A un cerezo subí, que cerezas tenía ...

ENUNCIADO. A un cerezo subí, que cerezas tenía; cerezas no cogí, y cerezas en el cerezo no dejé. ¿ Cuántas cerezas había en el cerezo antes de subir ?

SOLUCIÓN. De la frase cerezas tenía (se habla de cerezas), se deduce que el número de cerezas que tenía el cerezo era mayor que $1$. Por otra parte, de la frase cerezas no cogí ( no cogí más de una cereza ), se deduce que cogí $1$ o bien $0$ cerezas; pero, teniendo en cuenta, además, la frase cerezas en el cerezo no dejé ( no quedó en el cerezo más de una cereza ), tuve que coger exactamente $1$ cereza y dejar de coger exactamente $1$ cereza. Necesariamente, debí coger alguna cereza, pues, de lo contrario ( de no haber cogido ninguna ), habría quedado alguna cereza en el cerezo, en contra de lo que se dice en la tercera frase. Por consiguiente, en el cerezo había exactamente $2$ cerezas. $\square$

Efectuar el siguiente reparto proporcional

ENUNCIADO. Un empresario desea repartir una prima de $600,00$ euros entre tres trabajadores, de forma directamente proporcional al número de horas extras trabajadas por cada uno de ellos, que son: $1$, $2$ y $3$ horas, respectivamente. ¿ Cuánto corresponde a cada uno ?.

SOLUCIÓN. Denotamos por $x$, $y$ y $z$ a las partes correspondientes ( atendiendo a $1$, $2$ y $3$ horas extras, respectivamente ). Entonces, $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}$, que es igual a la constante de proporcionalidad, $k$, y que por la igualdad de las tres razones aritméticas ha de ser igual a $\dfrac{x+y+z}{1+2+3}$, siendo $x+y+z=600$; por tanto el valor de la constante de proporcionalidad es $k=\dfrac{600}{1+2+3}=\dfrac{600}{6}=100$.

Así,

$\dfrac{x}{1}=k$
$\dfrac{y}{2}=k$
$\dfrac{z}{3}=k$

y como $k=100$,

$\dfrac{x}{1}=100$
$\dfrac{y}{2}=100$
$\dfrac{z}{3}=100$

luego

$x=1\cdot 100= 100 \; \text{euros}$
$y=2\cdot 100= 200 \; \text{euros}$
$z=3\cdot 100= 300 \; \text{euros}$

$\square$

Resolver el siguiente sistema

ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix}
x -y=1 \\
xy=1
\end{matrix}\right. $$

ENUNCIADO. Despejando $y$ de la segunda ecuación, $y=1/x$. Sustituyendo, ahora, la expresión ( en $x$ ) de $y$ en la primera ecuación $$x-\dfrac{1}{x}=1$$ multiplicando por $x$ en ambos miembros $$x^2-x=x$$ esto es $$x^2-x-1=0$$ luego $$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
\\
\text{ó}
\\
\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.$$

Por tanto:
Si $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, $y=x-1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Si $x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$, $y=x-1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}-1=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

En conclusión, la solución del sistema viene dada por los siguientes pares de valores ($x$,$y$):
$\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\,,\,\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)$ y $\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\,,\,-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)$

$\square$

Encontrar los valores de x que cumplen las siguientes condiciones

ENUNCIADO. Resolver las siguientes inecuaciones:
a) $|x-1|\ge 1$
b) $x-1 < -x+1$

SOLUCIÓN.
a)
Por la definición de valor absoluto, distinguimos los siguientes casos:
i) Si $x-1\succ0, x-1 \ge 1$, luego $x \ge 2$
ii ) Si $x-1=0, 0 \ge 1$, lo cual es absurdo, y, por tanto, de este caso no extraemos información
iii) Si $x-1\prec 0, -(x-1) \ge 1$, y por tanto $x-1 \le -1 \Leftrightarrow x \le 0$, luego $x \ge 0$

Reuniendo la información de i) y iii), vemos que la solución viene dada por $(-\infty\,,\,0] \cup [2\,,\,+\infty)$, que también puede expresarse de la forma $\mathbb{R}\setminus (0\,,\,2)$

b)
$x-1 < -x+1 \Leftrightarrow x+x < 1+1 \Leftrightarrow 2x < 2 \Leftrightarrow x < 1$, por tanto la solución es la semirrecta $\{x \in \mathbb{R}: x <1 \}$, que, en el lenguaje de intervalos, puede expresarse de la forma $(-\infty\,,\,1) \subset \mathbb{R}$

$\square$

Resolver las siguientes ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $\sqrt{x-1}+1=x$
b) $x^4-5x^2-36=0$

SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt{x-1}+1=x$
  $\sqrt{x-1}=x-1$
    $(\sqrt{x-1} )^2=(x-1)^2$
      $x-1=(x-1)^2$     (1)
        $(x-1)^2-(x-1)=0$
          $(x-1)\left((x-1)-1\right)=0$
            $(x-1)(x-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x-1=0 \Leftrightarrow x=1
\\
\text{ó}
\\
x-2=0 \Leftrightarrow x=2
\end{matrix}\right.$

NOTA: Otra forma de proceder, a partir de (1), es la siguiente
      $x-1=(x-1)^2$
        $x-1=x^2-2x+1$
          $0=x^2-2x-x+1+1$
            $0=x^2-3x+2$
              $x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2 \cdot 1}=\dfrac{3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}
2
\\
\text{ó}
\\
1
\end{matrix}\right.$
Concluyendo. La solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{1\,,\,2\}$

b)
Como $x^4-5x^2-36=0$ puede escribirse de la forma $(x^2)^2-5x^2-36=0$, llamando $t$ a $x^2$, la ecuación dada se transforma en la ecuación de segundo grado $t^2-5t^2-36=0$; resolviéndola: $$t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm \sqrt{169}}{2}=\dfrac{5\pm 13}{2}=\left\{\begin{matrix}
9
\\
\text{ó}
\\
-4
\end{matrix}\right.$$
Finalmente, por ser $x^2=t$ tenemos que $x=\sqrt{t}$, luego encontramos los valores pedidos de $x$ razonando de la siguiente manera:
    Si $t=9$, $x=\sqrt{9}=\pm 3 $
    Si $t=-4$, $x=\sqrt{-4} \notin \mathbb{R}$
Concluimos, pues, que la solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{-3\,,\,3\}$

$\square$

Resolver las ecuaciones de segundo grado ...

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $x^2+5x+6=0$
b) $\dfrac{1}{x-1}=x+1$

SOLUCIÓN.

a)
$x^2+5x+6=0$
  $x=\dfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2\cdot 1}=\dfrac{-5\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}-2\\ \text{ó}\\-3\end{matrix}\right.$

b)
$\dfrac{1}{x-1}=x+1 \Leftrightarrow 1=(x-1)(x+1) \Leftrightarrow 1=x^2-1^2 \Leftrightarrow x^2=2$, de donde $$x=\sqrt{2}=\left\{\begin{matrix}\sqrt{2}\\\text{ó}\\-\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$
$\square$