3 )\overset{\text{s. independientes}}{=}P(N_1)\cdot P(N_2)\cdot P(N_3)=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{5}{8}=\dfrac{125}{512}$$ por tanto $$P(C)=\dfrac{27}{512}+\dfrac{125}{512}=\dfrac{19}{64}\approx 29,7\,\%$$
NOTA 1: Si bien no es indispensable, puede ayudar la realización de un diagrama de árbol
OBSERVACIÓN 1. Otra forma de resolverlo consiste en emplear las fórmulas combinatorias y, directamente, el principio de Laplace. Esto se justifica considerando que cada bola -- sea blanca o negra -- tiene las mismas posibilidades de ser elegida, con lo cual, el espacio muestral está formado por sucesos equiprobables. Entonces $P(C) \overset{\text{Laplace}}{=} \dfrac{N(C)}{N}$. En el caso que nos ocupa, $N(C)=VR_{3,3}+VR_{5,3}=5^3+3^3=152$ y $N=VR_{5+3,3}=8^3=512$, por tanto $P(C)=\dfrac{152}{512}=\dfrac{19}{64} \approx 29,7\,\%$
b)
En las condiciones del segundo apartado, $$P(B_1 \cap B_2 \cap B_3 )\overset{\text{p. condicionada}}{=}P(B_1)\cdot P(B_2|B_1)\cdot P(B_3|B_1 \cap B_2)=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{56}$$ y $$P(N_1 \cap N_2 \cap N_3 )\overset{\text{p. condicionada}}{=}P(N_1)\cdot P(N_2|N_1)\cdot P(N_3|N_1 \cap N_2)=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6}=\dfrac{5}{28}$$ por tanto $$P(C)=\dfrac{1}{56}+\dfrac{5}{28}=\dfrac{11}{56}\approx 19,6\,\%$$
NOTA 2: Si bien no es indispensable, puede ayudar la realización de un diagrama de árbol
OBSERVACIÓN 2. Como hemos comentado en el primer apartado, otra forma de resolverlo pasa por empleando las fórmulas de combinatoria para aplicar el principio de Laplace: $P(C) \overset{\text{Laplace}}{=} \dfrac{N(C)}{N}$. En el caso que nos ocupa ahora, $N(C)=\binom{3}{3}+\binom{5}{3}$ y $N=\binom{5}{5+3}$, por tanto $P(C)=\dfrac{\binom{3}{3}+\binom{5}{3}}{\binom{5}{5+3}}=\dfrac{11}{56} \approx \binom{3}{3}+\binom{5}{3}$
$\square$
a) con reemplazamiento ( a la urna ) de las bolas que se van sacando
b) sin reemplazar las bolas que se van sacando
SOLUCIÓN
Denotemos por $B_i$ al suceso extraer bola blanca en la i-ésima extracciónn ( $i=1,2,3$ ) y por $N_i$ al suceso extraer bola negra en la i-ésima extracciónn ( $i=1,2,3$ ). Entonces, el sucesos extraer tres bolas del mismo color ( que denotamos por $C$ ) viene dado por $(B_1 \cap B_2 \cap B_3 ) \cup ( N_1 \cap N_2 \cap N_3 )$. Es claro que los sucesos $B_1 \cap B_2 \cap B_3$ y $N_1 \cap N_2 \cap N_3$ son disjuntos ( incompatibles ), luego $$P((B_1 \cap B_2 \cap B_3 ) \cup (N_1 \cap N_2 \cap N_3))=P(B_1 \cap B_2 \cap B_3 )+P(N_1 \cap N_2 \cap N_3)$$
a)
En las condiciones del primer apartado, $$P(B_1 \cap B_2 \cap B_3 )\overset{\text{s. independientes}}{=}P(B_1)\cdot P(B_2) \cdot P(B_3)=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{8}=\dfrac{27}{512}$$ y $$P(N_1 \cap N_2 \cap N_3 )\overset{\text{s. independientes}}{=}P(N_1)\cdot P(N_2)\cdot P(N_3)=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{5}{8}=\dfrac{125}{512}$$ por tanto $$P(C)=\dfrac{27}{512}+\dfrac{125}{512}=\dfrac{19}{64}\approx 29,7\,\%$$
NOTA 1: Si bien no es indispensable, puede ayudar la realización de un diagrama de árbol
OBSERVACIÓN 1. Otra forma de resolverlo consiste en emplear las fórmulas combinatorias y, directamente, el principio de Laplace. Esto se justifica considerando que cada bola -- sea blanca o negra -- tiene las mismas posibilidades de ser elegida, con lo cual, el espacio muestral está formado por sucesos equiprobables. Entonces $P(C) \overset{\text{Laplace}}{=} \dfrac{N(C)}{N}$. En el caso que nos ocupa, $N(C)=VR_{3,3}+VR_{5,3}=5^3+3^3=152$ y $N=VR_{5+3,3}=8^3=512$, por tanto $P(C)=\dfrac{152}{512}=\dfrac{19}{64} \approx 29,7\,\%$
