Resolver los siguientes problemas de geometría ...

ºENUNCIADO. Resolver los siguientes problemas de geometría:
a) Calcular el volumen y el área lateral de un cono de base circular de $4$ decímetros de generatriz y de $3$ decímetros de radio de la base
b) Calcular el área del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de $3$ decímetros de radio

SOLUCIÓN.
a)
El volumen del cono es igual a una tercera parte del producto del área de la base ( que es un círculo de radio $3$ dm ) por la altura ( que denotamos por $h$ ), esto es $$V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 3^2\cdot h \quad \quad (1)$$ Es claro que tenemos que calcular $h$. Observando la figura vemos que, dado un punto cualquiera de la circunferencia de la base, la altura, la generatriz y el radio conforman un triángulo rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras, podemos escribir $4^2=3^2+h^2$, luego $h=\sqrt{4^3-3^2}=\sqrt{7}\,\text{dm}$. Así, de (1), obtenemos $V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\,3^2\cdot \sqrt{7}=3\,\pi\,\sqrt{7}\,\text{dm}^3$

El área lateral del cono viene dada por la fórmula $A_\ell=\pi\,r\,g$ ( justificada en clase ). Con los datos, obtenemos $A_\ell=\pi\cdot 3 \cdot 4 = 12 \,\pi\, \text{dm}^2$

b)
El área del triángulo inscrito en la circunferencia ( ver la figura de abajo ) es igual a un medio de la longitud del lado de la base por la altura correspondiente, esto es, $A=\dfrac{1}{2}\cdot 2y \cdot (3+x)=y\cdot(3+x) \quad \quad (2)$.

Utilizaremos el triángulo rectángulo que se aprecia en la figura para calcular $x$ e $y$.

Para ello emplearemos las razones trigonométricas seno y coseno ( NOTA: Podríamos incluso prescindir de la trigonometría elemental para calcular estas magnitudes ). Así, $y=3\cdot \cos\,30^{\circ}=\dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\, \text{dm}$ y $x=3\cdot \sin\,30^{\circ}=\dfrac{3}{2}\, \text{dm}$. Entonces, poniendo estos resultados en (2) obtenemos, $$A=\dfrac{3\,\sqrt{3}}{2} \cdot ( 3+\dfrac{3}{2} )=\dfrac{27\,\sqrt{3}}{4}\,\text{dm}^2$$


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