Ejercicios de combinatoria

ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos realizar lo siguiente:
a) Formar una comisión de $4$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $6$ personas
b) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con telas de $2$ colores
c) Escribir "palabras" con las letras de la palabra MISSISSIPI, de manera que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones de cada una que se dan en la palabra de referencia
d) Distribuir $5$ caramelos de sabores distintos entre $3$ personas

SOLUCIÓN.
a) No importa el orden de colocación de las personas elegidas para formar parte de la comisión y, obviamente, no podemos repetir personas en la elección, luego el problema es de combinaciones ordinarias. Así, tenemos $C_{6,4}=\binom{6}{4}=15$ maneras distintas de formar la comisión

b) Es posible repetir color a la hora de coser las franjas para elaborar una bandera y, por supuesto, es relevante el orden ( de izquierda a derecha ) en la disposición del color, luego el problema es de variaciones con repetición: $VR_{2,3}=2^3=8$. En otras palabras, podemos elegir dos colores para cada una de las tres franjas, luego por el principio de elecciones independientes tenemos $2 \cdot 2 \cdot 2= 8 $ banderas posibles.

c) La palabra de referencia ( MISSISSIPI ) consta de diez letras, entre las cuales hay algunas que aparecen repetidas. Además, es evidente que importa el orden de colocación de las letras a la hora de permutarlas para formar nuevas palabras, por tanto el tipo de problema es de permutaciones con elementos repetidos, por lo que el número pedido es $PR_{10}^{1,4,4,1}=\dfrac{10!}{1!\cdot 4! \cdot 4! \cdot 1!}=6300$ palabras

d)
Es evidente que puede haber distribuciones en las que alguna persona se quede sin caramelo/s, luego debemos pensar la situación asignando personas a cada uno de los tres caramelos. Para el primer caramelo tenemos tres posibilidades a la hora de asignarle propietario, y lo mismo para los otros cuatro caramelos. Entonces, por el principio multiplicativo, el número de maneras de distribuir el conjunto de caramelos es igual a $3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 $, es decir $VR_{3,5}=3^5=243$.

$\square$