b)
En las condiciones del segundo apartado, $$P(B_1 \cap B_2 \cap B_3 )\overset{\text{p. condicionada}}{=}P(B_1)\cdot P(B_2|B_1)\cdot P(B_3|B_1 \cap B_2)=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{56}$$ y $$P(N_1 \cap N_2 \cap N_3 )\overset{\text{p. condicionada}}{=}P(N_1)\cdot P(N_2|N_1)\cdot P(N_3|N_1 \cap N_2)=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6}=\dfrac{5}{28}$$ por tanto $$P(C)=\dfrac{1}{56}+\dfrac{5}{28}=\dfrac{11}{56}\approx 19,6\,\%$$
NOTA 2: Si bien no es indispensable, puede ayudar la realización de un diagrama de árbol
OBSERVACIÓN 2. Como hemos comentado en el primer apartado, otra forma de resolverlo pasa por empleando las fórmulas de combinatoria para aplicar el principio de Laplace: $P(C) \overset{\text{Laplace}}{=} \dfrac{N(C)}{N}$. En el caso que nos ocupa ahora, $N(C)=\binom{3}{3}+\binom{5}{3}$ y $N=\binom{5}{5+3}$, por tanto $P(C)=\dfrac{\binom{3}{3}+\binom{5}{3}}{\binom{5}{5+3}}=\dfrac{11}{56} \approx \binom{3}{3}+\binom{5}{3}$
$\square$
Ejercicios de combinatoria
ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos realizar lo siguiente:
a) Formar una comisión de $4$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $6$ personas
b) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con telas de $2$ colores
c) Escribir "palabras" con las letras de la palabra MISSISSIPI, de manera que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones de cada una que se dan en la palabra de referencia
d) Distribuir $5$ caramelos de sabores distintos entre $3$ personas
SOLUCIÓN.
a) No importa el orden de colocación de las personas elegidas para formar parte de la comisión y, obviamente, no podemos repetir personas en la elección, luego el problema es de combinaciones ordinarias. Así, tenemos $C_{6,4}=\binom{6}{4}=15$ maneras distintas de formar la comisión
b) Es posible repetir color a la hora de coser las franjas para elaborar una bandera y, por supuesto, es relevante el orden ( de izquierda a derecha ) en la disposición del color, luego el problema es de variaciones con repetición: $VR_{2,3}=2^3=8$. En otras palabras, podemos elegir dos colores para cada una de las tres franjas, luego por el principio de elecciones independientes tenemos $2 \cdot 2 \cdot 2= 8 $ banderas posibles.
c) La palabra de referencia ( MISSISSIPI ) consta de diez letras, entre las cuales hay algunas que aparecen repetidas. Además, es evidente que importa el orden de colocación de las letras a la hora de permutarlas para formar nuevas palabras, por tanto el tipo de problema es de permutaciones con elementos repetidos, por lo que el número pedido es $PR_{10}^{1,4,4,1}=\dfrac{10!}{1!\cdot 4! \cdot 4! \cdot 1!}=6300$ palabras
d)
Es evidente que puede haber distribuciones en las que alguna persona se quede sin caramelo/s, luego debemos pensar la situación asignando personas a cada uno de los tres caramelos. Para el primer caramelo tenemos tres posibilidades a la hora de asignarle propietario, y lo mismo para los otros cuatro caramelos. Entonces, por el principio multiplicativo, el número de maneras de distribuir el conjunto de caramelos es igual a $3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 $, es decir $VR_{3,5}=3^5=243$.
