Cálculo de probabilidades en extracciones sucesivas de bolas de una urna

ENUNCIADO. En una urna hay $3$ bolas blancas y $5$ bolas negras. Se sacan, sucesivamente, tres bolas al azar. Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, en las siguientes condiciones de realización del experimento:
a) con reemplazamiento ( a la urna ) de las bolas que se van sacando
b) sin reemplazar las bolas que se van sacando

SOLUCIÓN
Denotemos por $B_i$ al suceso extraer bola blanca en la i-ésima extracciónn ( $i=1,2,3$ ) y por $N_i$ al suceso extraer bola negra en la i-ésima extracciónn ( $i=1,2,3$ ). Entonces, el sucesos extraer tres bolas del mismo color ( que denotamos por $C$ ) viene dado por $(B_1 \cap B_2 \cap B_3 ) \cup ( N_1 \cap N_2 \cap N_3 )$. Es claro que los sucesos $B_1 \cap B_2 \cap B_3$ y $N_1 \cap N_2 \cap N_3$ son disjuntos ( incompatibles ), luego $$P((B_1 \cap B_2 \cap B_3 ) \cup (N_1 \cap N_2 \cap N_3))=P(B_1 \cap B_2 \cap B_3 )+P(N_1 \cap N_2 \cap N_3)$$

a)
En las condiciones del primer apartado, $$P(B_1 \cap B_2 \cap B_3 )\overset{\text{s. independientes}}{=}P(B_1)\cdot P(B_2) \cdot P(B_3)=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{8}=\dfrac{27}{512}$$ y $$P(N_1 \cap N_2 \cap N_3 )\overset{\text{s. independientes}}{=}P(N_1)\cdot P(N_2)\cdot P(N_3)=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{5}{8}=\dfrac{125}{512}$$ por tanto $$P(C)=\dfrac{27}{512}+\dfrac{125}{512}=\dfrac{19}{64}\approx 29,7\,\%$$

NOTA 1: Si bien no es indispensable, puede ayudar la realización de un diagrama de árbol

OBSERVACIÓN 1. Otra forma de resolverlo consiste en emplear las fórmulas combinatorias y, directamente, el principio de Laplace. Esto se justifica considerando que cada bola -- sea blanca o negra -- tiene las mismas posibilidades de ser elegida, con lo cual, el espacio muestral está formado por sucesos equiprobables. Entonces $P(C) \overset{\text{Laplace}}{=} \dfrac{N(C)}{N}$. En el caso que nos ocupa, $N(C)=VR_{3,3}+VR_{5,3}=5^3+3^3=152$ y $N=VR_{5+3,3}=8^3=512$, por tanto $P(C)=\dfrac{152}{512}=\dfrac{19}{64} \approx 29,7\,\%$


b)
En las condiciones del segundo apartado, $$P(B_1 \cap B_2 \cap B_3 )\overset{\text{p. condicionada}}{=}P(B_1)\cdot P(B_2|B_1)\cdot P(B_3|B_1 \cap B_2)=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{56}$$ y $$P(N_1 \cap N_2 \cap N_3 )\overset{\text{p. condicionada}}{=}P(N_1)\cdot P(N_2|N_1)\cdot P(N_3|N_1 \cap N_2)=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6}=\dfrac{5}{28}$$ por tanto $$P(C)=\dfrac{1}{56}+\dfrac{5}{28}=\dfrac{11}{56}\approx 19,6\,\%$$

NOTA 2: Si bien no es indispensable, puede ayudar la realización de un diagrama de árbol

OBSERVACIÓN 2. Como hemos comentado en el primer apartado, otra forma de resolverlo pasa por empleando las fórmulas de combinatoria para aplicar el principio de Laplace: $P(C) \overset{\text{Laplace}}{=} \dfrac{N(C)}{N}$. En el caso que nos ocupa ahora, $N(C)=\binom{3}{3}+\binom{5}{3}$ y $N=\binom{5}{5+3}$, por tanto $P(C)=\dfrac{\binom{3}{3}+\binom{5}{3}}{\binom{5}{5+3}}=\dfrac{11}{56} \approx \binom{3}{3}+\binom{5}{3}$


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