$\square$
a) Formar una comisión de $4$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $6$ personas
b) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con telas de $2$ colores
c) Escribir "palabras" con las letras de la palabra MISSISSIPI, de manera que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones de cada una que se dan en la palabra de referencia
d) Distribuir $5$ caramelos de sabores distintos entre $3$ personas
SOLUCIÓN.
a) No importa el orden de colocación de las personas elegidas para formar parte de la comisión y, obviamente, no podemos repetir personas en la elección, luego el problema es de combinaciones ordinarias. Así, tenemos $C_{6,4}=\binom{6}{4}=15$ maneras distintas de formar la comisión
b) Es posible repetir color a la hora de coser las franjas para elaborar una bandera y, por supuesto, es relevante el orden ( de izquierda a derecha ) en la disposición del color, luego el problema es de variaciones con repetición: $VR_{2,3}=2^3=8$. En otras palabras, podemos elegir dos colores para cada una de las tres franjas, luego por el principio de elecciones independientes tenemos $2 \cdot 2 \cdot 2= 8 $ banderas posibles.
c) La palabra de referencia ( MISSISSIPI ) consta de diez letras, entre las cuales hay algunas que aparecen repetidas. Además, es evidente que importa el orden de colocación de las letras a la hora de permutarlas para formar nuevas palabras, por tanto el tipo de problema es de permutaciones con elementos repetidos, por lo que el número pedido es $PR_{10}^{1,4,4,1}=\dfrac{10!}{1!\cdot 4! \cdot 4! \cdot 1!}=6300$ palabras
d)
Es evidente que puede haber distribuciones en las que alguna persona se quede sin caramelo/s, luego debemos pensar la situación asignando personas a cada uno de los tres caramelos. Para el primer caramelo tenemos tres posibilidades a la hora de asignarle propietario, y lo mismo para los otros cuatro caramelos. Entonces, por el principio multiplicativo, el número de maneras de distribuir el conjunto de caramelos es igual a $3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 $, es decir $VR_{3,5}=3^5=243$.
$\square$
Ejercicio de estadística descriptiva de una variables, con sus valores agrupados en clases
ENUNCIADO. Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma: $$10,12,21,29,28,32,36,38,41,44,50,51$$ $$19,18,25,22,21,37,32,35,46,46,50,42$$ $$17,14,25,25,24,33,38,39,47,41,44,56$$ $$35,34,37,30,33,35\phantom{00000000000000000}$$ Se pide:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas. A continuación, agrupar los valores en intervalos, todos ellos de amplitud igual a $10$, y determinar los siguientes parámetros estadísticos: moda, cuartiles, media,varianza, disviación estándar, coeficiente de variación, rango, y rango intercuartílico. Elaborar, también, los histogramas y el diagrama de caja y bigotes.
SOLUCIÓN.
Diagrama de tallo y hojas:
Si observamos el diagrama de tallo y hojas, y realizamos un estudio discreto del conjunto de datos, vemos que la distribución es bimodal, pues dos de los valores ( y no sólo uno ) se repiten con mayor frecuencia; éstos son $25$ y $35$. Ahora bien, es mucho más razonable que hagamos un estudio continuo de la distribución, agrupando los datos ( tal como se pide en el enunciado ).
A continuación mostramos la tabla de frecuencias ( y frecuencias acumuladas ) que resulta de la agrupación de los datos en los intervalos que figuran en la primera columna ( las marcas de clase son los números de la segunda columna ):
Así, vemos que la moda está en el intervalo $[30,40)$; precisando un poco más y empleando la semejanza de triángulos al trazar los segmentos que une el punto superior derecha (respectivamente, superior izquierda) del rectángulo de mayor altura con el punto inferior izquierda ( respectivamente, inferior derecha ).
La abscisa del punto de intersección de estos segmentos nos da el valor de la moda. Veamos qué resulta de los cálculos:
$$\dfrac{a}{15-9}=\dfrac{10-a}{15-12}$$ luego $$a=\dfrac{20}{3}$$ y, por tanto, la moda es igual aproximadamente ( la agrupación en clases no da resultados exactos ) a $$M_o \approx 30+a = 36,7$$
Diagrama de caja y bigotes:
A partir del estudio continuo ( datos agrupados en intervalos/classes ) y trabajando con el histograma de frecuencias acumuladas ( cuarta columna de la tabla ), obtenemos el siguiente resultado aproximado ( recordemos que al agrupar en intervalos, renunciamos a los resultados exactos ).
Se omiten los cálculos rutinarios de proporcionalidad con los triángulos semejantes ( similares al que se ha detallado arriba, para el cálculo de la moda ) que se forman al trabajar con la línea poligonal de frecuencias acumuladas, en el correspondiente histograma:
Nota: En la lista no hay datos atípicos, pues ninguno de ellos cumple alguna de estas condiciones: $$ x < Q_1-RIC$$ $$ x > Q_3+RIC$$
Se ve con claridad que el rango es igual a $56-10=46|$
El cálculo de los demás parámetros puede realizarse con ayuda de la calculadora científica, para ello debemos introducir las cuatro parejas (marca de clase, frecuencia respectiva) que tenemos anotadas ya en la tabla de frecuencias, y consultar los resultados en la calculadora.
Introducción de datos ( en una calculadora científica básica Casio fx-82MS ):
MODE 2 (modo estadístico con 1 variable )
15;6 M+
25;9 M+
35;15 M+
45;12 M+
Consultando los valores de los parámetros:
Tecleando S-VAR ( con los datos introducidos ). Se puede comprobar que aparecen los siguientes resultados [Nota: Conviene, sin embargo, escribir las definiciones de dichos parámetros ]
media: $\bar{x}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{4} x_i\,f_i\approx 32,9$
varianza: $s_{x}^2\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}\,f_i-(\bar{x})^2\approx 102,6$
desviación estándar: $s_x\overset{\text{def}}{=}\sqrt{s_{x}^2}\approx 10,1$
coeficiente de variación: $CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s_x}{\bar{x}} \approx 31\,\%$
$\square$
Elaborar el diagrama de tallo y hojas. A continuación, agrupar los valores en intervalos, todos ellos de amplitud igual a $10$, y determinar los siguientes parámetros estadísticos: moda, cuartiles, media,varianza, disviación estándar, coeficiente de variación, rango, y rango intercuartílico. Elaborar, también, los histogramas y el diagrama de caja y bigotes.
SOLUCIÓN.
Diagrama de tallo y hojas:
Si observamos el diagrama de tallo y hojas, y realizamos un estudio discreto del conjunto de datos, vemos que la distribución es bimodal, pues dos de los valores ( y no sólo uno ) se repiten con mayor frecuencia; éstos son $25$ y $35$. Ahora bien, es mucho más razonable que hagamos un estudio continuo de la distribución, agrupando los datos ( tal como se pide en el enunciado ).
A continuación mostramos la tabla de frecuencias ( y frecuencias acumuladas ) que resulta de la agrupación de los datos en los intervalos que figuran en la primera columna ( las marcas de clase son los números de la segunda columna ):
Así, vemos que la moda está en el intervalo $[30,40)$; precisando un poco más y empleando la semejanza de triángulos al trazar los segmentos que une el punto superior derecha (respectivamente, superior izquierda) del rectángulo de mayor altura con el punto inferior izquierda ( respectivamente, inferior derecha ).
La abscisa del punto de intersección de estos segmentos nos da el valor de la moda. Veamos qué resulta de los cálculos:
$$\dfrac{a}{15-9}=\dfrac{10-a}{15-12}$$ luego $$a=\dfrac{20}{3}$$ y, por tanto, la moda es igual aproximadamente ( la agrupación en clases no da resultados exactos ) a $$M_o \approx 30+a = 36,7$$
Diagrama de caja y bigotes:
A partir del estudio continuo ( datos agrupados en intervalos/classes ) y trabajando con el histograma de frecuencias acumuladas ( cuarta columna de la tabla ), obtenemos el siguiente resultado aproximado ( recordemos que al agrupar en intervalos, renunciamos a los resultados exactos ).
Se omiten los cálculos rutinarios de proporcionalidad con los triángulos semejantes ( similares al que se ha detallado arriba, para el cálculo de la moda ) que se forman al trabajar con la línea poligonal de frecuencias acumuladas, en el correspondiente histograma:
Se ve con claridad que el rango es igual a $56-10=46|$
El cálculo de los demás parámetros puede realizarse con ayuda de la calculadora científica, para ello debemos introducir las cuatro parejas (marca de clase, frecuencia respectiva) que tenemos anotadas ya en la tabla de frecuencias, y consultar los resultados en la calculadora.
Introducción de datos ( en una calculadora científica básica Casio fx-82MS ):
MODE 2 (modo estadístico con 1 variable )
15;6 M+
25;9 M+
35;15 M+
45;12 M+
Consultando los valores de los parámetros:
Tecleando S-VAR ( con los datos introducidos ). Se puede comprobar que aparecen los siguientes resultados [Nota: Conviene, sin embargo, escribir las definiciones de dichos parámetros ]
media: $\bar{x}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{4} x_i\,f_i\approx 32,9$
varianza: $s_{x}^2\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}\,f_i-(\bar{x})^2\approx 102,6$
desviación estándar: $s_x\overset{\text{def}}{=}\sqrt{s_{x}^2}\approx 10,1$
coeficiente de variación: $CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s_x}{\bar{x}} \approx 31\,\%$
$\square$
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